Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương 5. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm
50 câu hỏi
Biết số gần đúng \(a = 37975421\) có độ chính xác \(d = 150\). Hãy xác định các chữ số đáng tin của a.
3, 7, 9.
3, 7, 9, 7.
3, 7, 9, 7, 5.
3, 7, 9, 7, 5, 4.
Lời giải
Chọn C.
Vì sai số tuyệt đối đến hàng trăm nên các chữ số hàng nghìn trở lên của a là đáng tin.
Vậy các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5.
Biết số gần đúng \(a = 37975421\) có độ chính xác \(d = 150\). Hãy ước lượng sai số tương đối của a.
\({\delta _a} \le 0,0000099\).
\({\delta _a} \le 0,000039\).
\({\delta _a} \le 0,0000039\).
\({\delta _a} < 0,000039\).
Lời giải
Chọn C.
Sai số tương đối thỏa mãn: \({\delta _a} \le \frac{{150}}{{37975421}} = 0,0000039\)
(tức là không vượt quá \(0,0000039\)).
Biết số gần đúng \(a = 173,4592\) có sai số tương đối không vượt quá \(\frac{1}{{10000}}\), hãy ước lượng sai số tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn.
\({\Delta _a} \le 0,17;a = 173,4\).
\({\Delta _a} \le 0,017;a = 173,5\).
\({\Delta _a} \le 0,4592;a = 173,5\).
\({\Delta _a} \le 0,017;a = 173,4\).
Lời giải
Chọn B.
Từ công thức \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\), ta có \({\Delta _a} \le 173,4592.\frac{1}{{10000}} \approx 0,017\)
Vậy chữ số đáng tin là 1, 7, 3, 4.
Dạng chuẩn của a là \(a = 173,5\).
Xấp xỉ số π bởi số \(\frac{{355}}{{113}}\). Hãy đánh giá sai số tuyệt đối biết: \(3,14159265 < \pi < 3,14159266\).
\({\Delta _a} \le {2,8.10^{ - 7}}\).
\({\Delta _a} \le {28.10^{ - 7}}\).
\({\Delta _a} \le {1.10^{ - 7}}\).
\({\Delta _a} \le {2,8.10^{ - 6}}\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có (sử dụng máy tính bỏ túi) \(\frac{{355}}{{113}} \approx 3,14159292... < 3,1415929293\).
Do vậy \(0 < \frac{{355}}{{113}} - \pi < 3,14159293 - 3,14159265\)\( \approx 0,00000028\).
Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn \({2,8.10^{ - 7}}\).
Độ cao của một ngọn núi đo được là \(h = 1372,5\)m. Với sai số tương đối mắc phải là . Hãy xác định sai số tuyệt đối của kết quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn.
\({\Delta _h} = 0,68625;h = 137{\rm{3}}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
\({\Delta _h} = 0,68626;h = 1372\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
\({\Delta _h} = 0,68625;h = 1372\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
\({\Delta _h} = 0,68626;h = 1373\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Lời giải
Chọn A.
Theo công thức \({\delta _h} = \frac{{{\Delta _h}}}{{\left| h \right|}}\) ta có: \({\Delta _h} = h.{\delta _h} = 1372,5.\frac{{0,5}}{{1000}} = 0,68625\).
Và h viết dưới dạng chuẩn là \(h = 1373\) (m).
Cho giá trị gần đúng của \[\frac{8}{{17}}\] là \[0,47\]. Sai số tuyệt đối của số \[0,47\] là:
\[0,001\].
\[0,002\].
\[0,003\].
\[0,004\].
Lời giải
Chọn A.
Ta có \(\frac{8}{{17}} = 0,470588235294...\) nên sai số tuyệt đối của \(0,47\) là
\(\Delta = \left| {0,47 - \frac{8}{{17}}} \right| < \left| {0,47 - 4,471} \right| = 0,001\).
Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là \[2.731.425\] người với sai số ước lượng không quá \[200\] người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là:
Hàng đơn vị.
Hàng chục.
Hàng trăm.
Cả A, B, C.
Lời giải
Chọn D.
Ta có \(\frac{{100}}{2} = 50 < d = 200 < 500 = \frac{{1000}}{2}\) nên các chữ số đáng tin là các chữ số hàng nghìn trở đi.
Đường kính của một đồng hồ cát là \[8,52\,{\rm{m}}\] với độ chính xác đến \[1\,{\rm{cm}}\]. Dùng giá trị gần đúng của \(\pi \) là 3,14, cách viết chuẩn của chu vi đồng hồ cát (sau khi quy tròn) là:
26,6.
26,7.
26,8.
Đáp án khác.
Lời giải
Chọn B.
Gọi \(d\) là đường kính thì \(d = 8,52\,{\rm{m}} \pm 1\,{\rm{cm}} \Rightarrow 8,51\,{\rm{m}} \le d \le 8,53\,{\rm{m}}\).
Khi đó chu vi là \(C = \pi d\) và \(26,7214 \le C \le 26,7842 \Rightarrow C = 26,7528 \pm 0,0314\).
Ta có \(0,0314 < 0,05 = \frac{{0,1}}{2}\) nên cách viết chuẩn của chu vi là 26,7.
Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được: \[\sqrt 8 = 2,828427125\]. Giá trị gần đúng của \[\sqrt 8 \] chính xác đến hàng phần trăm là:
\(2,80.\)
\(2,81.\)
\(2,82.\)
\(2,83.\)
Lời giải
Chọn D.
Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 2 ở hàng phần trăm là số \(8 > 5\) nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là \(2,83.\)
Số \(\overline a \) được cho bởi số gần đúng \[a = 5,7824\] với sai số tương đối không vượt quá \(0,5\% \). Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của \(\overline a \).
\(2,9\% \).
\(2,89\% \).
\(2,5\% \).
\(0,5\% \).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\) suy ra \({\Delta _a} = {\delta _a}.\left| a \right|\). Do đó \({\Delta _a} \le \frac{{0,5}}{{100}}.5,7824 = 0,028912 \approx 2,89\% \).
Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác \(d\) được cho sau đây \[\overline a = 17658\,\, \pm \,\,16\].
\[18000\].
\[17800\].
\[17600\].
\[17700\].
Lời giải
Chọn D.
Ta có \({\rm{1}}0 < {\rm{16}} < {\rm{1}}00\) nên hàng cao nhất mà \(d\) nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Do đó ta phải quy tròn số 17658 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết \[\overline a \approx 17700\]).
Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác \(d\) được cho sau đây \[\overline a = 15,318 \pm 0,056\].
\[15\].
\[15,5\].
\[15,3\].
\[16\].
Lời giải
Chọn C.
Ta có \(0,01 < 0,056 < 0,1\) nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết \[\overline a \approx 15,3\]).
Quy tròn số \[7216,4\] đến hàng đơn vị, được số \[7216\]. Sai số tuyệt đối là:
\(0,2\).
\[0,3\].
\[0,4\].
\[0,6\].
Lời giải
Chọn C.
Quy tròn số \[7216,4\] đến hàng đơn vị, được số \[7216\].
Sai số tuyệt đối là: \[\left| {7216,4 - 7216} \right| = 0,4\].
Số áo bán được trong một quý ở cửa hàng bán áo sơ mi nam được thống kê như sau:
Cỡ áo | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
Tần số (Số áo bán được) | 13 | 45 | 126 | 125 | 110 | 40 | 12 |
Giá trị mốt của bảng phân bố tần số trên bằng
\(38\).
\(126\).
\(42\).
\(12\).
Lời giải
Chọn A.
Vì giá trị \({x_3} = 38\) có tần số \[{n_3} = 126\] lớn nhất.
Tiền lương hàng tháng của \[7\] nhân viên trong một công ty du lịch lần lượt là:
\[6,5\]; \[8,4\]; \[6,9\]; \[7,2\]; \[2,5\]; \[6,7\]; \[3,0\] (đơn vị: triệu đồng).
Số trung vị của dãy số liệu thống kê trên bằng
\(6,7\) triệu đồng.
\(7,2\) triệu đồng.
\(6,8\) triệu đồng.
\(6,9\) triệu đồng.
Lời giải
Chọn A.
Sắp xếp thứ tự các số liệu thống kê, ta thu dược dãy tăng các số liệu sau:
\[2,5\];\[3,0\];\[6,5\];\[6,7\];\[6,9\];\[7,2\]; \[8,4\] (đơn vị: triệu đồng).
Số trung vị \({M_e} = 6,7\) triệu đồng.
Điểm kiểm tra môn Toán cuối năm của một nhóm gồm 9 học sinh lớp 6 lần lượt là 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10. Điểm trung bình của cả nhóm gần nhất với số nào dưới đây?
\(7,5\).
\(7\).
\(6,5\).
\(5,9\).
Lời giải
Chọn D.
Điểm trung bình của cả nhóm là \(\frac{{1 + 1 + 3 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10}}{9} = \frac{{53}}{9} = 5,(8) \approx 5,9\).
Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là
Mốt.
Số trung bình.
Số trung vị.
Độ lệch chuẩn.
Lời giải
Chọn A.
Thời gian chạy 50 m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:
Thời gian (giây) | 8,3 | 8,4 | 8,5 | 8,7 | 8,8 |
Tần số | 2 | 3 | 9 | 5 | 1 |
Hỏi trung bình mỗi học sinh chạy 50 m hết bao lâu?
8,54.
4.
8,50.
8,53.
Lời giải
Chọn D.
Thời gian trung bình để mỗi học sinh chạy được 50 m là
\(\overline x = \frac{{8,3.2 + 8,4.3 + 8,5.9 + 8,7.5 + 8,8}}{{20}} = 8,53\).
Một tổ học sinh gồm \(10\) học sinh có điểm kiểm tra cuối học kì \(1\) môn toán như sau: \(7;5;6;6;6;8;7;5;6;9\). Tìm mốt của mẫu số liệu trên.
\({M_0} = 6\).
\({M_0} = 7\).
\({M_0} = 5\).
\({M_0} = 8\).
Lời giải
Chọn A.
Giá trị \(x = 6\) là giá trị có tần số lớn nhất \(n = 4\). Vậy mốt là: \({M_0} = 6\).
Kết quả điểm kiểm tra 15 phút môn Toán của 100 em học sinh được trình bày ở bảng sau:
Điểm | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Cộng |
Tần số | 3 | 5 | 11 | 17 | 30 | 19 | 10 | 5 | 100 |
Số trung bình cộng của bảng phân bố tần số nói trên là
\(6,88\).
\(7,12\).
\(6,5\).
\(7,22\).
Lời giải
Chọn A.
Số trung bình cộng của bảng phân bố tần số nói trên là:
\(\frac{{3.3 + 4.5 + 5.11 + 6.17 + 7.30 + 8.19 + 9.10 + 10.5}}{{100}} = 6,88\).
Thống kê điểm kiểm tra môn Lịch Sử của 45 học sinh lớp 10A như sau:
Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Số học sinh | 2 | 11 | 9 | 16 | 4 | 3 |
Số trung vị trong điểm các bài kiểm tra đó là
\(8,1\) điểm.
\(7,4\) điểm.
\(7,5\) điểm.
\(8\) điểm.
Lời giải
Chọn D.
Số trung vị là số ở vị trí thứ 23, đó là \(8\) điểm.
Điều tra tiền lương một tháng của 100 người lao động trên địa bàn một xã ta có bảng phân bố tần số sau:
Tiền lương (VND) | 5.000.000 | 6.000.000 | 7.000.000 | 8.000.000 | 9.000.000 | 9.500.000 |
Tần số | 26 | 34 | 20 | 10 | 5 | 5 |
Tìm mốt của bảng phân bố tần số trên.
\(5.000.000\).
\(6.000.000\).
\(7.500.000\).
\(9.500.000\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có giá trị 6.000.000 có tần số lớn nhất nên là mốt của bảng phân bố tần số trên.
Cho bảng số liệu thống kê chiều cao của một nhóm học sinh như sau:
Số trung vị của bảng số liệu nói trên là
\(161\).
\(153\).
\(163\).
\(156\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có trong bảng số liệu thống kê có tất cả \(16\) giá trị. Do đó số trung vị bằng trung bình cộng của hai số đứng thứ \(8\) và \(9\) trong bảng số liệu thống kê.
Ta có \({M_e} = \frac{{160 + 162}}{2} = 161.\)
Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán của 20 học sinh.
Điểm | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | Cộng |
Số học sinh | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(4\) | \(1\) | \(20\) |
Tứ phân vị thứ ba của bảng số liệu trên là
\(7\).
\(8\).
\(8,5\).
\(7,3\).
Lời giải
Chọn C.
Có 20 giá trị nên tứ phân vị thứ ba bằng trung bình cộng của hai số đứng thứ 15 và 16 trong bảng số liệu thống kê. Vậy \({Q_3} = \frac{{8 + 9}}{2} = 8,5\).
Cho phương sai của các số liệu bằng \(4\). Tìm độ lệch chuẩn.
\(4\).
\(2\).
\(16\).
\(8\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Nên \({s_x} = \sqrt {s_x^2} = \sqrt 4 = 2\).
Phương sai của dãy số \(2;3;4;5;6\) là
\(S_x^2 = 4\).
\(S_x^2 = \sqrt 2 \).
\(S_x^2 = 2\).
\(S_x^2 = - 2\).
Lời giải
Chọn C.
- Ta có: \(\overline x = \frac{{2 + 3 + 4 + 5 + 6}}{5} = 4\).
- Suy ra: \(S_x^2 = \frac{1}{5}\left[ {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} \right] = 2\).
Khoảng tứ phân vị của dãy số \(2;3;4;5;6\) là
\({\Delta _Q} = 3\).
\({\Delta _Q} = \sqrt 2 \).
\({\Delta _Q} = 2\).
\({\Delta _Q} = - 2\).
Lời giải
Chọn A.
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{11}}{2} - \frac{5}{2} = 3\).
Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả cho trong bảng sau:
Khi đó độ lệch chuẩn là
\[1,98\].
\[3,96\].
\[15,23\]
\[1,99\].
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
\(\overline x = \frac{{1.9 + 1.10 + 3.11 + 5.12 + 8.13 + 13.14 + 19.15 + 24.16 + 14.17 + 10.18 + 2.19}}{{100}} = 15,23\)
\(\overline {{x^2}} = \frac{{{{1.9}^2} + {{1.10}^2} + {{3.11}^2} + {{5.12}^2} + {{8.13}^2} + {{13.14}^2} + {{19.15}^2} + {{24.16}^2} + {{14.17}^2} + {{10.18}^2} + {{2.19}^2}}}{{100}} = 235,91\)Phương sai của bảng số liệu là: \({s^2} = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2} = 235,91 - {15,23^2} = 3,9571\).
Độ lệch chuẩn là: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {3,9571} = 1,99\).
Điểm thi của lớp 10C của một trường Trung học Phổ Thông được trình bày ở bảng phân bố tần số sau:
Phương sai của bảng phân bố tần số đã cho là:
\(0,94\).
\(3,94.\)
\(2,94.\)
\(1,94.\)
Lời giải
Chọn D.
Trong dãy số liệu về điểm thi của lớp 10C ta có:
\(\overline x = \frac{1}{n} \cdot \left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_6}{x_6}} \right) = \frac{1}{{40}} \cdot \left( {7.5 + 5.6 + 10.7 + 12.8 + 4.9 + 2.10} \right) = 7,175\).
Phương sai:
\[\begin{array}{c}{s^2} = \frac{1}{n} \cdot \left( {{n_1}.{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}.{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_6}.{{\left( {{x_6} - \overline x } \right)}^2}} \right)\\ = \frac{1}{{40}} \cdot \left( {7.{{\left( {5 - 7,175} \right)}^2} + 5.{{\left( {6 - 7,175} \right)}^2} + 10.{{\left( {7 - 7,175} \right)}^2}} \right.\\\left. { + 12.{{\left( {8 - 7,175} \right)}^2} + 4.{{\left( {9 - 7,175} \right)}^2} + 2.{{\left( {10 - 7,175} \right)}^2}} \right)\\ \approx 1,94\end{array}\]
Cho dãy số liệu thống kê: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\). Khoảng biến thiên là
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(6\).
Lời giải
Chọn D.
Khoảng biến thiên: \(R = 7 - 1 = 6\).
Số liệu thống kê \(100\) học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm 20). Kết quả được thống kê trong bảng sau:
Tính độ lệch chuẩn của bảng số liệu thống kê.
\(2,01\).
\(1,89\).
\(1,98\).
1,99 .
Lời giải
Chọn D.
Điểm số trung bình của các học sinh tham gia thi học sinh giỏi là 
.
Phương sai của số liệu thống kê là
.
Suy ra độ lệch chuẩn của bảng số liệu thống kê là 
.
Cho mẫu số liệu thống kê .Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên?
2
5
3
4
Lời giải
Chọn B.
Ta có 
.
Sản lượng lúa (tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng phân bố tần số sau đây:
Sản lượng | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
Tần số | 5 | 8 | 11 | 10 | 6 |
Phương sai của mẫu số liệu là:
.
.
.
.
Lời giải
Ta có sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là: 
(tạ).
Phương sai: 
.
Điểm kiểm tra giữa kỳ 2 của một học sinh lớp 10 như sau: 2, 4, 6, 8, 10 . Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
6.
8.
10.
40.
Lời giải
Chọn B.
Khoảng biến thiên: 
.
Hà thực hiện thí nghiệm và xác định được khối lượng riêng của nước tinh khiết ở 4°C là 999,985 kg/m3.
Giá trị 999,985 kg/m3 là số gần đúng cho khối lượng riêng của nước tinh khiết ở 4°C.
Giả sử số đúng cho khối lượng riêng của nước tinh khiết ở 4°C là 1 000 kg/m3. Khi đó sai số tuyệt đối là 0,0015.
Làm tròn 999,985 kg/m3 đến hàng phần trăm, từ đó xác định được số quy tròn là 999,99 kg/m3.
Sai số tuyệt đối của số quy tròn ở câu c) là 0,005.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Giá trị 999,985 kg/m3 là số gần đúng cho khối lượng riêng của nước tinh khiết ở 4°C.
Số đúng là \[\overline a = 1000\]kg/m3, số gần đúng là \[a = 999,985\] kg/m3.
Do đó sai số tuyệt đối là \(\left| {a - \overline a } \right| = 1\,000 - 999,985 = 0,015\).
Chữ số ở hàng phần nghìn của 999,985 là 5 nên ta tăng chữ số ở hàng phần trăm lên 1 đơn vị, từ đó suy ra số quy tròn là 999,99 kg/m3. Sai số tuyệt đối là \(\left| {999,99 - 999,985} \right| = 0,005\).
Tập đoàn \(X\) có 24 công ty con. Thống kê cuối năm cho biết doanh thu (đơn vị: triệu đồng) của 24 công ty con như sau:
35 432 | 14 215 | 24 436 | 13 978 | 45 713 | 16 323 | 37 488 | 13 458 |
57 754 | 53 345 | 80 234 | 117 245 | 74 506 | 86 851 | 47 678 | 611 298 |
19 397 | 48 644 | 8 324 | 9 599 | 94 338 | 45 390 | 37 492 | 811 854 |
Doanh thu thấp nhất là 9 599 triệu đồng. Doanh thu lớn nhất là 811 854 triệu đồng.
Số trung bình của mẫu số liệu trên khoảng
Số trung vị là 45 551,5.
Nên lấy số trung bình làm đại diện cho mẫu số liệu.
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
Sắp xếp lại mẫu số liệu trên theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, từ trên xuống:
8 324 | 9 599 | 13 458 | 13 978 | 14 215 | 16 323 | 19 397 | 24 436 |
35 432 | 37 488 | 37 492 | 45 390 | 45 713 | 47 678 | 48 644 | 53 345 |
57 754 | 74 506 | 80 234 | 86 851 | 94 338 | 117 245 | 611 298 | 811 854 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên khoảng
Số trung vị là 45 551,5.
Vì giá trị trung bình lớn hơn giá trị trung vị rất nhiều, điều đó thể hiện mẫu có một số giá trị bất thường. Vì vậy, số trung vị làm đại diện mẫu sẽ tốt hơn.
Số giờ học thêm ngoài trường học của 30 học sinh được thống kê như sau:
2 | 2 | 1 | 3 | 5 | 6 | 5 | 7 | 6 | 6 | 7 | 8 | 7 | 7 | 6 |
6 | 7 | 6 | 4 | 6 | 0 | 8 | 6 | 7 | 0 | 0 | 4 | 6 | 8 | 7 |
Số giờ học thêm ngoài trường học của 30 học sinh lớn nhất là 8.
Trung bình một học sinh sử dụng 5,1 giờ cho việc học thêm ngoài trường.
Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \({Q_1} = 3\), \({Q_2} = 6\), \({Q_3} = 7\).
Từ hình ảnh phân bố tứ phân vị, ta khẳng định rằng phần lớn học sinh sử dụng khoảng 6 đến 7 giờ cho việc học ngoài trường.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Sắp xếp lại mẫu dữ liệu theo thứ tự tăng dần ta được:
0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 |
6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 |
Số giờ học thêm ngoài trường học của 30 học sinh lớn nhất là 8.
Số trung bình là 5,1. Điều này nói lên rằng trung bình một học sinh sử dụng 5,1 giờ cho việc học thêm ngoài trường.
Số trung vị \({Q_2} = 6\).
Số trung vị của nửa bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = 4\).
Số trung vị nửa bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = 7\).
Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \({Q_1} = 4\), \({Q_2} = 6\), \({Q_3} = 7\).
Ta có hình ảnh về sự phân bố như sau:
Nhìn vào hình ảnh phân bố ta có thể khẳng định phần lớn học sinh sử dụng khoảng 6 đến 7 giờ cho việc học ngoài trường.
Cho mẫu số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 10 hộ gia đình:
112 | 111 | 112 | 113 | 114 | 116 | 115 | 114 | 115 | 114 |
Sản lượng chè trung bình thu được trong một năm của mỗi gia đình là \(113,6\)(kg/sào).
Ta viết lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm:
Số trung vị của mẫu số liệu là \(113\).
114 là mốt của mẫu số liệu đã cho.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Sản lượng chè trung bình thu được trong một năm của mỗi gia đình là
\(\bar x = \frac{{112 + 111 + 112 + 113 + 114 + 116 + 115 + 114 + 115 + 114}}{{10}} = 113,6\)(kg/sào).
Ta viết lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{111}&{112}&{112}&{113}&{114}&{114}&{114}&{115}&{115}&{116}\end{array}\).
Vì số giá trị của mẫu \(n = 10\) (chẵn) nên trung bình cộng hai số chính giữa mẫu chính là trung vị, vậy trung vị là: \(\frac{{114 + 114}}{2} = 114\).
Trong mẫu trên, giá trị 114 xuất hiện nhiều nhất (3 lần) nên 114 là mốt của mẫu số liệu đã cho.
Bảng số liệu sau cho biết mức lương hàng năm của các cán bộ và nhân viên trong một công ty (đơn vị: nghìn đồng).
20 910 | 76 000 | 20 350 | 20 060 |
21 410 | 20 110 | 21 410 | 21 360 |
20 350 | 21 130 | 20 960 | 125 000 |
Mức lương trung bình các cán bộ nhân viên là: \(\bar x = 34087,5\) (nghìn đồng).
Mức lương lớn nhất là \(76000\) nghìn đồng.
Số trung vị là \(21045\) (nghìn đồng).
Có thể lấy mức lương bình quân làm giá trị đại diện.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Mức lương trung bình các cán bộ nhân viên là:
\(\bar x = \frac{{20910 + 76000 + \ldots + 125000}}{{12}} = \frac{{68175}}{2} = 34087,5\) (nghìn đồng).
Sắp theo thứ tự không giảm bảng lương ta được:
\[20060\;\;20110\;\;20350\] \[20350\,\,\,20910\,\,\,20960\,\,\,21130\,\,\,21360\,\,\,21410\,\,\,21410\,\,\,76000\,\,\,125000\].
Số trung vị là: \(\frac{{20960 + 21130}}{2} = 21045\) (nghìn đồng).
Số trung vị đại diện cho mức lương trung bình của cán bộ nhân viên của công ty, vì trong trường hợp này chênh lệch giữa các số liệu quá lớn nên không thể lấy mức lương bình quân làm giá trị đại diện.
Nhóm bạn Dũng tung một con xúc xắc 100 lần liên tiếp và ghi kết quả vào bảng sau:
Số chấm trên xúc sắc | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Số lần | 14 | 16 | 8 | 18 | 10 | 34 |
Số trung bình: \(\bar x = 3,96\).
Giá trị của tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = 4,5\).
Giá trị của tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 6\).
Mốt: \({M_O} = 6\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Số trung bình: \(\bar x = \frac{{1.14 + 2 \cdot 16 + 3.8 + 4.18 + 5.10 + 6.34}}{{100}} = 3,96\).
Vì cỡ mẫu là \(n = 100\), là số chẵn, nên giá trị của tứ phân vị thứ hai là
\({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right) = \frac{1}{2}(4 + 4) = 4.{\rm{ }}\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \({x_{51}};{x_{52}}; \ldots ;{x_{100}}\).
Do đó: \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) = \frac{1}{2}(6 + 6) = 6\).
Mốt: \({M_O} = 6\).
Một cơ sở chăn nuôi gia cầm tiến hành nuôi thử nghiệm giống gà đẻ trứng mới. Khi gà đã cho trứng họ tiến hành khảo sát với 20 quả được cân nặng (gam) như sau:
40 | 42 | 36 | 38 | 40 | 42 | 29 | 48 | 43 | 43 |
41 | 41 | 39 | 44 | 45 | 41 | 40 | 39 | 42 | 41 |
Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 29.
Giá trị lớn nhất của mẫu là \(48\).
Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 2\).
Các giá trị bất thường là 29 và 48.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần, ta được
29 | 36 | 28 | 39 | 39 | 40 | 40 | 40 | 41 | 41 |
41 | 41 | 42 | 42 | 42 | 43 | 43 | 44 | 45 | 48 |
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của mẫu là 29, giá trị lớn nhất của mẫu là 48.
Tứ phân vị của mẫu số liệu là \({Q_1} = 39,5;\,\,{Q_2} = 41\) và \({Q_3} = 42,5\).
Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 42,5 - 39,5 = 3\).
Ta có \({Q_1} - 1,5 \cdot {\Delta _Q} = 35\) và \({Q_3} + 1,5 \cdot {\Delta _Q} = 47\).
Các giá trị bất thường là 29 và 48.
Mẫu số liệu dưới đây thống kê thời gian chờ xe bus (đơn vị: phút) của 10 học sinh ở cùng một bến: \(\begin{array}{*{20}{l}}1&4&5&6&6&8&{10}&{11}&{12}&{25}\end{array}\).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: \(\bar x = 8,8\) (phút).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = 5\) (phút).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(s \approx 5,27\) (phút).
25 là giá trị bất thường của mẫu số liệu.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: \(\bar x = \frac{{1 + 4 + 5 + 6 + 6 + 8 + 10 + 11 + 12 + 25}}{{10}} = 8,8\) (phút).
Mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Trung vị của mẫu số liệu là: \(\frac{{6 + 8}}{2} = 7\) (phút).
Trung vị của dãy \(1,4,5,6,6\) là 5. Trung vị của dãy \(8,10,11,12,25\) là 11.
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 5\) (phút), \({Q_2} = 7\) (phút), \({Q_3} = 11\) (phút).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = 11 - 5 = 6\) (phút).
Ta có: \({(1 - 8,8)^2} + {(4 - 8,8)^2} + {(5 - 8,8)^2} + {(6 - 8,8)^2} \cdot 2 + {(8 - 8,8)^2}\)
\( + {(10 - 8,8)^2} + {(11 - 8,8)^2} + {(12 - 8,8)^2} + {(25 - 8,8)^2} = 393,6\).
Suy ra phương sai của mẫu số liệu là: \({s^2} = \frac{{393,6}}{{10}} = 39,36\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(s = \sqrt {39,36} \approx 6,27\) (phút).
Ta có: \({Q_1} - \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 5 - \frac{3}{2} \cdot 6 = - 4,{Q_3} + \frac{3}{2} \cdot {\Delta _Q} = 11 + \frac{3}{2} \cdot 6 = 20\). Vì \(25 > 20\) nên 25 là giá trị bất thường của mẫu số liệu.
Bạn Hưng và bạn Thịnh thống kê kết quả chiều cao (đơn vị: centimét) của 5 cây nguyệt quế mà mỗi người trồng sau một thời gian như sau:
Cây của bạn Hưng | 35 | 36 | 38 | 36 | 37 |
Cây của bạn Thịnh | 30 | 35 | 38 | 41 | 33 |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu cây của bạn Hưng là: \({\bar x_H} = 36,4\,\,{\rm{(cm)}}.\)
Số trung bình cộng của mẫu số liệu cây của bạn Thịnh là: \({\bar x_T} = 32,4\,\,{\rm{(cm)}}{\rm{. }}\)
Phương sai của mẫu số liệu cây của bạn Hưng lớn hơn phương sai của mẫu số liệu cây của bạn Thịnh.
Các cây nguyệt quế của bạn Hưng phát triển chiều cao đồng đều hơn.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Mẫu số liệu chiều cao 5 cây do bạn Hưng trồng là: \(\begin{array}{*{20}{l}}{35 & 36 & 38 & 36 & 37\,\,\,\,(1)}\end{array}\)
Mẫu số liệu chiều cao 5 cây do bạn Thịnh trồng là: \(\begin{array}{*{20}{l}}{30 & 35 & 38 & 41 & 33\,\,\,(2)}\end{array}\)
Số trung bình cộng của mẫu số liệu (1) là: \({\bar x_H} = \frac{{35 + 36 + 38 + 36 + 37}}{5} = 36,4\,\,{\rm{(cm)}}.\)
Phương sai của mẫu số liệu (1) là: \(s_H^2 = 1,04\).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu (2) là: \({\bar x_T} = \frac{{30 + 35 + 38 + 41 + 33}}{5} = 35,4\,\,{\rm{(cm)}}{\rm{.}}\)
Phương sai của mẫu số liệu (2) là: \(s_T^2 = 14,64\).
Vì \(s_H^2 < s_T^2\) nên các cây nguyệt quế của bạn Hưng phát triển chiều cao đồng đều hơn.
Điểm kiểm tra học kì môn toán của các bạn tổ 1 và tổ 2 lớp \(10\;A\) được cho như sau:
Tổ \(1:7\,\,\,\,8\,\,\,\,8\,\,\,\,8\,\,\,\,9\,\,\,\,8\,\,\,\,8\,\,\,\,8\);
Tổ \(2:10\,\,\,\,6\,\,\,\,8\,\,\,\,9\,\,\,\,9\,\,\,\,7\,\,\,\,8\,\,\,\,7\).
Điểm trung bình kiểm tra hai tổ là như nhau.
Khoảng biến thiên mẫu số liệu của tổ 1 là \({R_1} = 3\).
Khoảng biến thiên mẫu số liệu của tổ 2 là \({R_2} = 4\).
Các bạn tổ 2 học toán đồng đều hơn các bạn tổ 1.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Điểm trung bình môn toán hai tổ bằng nhau và bằng 8.
Đối với tổ 1, điểm kiểm tra cao nhất và thấp nhất lần lượt là \(9;7\). Vì vậy khoảng biến thiên là \({R_1} = 9 - 7 = 2\).
Đối với tổ 2, điểm kiểm tra cao nhất và thấp nhất lần lượt là 10; 6. Vì vậy khoảng biến thiên là \({R_2} = 10 - 6 = 4\).
Ta thấy \({R_1} = 2\) nên mẫu số liệu ghi chép điểm số tổ 1 có tính phân tán thấp. Ngược lại \({R_2} = 4\) nên mẫu số liệu ghi chép điểm số của tổ 2 có tính phân tán cao hơn của tổ 1.
Vậy các bạn tổ 1 học toán đồng đều hơn các bạn tổ 2 (vì \({R_1} < {R_2}\)).
Bạn Ngân có một mảnh nhựa với bề mặt hình tròn bán kính \(1\,{\rm{dm}}\). Bạn ấy thực hiện đo chu vi của mép mảnh nhựa đó bằng cách sử dụng một sợi dây dài không dãn như sau: Cố định một đầu sợi dây trên mép mảnh nhựa, rồi quấn sợi dây quanh mép mảnh nhựa một vòng cho đến khi đầu dây cố định chạm vào thân sợi dây lần đầu tiên, sau đó đo độ dài phần dây chạm vào mép mảnh nhựa và được kết quả là \(6\,{\rm{dm}}\). Khi đó sai số tuyệt đối trong phép đo không vượt quá bao nhiêu decimét?
Lời giải
Trả lời: \(0,3\).
Chu vi của mép mảnh nhựa là: \(\bar a = 2\pi .1 = 2\pi \,\,{\rm{(dm)}}\).
Gọi chu vi của mép mảnh nhựa mà bạn Ngân đo được là \(a\), suy ra \(a = 6\,\,{\rm{(dm)}}\).
Vì \(3 < \pi < 3,15\) nên \(6 < 2\pi < 6,3 \Rightarrow 6 < \bar a < 6,3 \Rightarrow {\Delta _a} = \left| {\bar a - 6} \right| < 6,3 - 6 = 0,3\).
Suy ra sai số tuyệt đối trong phép đo không vượt quá \(0,3\,{\rm{dm}}\).
Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số \(\frac{{22}}{7}\) để xấp xỉ số \(\pi \). Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này biết \(3,1415 < \pi < \) 3,1416.
Lời giải
Trả lời: \(0,0014\).
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: \(\frac{{22}}{7} = 3,142857 \ldots \) và \(\pi = 3,141592654 \ldots \)
Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng đã cho là:
\(\Delta = \left| {\pi - \frac{{22}}{7}} \right| = 3,142857 \ldots - 3,141592654 \ldots . < 3,1429 - 3,1415 = 0,0014.\)
Một cửa hàng bán 6 loại quạt điện với giá tiền là \(100,150,300,350\), 400, 500 (nghìn đồng). Số quạt điện mà cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:
Giá tiền | 100 | 150 | 300 | 350 | 400 | 500 |
Số quạt bán được | 15 | 25 | 31 | 26 | 12 | 4 |
Số tiền trung bình mà cửa hàng thu được khi bán mỗi chiếc quạt là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: \(269\).
Áp dụng công thức \(\bar x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + \ldots + {n_k}{x_k}}}{n}\) ta có:
\(\bar x = \frac{{100.15 + 150.25 + 300.31 + 350.26 + 400.12 + 500.4}}{{15 + 25 + 31 + 26 + 12 + 4}} \approx 269\) (nghìn đồng).
Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ty du lịch là:
\(650,840,690,720,2500,670,3000\) (đơn vị: nghìn đồng).
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên (đơn vị: nghìn đồng).
Lời giải
Trả lời: 720.
Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm, ta được:
650, 670, 690, 720, 840, 2 500, 3 000.
Số trung vị của mẫu là 720.
Bảng số liệu sau thống kê nhiệt độ tại Thành phố Hồ Chí Minh trong một lần đo vào một ngày của năm 2021:
Giờ đo | \(1\;h\) | \(4\;h\) | \(7\;h\) | \(10\;h\) | \(13\;h\) | \(16\;h\) | \(19\;h\) | \(22\;h\) |
Nhiệt độ (độ C) | 27 | 26 | 28 | 32 | 34 | 35 | 30 | 28 |
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Trả lời: \(3,12\).
Số trung bình là: \(\bar x = \frac{{27 + 26 + \ldots + 30 + 28}}{8} = 30\,\,\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\).
Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{8}\left[ {{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {{x_8} - \bar x} \right)}^2}} \right]\)
\( = \frac{1}{8}\left[ {{{(27 - 30)}^2} + {{(26 - 30)}^2} + \ldots + {{(28 - 30)}^2}} \right] = 9,75.\)
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 3,12\).
Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày.
12 | 7 | 10 | 9 | 12 | 9 | 10 | 11 | 10 | 14 |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Trả lời: 3.
Trước hết ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như sau:
7 | 9 | 9 | 10 | 10 | 10 | 11 | 12 | 12 | 14 |
Mẫu số liệu này gồm 10 giá trị nên trung vị là \({Q_2} = \frac{{10 + 10}}{2} = 10\).
Nửa số liệu bên trái là 7; 9; 9; 10; 10 gồm 5 giá trị. Do đó \({Q_1} = 9\).
Nửa số liệu bên phải là 10; 11; 12; 12; 14 gồm 5 giá trị. Do đó \({Q_3} = 12\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3\).
