Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương 4. Vectơ

Lời giải

Chọn B.

\(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} \).

Lời giải

Chọn B.

\(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0 \).

Lời giải

Chọn C.

\[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {EF}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CF}  + \overrightarrow {FD} } \right) + \left( {\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {BF} } \right) = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CF}  + \overrightarrow {EB} \].

Lời giải

Chọn A.

\(\overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow {{G_1}G}  = \overrightarrow {GA} \).

Lời giải

Chọn D.

+ Tứ giác AMCN là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \) A đúng.

+ ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  \Rightarrow \) B đúng.

+ \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {NC} ,\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MC}  \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {NC}  \Rightarrow C\) đúng.

Lời giải

Chọn D.

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} \).

Lời giải

Chọn D.

\[\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {CA} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AM} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \].

Suy ra \(M\) là trọng tâm \[\Delta ABC\].

Lời giải

Chọn B.

Từ B kẻ đường cao BH của hình thang cân ABCD (BH nằm ngoài hình thang).

Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = \sqrt {B{H^2} + D{H^2}}  = 2a\sqrt 5 \).

\(\left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải

Chọn C.

Dựng \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {AH} \)\( \Rightarrow AHMC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AM} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AH} } \right| = AM\).

Gọi \(K\) đối xứng với \(A\) qua \(BC\) \( \Rightarrow \Delta AKM\) vuông tại \(K\).

\(AK = 2AH = a\sqrt 3 \) ; \(KM = CH = \frac{a}{2}\).

Khi đó, \(AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Lời giải

Chọn A.

Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được \[\overrightarrow {{F_3}}  =  - \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\].

Dựng hình bình hành \[AMBN\]. Ta có \[\overrightarrow {{F_3}}  =  - \overrightarrow {{F_1}}  - \overrightarrow {{F_2}}  =  - \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MN} \].

Suy ra \[\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{{2\sqrt 3 MA}}{2} = 25\sqrt 3 \].

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {GC} \)\( = \overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GA}  - \overrightarrow {GC} \)\( = \overrightarrow {GB}  - \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC} } \right)\)\( = \overrightarrow {GB}  - \left( { - \overrightarrow {GB} } \right)\) vì \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GB} } \right| = 2GB = 2.\frac{2}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải

Chọn B.

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(m =  - \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  - \frac{5}{{15}} =  - \frac{1}{3}\).

Lời giải

Chọn B.

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \)\(M\)là trung điểm của \(IC\).

Lời giải

Chọn D.

Ta thấy \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {MB}  =  - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} \) là sai.

Lời giải

Chọn C.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  - 2\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right| = AB\)

\( \Leftrightarrow \left| {2.\overrightarrow {CI} } \right| = AB \Leftrightarrow 2CI = AB \Leftrightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \)Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {IN}  = \overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {IP}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {PN} \)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EQ} \\\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DQ} \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MQ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BD} } \right)\), \(\overrightarrow {PN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \)

Suy ra: \(2\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}  \Rightarrow \overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \).

Lời giải

Chọn A.

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AK}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BM} \) (vì \(KM =  - \frac{1}{2}AB\))

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM}  \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM} } \right)\).

Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow {AB}  = m\overrightarrow {AK}  + n\overrightarrow {BM} \).

Với \(G = AK \cap BM\) thì ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AK}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  = \frac{3}{2}m\overrightarrow {AG}  + \frac{3}{2}n\overrightarrow {BG}  \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{2}m - 1} \right)\overrightarrow {AG}  = \left( { - \frac{3}{2}n - 1} \right)\overrightarrow {BG} \) (*)

Do \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BG} \) không cùng phương nên (*) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2}m - 1 = 0\\ - \frac{3}{2}n - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\n =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {BM} } \right)\).

Lời giải

Chọn A.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(C\) là trung điểm của \(MI\). Ta có:

\[\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AI}  = 2\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {AI}  + 2\overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) + 2\overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \].

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{x}{9}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) = \left( {\frac{x}{9} - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {CN}  = 2\overrightarrow {NA}  \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\)

Lời giải

Chọn C.

Vì \(AD\) là phân giác trong của tam giác \(ABC\) nên:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \overrightarrow {BD}  = \frac{5}{7}\overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{5}{7}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB}  + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

Lời giải

Chọn C.

Từ bài ra ta có \(\overrightarrow {OC}  =  - 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD}  =  - 2\overrightarrow {OB} \).

Vì \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) cùng phương\( \Rightarrow \exists k\) sao cho \(\overrightarrow {ON}  = k\overrightarrow {OM}  \Rightarrow \overrightarrow {ON}  = \frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\).

Đặt \(\frac{{CN}}{{ND}} = k,k > 0\). Ta có: \(\overrightarrow {ON}  = \frac{{ - 3}}{{1 + k}}.\overrightarrow {OA}  - \frac{{2k}}{{k + 1}}\overrightarrow {OB} \).

\( \Rightarrow \frac{{ - 6}}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{{ - 4k}}{{k\left( {k + 1} \right)}} \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có: A, K, D thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = n\overrightarrow {AK}  = n\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IK} } \right)\) (1)

Từ \(\overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {BD} \) suy ra

\(2\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\( = 3\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ}  = 3\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ} } \right) = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} \)

Mà \(\overrightarrow {IK}  = m\overrightarrow {IJ} \) nên \(2\overrightarrow {AD}  = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{{2m}}\overrightarrow {IK}  \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{9}{4}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{{4m}}\overrightarrow {IK} \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{3}{{4m}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\).

Lời giải

Chọn D.

Qua M kẻ các đường thẳng \({A_1}{B_1}//AB,{A_2}{C_1}//AC,{B_2}{C_2}//BC\)

\( \Rightarrow \) Các tam giác đều \(\Delta M{B_1}{C_1},\Delta M{A_1}{C_2},\Delta M{A_2}{B_2}\)

Ta có: \(\overrightarrow {MD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{C_1}} } \right),\overrightarrow {ME}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}} } \right),\overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_2}}  + \overrightarrow {M{A_2}} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{A_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{B_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{C_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).

Lời giải

Chọn A.

\(2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = 2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) + \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB}  = 6\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {GM}  = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).

Lời giải

Chọn B.

Có \(\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)\).

Lời giải

Chọn A.

\[\overrightarrow {MN}  = \left( {3; - 2} \right)\] \[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \].

Lời giải

Chọn C.

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};\,{y_B} - {y_A}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,4} \right).\)

Lời giải

Chọn A.

\(\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  = \left( {2; - 1} \right) + \left( {9;12} \right) = \left( {11;11} \right)\).

Lời giải

Chọn D.

\(\overrightarrow x  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow x  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c  = \left( {28;0} \right)\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \[\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow a  = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a \]. Vậy \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  \Rightarrow x =  - \frac{2}{3}\).

Lời giải

Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi: \(\frac{{10}}{5} = \frac{{6 - 2x}}{2} \Leftrightarrow x = 1\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - m;3 - 2m} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;2} \right)\).

Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m =  - 2k\\3 - 2m = 2k\end{array} \right. \Rightarrow m = 2\).

Lời giải

Chọn D.

Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{7}{3}\\{y_G} = 3\end{array} \right.\, \Rightarrow \,G\left( {\frac{7}{3};\,3} \right)\).

Lời giải

Chọn A.

Áp dụng công thức: \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{ - 3 + 7}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;2} \right)\).

Lời giải

Chọn D.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 4 + 3 + x - 1\\3\left( {y + 6} \right) = 9 + 7 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right.\).

Lời giải

Chọn D.

Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1} \right),\,\,\overrightarrow {DC}  = \left( {5 - x; - 4 - y} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x = 2\\ - 4 - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 5\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3; - 5} \right)\).

Lời giải

Chọn D.

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\). Ta tính được \(\overrightarrow {AM}  = \left( {1 - {x_A}; - 1 - {y_A}} \right)\), \(\overrightarrow {GM}  = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {GM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_A} = 1\\ - 1 - {y_A} =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 0\\{y_A} = 2\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {0;2} \right)\).

Lời giải

Chọn A.

Giả sử \(I\left( {a;\,b} \right)\) khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)\(\left( * \right)\) với \(M\left( {\frac{1}{2};\,1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,\frac{3}{2}} \right)\) lần lượt là trung điểm \(AB\), \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\, - 2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;\, - 1} \right)\), \(\overrightarrow {IM}  = \left( {\frac{1}{2} - a;1 - b} \right)\), \(\,\overrightarrow {IN}  = \left( { - 2 - a;\,\frac{3}{2} - b} \right)\).

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {\frac{1}{2} - a} \right) - 2\left( {1 - b} \right) = 0\\ - 2\left( { - 2 - a} \right) - 1\left( {\frac{3}{2} - b} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{11}}{{14}}\\b =  - \frac{{13}}{{14}}\end{array} \right..\)

Suy ra: \(I\left( { - \frac{{11}}{{14}};\, - \frac{{13}}{{14}}} \right)\).

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\stackrel{}{\to }cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-3}{3.2}=-\frac{1}{2}\stackrel{}{\to }\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$.

Lời giải

Chọn D.

Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) là \(\widehat A\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ .\)

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.cos60^\circ  = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

Lời giải

Chọn D.

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\] sau đó mới tính \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]

Vì \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 180^\circ  - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 135^\circ  \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {21} \).

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết suy ra \[AC = a\sqrt 2 \].

Ta có \[P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {AC} ^2}\]

\[ =  - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} =  - a\sqrt 2 .a.\cos 45^\circ  - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} =  - 3{a^2}\].

Lời giải

Chọn D.

\[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{8^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.8}} = \frac{1}{2}\]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 5.8.\frac{1}{2} = 20\].

Lời giải

Chọn D.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm \(B\), điểm \(A\) thuộc trục \(Oy\) và điểm \(C\) thuộc trục \[Ox\].

Theo bài ra ta có \(B(0;0),{\rm{ }}A(0;2),{\rm{ }}C(3;0),{\rm{ }}D(1;2)\). Khi đó \(\overrightarrow {AC}  = (3; - 2)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(AC\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 2t}\end{array}} \right.\).

Gọi \(M \in AC \Rightarrow M(3t;2 - 2t)\). Ta có \(\overrightarrow {BM}  = (3t;2 - 2t)\) và \(\overrightarrow {DC}  = (2; - 2)\).

Để \(BM \bot DC\) thì \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {DC}  = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{6}{5};\frac{6}{5}} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( {\frac{6}{5};\frac{{ - 4}}{5}} \right) \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt {52} }}{5}\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {13} \).

Vì \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} \) cùng chiều \( \Rightarrow k = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {52} }}{{5\sqrt {13} }} = \frac{2}{5}\).

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 2;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 1\).

Lời giải

Chọn B.

Gọi \(\overrightarrow c  = \left( {x;y} \right)\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=9\\ \overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3x+2y=9\\ -x-7y=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\overrightarrow{c}=\left(-1;3\right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có \[C \in Oy\] nên \[C\left( {0;c} \right)\] và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;c - 2} \right)\end{array} \right..\)

Tam giác \[ABC\] vuông tại\[A\] nên \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {c - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow c = 6.\]

Vậy \[C\left( {0;6} \right)\].

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Sai                              d) Đúng

Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\), do đó \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) (1).

Xét nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa \(C\), ta có \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(N\) và \(C\) cùng phía \(AB\) hay cùng phía \(MB\) do đó \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Lại có \(P\) đối xứng \(M\) qua \(N\) nên \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng, dễ thấy \(\overrightarrow {MN}  \ne \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. (2)

Từ \((1)\) và \((2)\), suy ra \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC} \).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Sai                               d) Sai

Ta có: \(C{A^2} = D{A^2} + D{C^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2}\) (Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ADC\)).

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 5 \]. Tương tự: \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Dễ thấy \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(A\), do đó: \(\widehat {ABD} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {ABF} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ \).

Xét \(\Delta ABF\) vuông tại \(A\), ta có: \(\left| {\overrightarrow {BF} } \right| = BF = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABF}}} = \frac{a}{{\cos 22,5^\circ }} \approx 1,08a\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} \).

Theo định lí Pythagore: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)\( = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).

\(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Do đó \(CE = AD = a,CE{\rm{//}}AD\) nên \(ADEC\) là hình bình hành.

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AE} \). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABE\):

\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2} \Rightarrow AE = a\sqrt 5 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right| = AE = a\sqrt 5 \).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Sai                              d) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\);

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \);

\(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{6}(\overrightarrow {AD}  - 2\overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD}  - 2\overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MP} \).

Suy ra \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) cùng phương. Vậy ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Sai                               d) Sai

Xét tam giác \(ABD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(AB \bot BD\); mặt khác \(AB \bot CH\) nên \(BD{\rm{//}}CH\) (1).

Tương tự, tam giác \(ACD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(AC \bot CD\); mặt khác \(AC \bot BH\) nên \(CD{\rm{//}}BH\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BDCH\) là hình bình hành.

Khi đó, \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} \) (vì \(O\) là trung điểm \(AD\)).

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HC} \)

\( = 3\overrightarrow {OH}  + \left( {\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} } \right) = 3\overrightarrow {OH}  + 2\overrightarrow {HO}  = \overrightarrow {OH} {\rm{. }}\)

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Sai                              d) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {AC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) - 3\overrightarrow {AC}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AN} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - 3\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MN}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = 2\overrightarrow {AC} \).

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương (1).

Xét: \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BC} \). Do đó \(M\) là một đỉnh của hình bình hành \(ABCM\) hay \(M\) không thuộc đường thẳng \(AC(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng \(MN\) và \(AC\) song song.

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Đúng                           d) Đúng

Lời giải

a) Sai                                b) Sai                              c) Đúng                           d) Sai

Ta có: \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên

\(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\)

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Sai                              d) Đúng

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Sai                              d) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC \cdot \cos A = 4\sqrt 2  \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ  = 24\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:

\(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)

Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).

Lời giải

a) Sai                                b) Sai                              c) Đúng                           d) Đúng

Lời giải

Trả lời: \(173\).

Chọn các điểm \(A,B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) (hình vẽ). Gọi điểm \(C\) là một đỉnh của hình bình hành \(OACB\), khi đó ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \)(quy tắc hình bình hành).

Cường độ tổng hợp hai lực là: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC\).

Xét tam giác \(OAB\) có \(OA = OB = 100\) và \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên tam giác \(OAB\) đều.

Gọi \(I\) là tâm hình bình hành \(OACB\), khi đó \(OI\) cũng là đường cao của tam giác đều \(OAB\).

Do đó \(OI = \frac{{100\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \), suy ra \(OC = 2OI = 100\sqrt 3 \).

Vậy hợp lực của \({\vec F_1},{\vec F_2}\) có độ lớn là \(100\sqrt 3 \,{\rm{N}} \approx {\rm{173}}\,{\rm{N}}\).

Lời giải

Trả lời: \(36,4\).

Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} \) lần lượt là vectơ vận tốc của dòng nước đối với bờ và ca nô đối với dòng nước. Khi đó vận tốc của ca nô đối với bờ chính là tổng \(\overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} \). Đặt \(\overrightarrow {{v_1}}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {AB} \) với \(A\) là vị trí của ca nô.

Vẽ hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} {\rm{. }}\)

Theo định lí Pythagore: \(AC = \sqrt {{{10}^2} + {{35}^2}}  = 5\sqrt {53}  \approx 36,4{\rm{\;km/h}}{\rm{. }}\)

Vậy vận tốc của ca nô đối với bờ là xấp xỉ \(36,4\;{\rm{km/h}}\).

Lời giải

Trả lời: 14.

Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {AE} \). Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\). Từ giả thiết:

\({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0{\rm{ }}\)(vật ở trạng tháng cân bằng)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AE} {\rm{. }}\)

Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên: \(BC = AB\tan 30^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3  = AD;\)

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 8\sqrt 3 \). Do vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \; \approx 14\,{\rm{N}}\).

Lời giải

Trả lời: 1

Ta có \(DM = BN \Rightarrow AN = MC\), mặt khác \(AN\) song song với \(MC\) do đó tứ giác \(ANCM\) là hình bình hành. Suy ra \(AM{\rm{//}}NC\).

Xét \(\Delta DMP\) và \(\Delta BNQ\) ta có \(DM = NB\) (giả thiết), \(\widehat {PDM} = \widehat {QBN}\) (\(AB{\rm{//}}CD\), so le trong).

Mặt khác \(\widehat {DMP} = \widehat {MCN}\) (\(AM{\rm{//}}NC\)) và \(\widehat {MCN} = \widehat {BNQ}\) (\(AB{\rm{//}}CD\)), suy ra \(\widehat {DMP} = \widehat {BNQ}\).

Do đó \(\Delta DMP = \Delta BNQ\) (g.c.g), suy ra \(DP = QB\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {DP} ,\overrightarrow {QB} \) cùng hướng vì vậy \(\overrightarrow {DP}  = \overrightarrow {QB} \).

Lời giải

Trả lời: 0,25.

Ta có: \(\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \cos 45^\circ  \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 2 m + \left( {4m - 1} \right)\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {3m} \right)}^2} + {{\left( {4m - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {2 + 2} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{7m - 1}}{{\sqrt {25{m^2} - 8m + 1} }} = 1.{\rm{ }}\)

Khi đó \(25{m^2} - 8m + 1 > 0\,\,\,(1),\,\,\,7m - 1 > 0\,\,\,(2)\) và \(7m - 1 = \sqrt {25{m^2} - 8m + 1} \) (3)

Giải phương trình (3), thay giá trị nghiệm vào (1), (2) để kiểm tra ta có \(m = \frac{1}{4} = 0,25\).

Lời giải

Trả lời: \( - 40\).

Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = \left( {x; - 4} \right);\,\,\,\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 40\).

Lời giải

Trả lời: \(15\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {9; - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 1 \cdot 9 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \).

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,AC = \sqrt {{9^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 3\sqrt {10} \).

Diện tích tam giác \(ABC:{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {10}  \cdot 3\sqrt {10}  = 15\).

Lời giải

Trả lời: \(15\).

Ta có \(2\vec a = \left( {2x;4} \right),3\vec b = \left( { - 15;3} \right)\), suy ra \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b = \left( {2x - 15;7} \right)\).

Mặt khác \(\vec c = \left( {x;7} \right)\) nên \(2x - 15 = x \Leftrightarrow x = 15\).

Lời giải

Trả lời: \(0\).

Ta có biến đổi tích vô hướng như sau:

\(2\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BH}  = (\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AH} ) \cdot (\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MH} )\)

\( = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BM} \)       (do \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0,\,\,\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {MH}  = 0\))

\( = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MH}  + (\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MH} ) \cdot \overrightarrow {BM} \)

\( = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {MH}  \cdot \overrightarrow {MC} \)       (do \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {MC} \))

\( = \overrightarrow {MH}  \cdot \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC} } \right) = \overrightarrow {MH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\).

Do đó, \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BH}  = 0\).

Lời giải

Trả lời: \(4500\).

Đặt \(OM = s\) là đoạn đường mà vật di chuyển được với \(O\) là điểm đặt vật ban đầu. Công sinh ra bởi lực \(\vec F\) là: \[A = \vec F \cdot \overrightarrow {OM}  = \left| {\vec F} \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OM} } \right| \cdot \cos \left( {\vec F,\overrightarrow {OM} } \right) = 90 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ  = 4500\;J{\rm{. }}\]

Lời giải

Trả lời: \(90\).

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \vec a,\overrightarrow {BC}  = \vec b,\overrightarrow {BK}  = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\).

Khi đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right),\,\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{4}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\left( {\vec a + \vec c} \right) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left[ {2\vec a \cdot \vec b + \left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c + \left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c} \right]{\rm{. }}\)

Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) (do \(\vec a \bot \vec b\)); \(\left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec c = 0\) (do \(AC \bot BK\));

         \(\left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c = \overrightarrow {KC}  \cdot \vec c = 0\) (do \(CK \bot BK\)).

Vì vậy \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0 \Rightarrow \widehat {BMN} = 90^\circ \).