Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác
38 câu hỏi
\(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
\(2\).
Lời giải
Chọn A.
\(\tan 30^\circ + \cot 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sin 0^\circ + \cos 0^\circ = 1\).
\(\sin 90^\circ + \cos 90^\circ = 1\).
\(\sin 180^\circ + \cos 180^\circ = - 1\).
\(\sin 60^\circ + \cos 60^\circ = 1\).
Lời giải
Chọn D.
\(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ \).
\(\cos 60^\circ = \sin 120^\circ \).
\(\cos 30^\circ = \sin 120^\circ \).
\(\sin 60^\circ = - \cos 120^\circ \).
Lời giải
Chọn B.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(1\).
\( - 1\).
Lời giải
Chọn A.
\(E = \sin 36^\circ \cos 6^\circ - \sin 126^\circ \cos 84^\circ = \frac{1}{2}\).
\(0\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Lời giải
Chọn D.
\(A = \left( {\tan 1^\circ .\tan 89^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\tan 88^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ .\tan 46^\circ } \right).\tan 45^\circ = 1\).
\(21\).
\(23\).
\(22\).
\(24\).
Lời giải
Chọn C.
\(S = {\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \)
\[ = \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\sin }^2}88^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}4^\circ + {{\sin }^2}86^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\sin }^2}46^\circ } \right)\]
\( = \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}4^\circ + {{\cos }^2}4^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\cos }^2}44^\circ } \right) = 22\).
\(A = 12\).
\(A = 11\).
\(A = 13\).
\(A = 5\).
Lời giải
Chọn B.
\(\tan \alpha - \cot \alpha = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha .\cot \alpha = 9\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 11\).
\(1\).
\(2\).
\( - 3\).
\(0\).
Lời giải
Chọn A.
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).
\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).
Vậy \(f\left( x \right) = 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - 2\left( {1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) = 1\).
\({m^2} - 1\).
\(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
\(\frac{{{m^2} + 1}}{2}\).
\({m^2} + 1\).
Lời giải
Chọn B.
\(\sin x + \cos x = m\,\, \Rightarrow \,{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\, = {m^2}\, \Leftrightarrow \,\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 2\sin x.\cos x = {m^2}\,\)
\( \Leftrightarrow \,1 + 2\sin x.\cos x = {m^2} \Leftrightarrow \,\sin x.\cos x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
Vậy \(M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 38 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[\sqrt {73} \].
\[\sqrt {217} \].
\[8\].
\[\sqrt {113} \].
Lời giải
Chọn A.
Theo định lý côsin có: \[A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2BA.BC.\cos \widehat {ABC} = 73\]\[ \Rightarrow AC = \sqrt {73} \].
Vậy \[AC = \sqrt {73} \].
\(\widehat A = 30^\circ .\)
\(\widehat A = 45^\circ .\)
\(\widehat A = 60^\circ .\)
\(\widehat A = 75^\circ \).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 bc}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat A = 30^\circ \).
\(59^\circ 49'.\)
\(53^\circ 7'.\)
\(59^\circ 29'\,.\)
\(62^\circ 22'.\)
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{14}^2}}}{{2.13.15}} = \frac{{33}}{{65}} \Rightarrow B \approx {59^0}29'\,.\]
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
\(120^\circ \).
Lời giải
Chọn D.
Ta có \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} - {a^2}} \right) \Leftrightarrow {b^3} - b{a^2} = {c^3} - c{a^2} \Leftrightarrow {b^3} - {c^3} - {a^2}\left( {b - c} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2} - {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = - bc\).
Mặt khác \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{ - bc}}{{2bc}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 120^\circ \).
\(13\,{\rm{km}}\).
\(15\sqrt 3 \,{\rm{km}}\).
\(10\sqrt {13} \,\,{\rm{km}}\).
\(15\,{\rm{km}}\).
Lời giải
Chọn C.
Trong 1h, xe 1 đi được quãng đường là \(AB = 30\,{\rm{km}}\).
Trong 1h, xe 2 đi được quãng đường là \(AC = 40\,{\rm{km}}\).
Sau 1h khoảng cách giữa 2 xe là \(BC\).
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos 60^\circ = 1300\)\( \Rightarrow BC = 10\sqrt {13} \,\,{\rm{km}}\).
\(2\sqrt 6 \).
\(2 + 2\sqrt 3 \).
\(2\sqrt 3 - 2\).
\(\sqrt 6 \).
Lời giải
Chọn A.
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)\( \Leftrightarrow BC = \frac{{4.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 6 \).
\(R = 4\)
\(R = 1\).
\(R = 2\).
\(R = 3\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1\).
\[3,7\].
\[3,3\].
\[3,5\].
\[3,1\].
Lời giải
Chọn B.
\(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \).
Áp dụng định lý sin: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }}\sin 40^\circ \approx 3,3\].
\(\frac{{{a^2}}}{4}\).
\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
\({a^2}\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({S_{ABCD}} = AB.AD.\sin \widehat {BAD}\)\( = a.a.\sin 30^\circ = \frac{1}{2}{a^2}\).
\(\sqrt {56} \).
\(\sqrt {48} \).
\(6\).
\(8\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 5 + 6}}{2} = 7\).
Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = \sqrt {7\left( {7 - 3} \right)\left( {7 - 6} \right)\left( {7 - 5} \right)} = \sqrt {56} \).
\(S = 8{a^2}\).
\(S = 2{a^2}\sqrt 3 \).
\(S = {a^2}\sqrt 3 \).
\(S = 4{a^2}\).
Lời giải
Chọn B.
Diện tích của tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.2a.4a.\sin 120^\circ = 2{a^2}\sqrt 3 \).
\(12\).
\(3\).
\(6\).
\(24\).
Lời giải
Chọn C.
Theo đề bài tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là \(p = \frac{{12}}{2}\); bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1, tức là ta có: \(r = 1\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = p.r = 6.1 = 6\).
\(\sqrt 5 \).
\(\sqrt 3 \).
\(\sqrt 2 \).
\(2\).
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng định lý côsin ta có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(A = 60^\circ \).
Áp dụng định lý sin ta có \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \sqrt 2 \).
\(1\).
\(\frac{8}{9}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{3}{4}\).
Lời giải
Chọn A.
Vì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Do đó bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{1}{2}AB.AC}}{{\frac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right)}} = \frac{{3.4}}{{3 + 4 + 5}} = 1\).
30.
60.
50.
90.
Lời giải
Chọn B.
Áp dụng định lý côsin vào tam giác \(ABC\) ta có
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Leftrightarrow 900 = {b^2} + {c^2} - bc \Leftrightarrow {(b + c)^2} - 3bc = 900\) \((1)\)
Lại có \(\frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow \frac{{bc\sqrt 3 }}{2} = (30 + b + c)5\sqrt 3 \Leftrightarrow bc = 300 + 10(b + c)\) \((2)\)
Thay (2) vào (1) ta có \[{(b + c)^2} - 30(b + c) - 900 = 900 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = 60(tm)\\b + c = - 30(l)\end{array} \right.\].
Vậy \(b + c = 60.\)
\(\widehat C = 35^\circ ;a \approx 2,71;b \approx 8,01\).
\(a \approx 2,71;b \approx 8,01\).
\(\widehat C = 35^\circ ;a = 2,71;b = 8\).
\(a = 2,71;b = 8\).
Lời giải
Chọn A.
\(\,\widehat A = 15^\circ ,\,\,\widehat B = 130^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 35^\circ .\)
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin 15^\circ }} = \frac{b}{{\sin 130^\circ }} = \frac{6}{{\sin 35^\circ }}\)
\( \Rightarrow a \approx 2,71;b \approx 8,01\).
\(4,42\,{\rm{km}}.\)
\(19,54\,{\rm{km}}.\)
\(8,39\,{\rm{km}}\).
\(70,46\,\,{\rm{km}}.\)
Lời giải
Chọn C.
Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ trên. Khoảng cách từ vị trí mới đến vị trí ban đầu chính bằng độ dài đoạn AC. Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác ABC, ta được
\(AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2BA.BC.\cos 135^\circ } \approx 8,39{\rm{ km}}{\rm{.}}\)
Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
\[134,5\] m.
\[135\] m.
\[134,7\] m.
Kết quả khác.
Lời giải
Chọn C.
Từ hình vẽ ta có \[\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\].
Xét tam giác \[ABC\] có \[\widehat {CAB} = 60^\circ \], \[\widehat {ABC} = 105^\circ 30'\] ta có
\[\widehat {CAB} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (Định lý tổng ba góc trong tam giác)
\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {CAB} - \widehat {ABC}\]\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - 60^\circ - 105^\circ 30' = 14^\circ 30 & '\].
Áp dụng định lý sin trong tam giác \[ABC\], ta có \[\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\]
\[ \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269,4\](m).
Tam giác \[ACH\] vuông tại \[H\] nên ta có \[CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269,4.\sin 30^\circ \approx 134,7\] (m).
Vậy ngọn núi cao khoảng \[134,7\]m so với mặt đất.
\({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).
\(\cos \alpha < 0\).
\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Vì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
Mà \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\). Do đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\). Vậy \(A = \frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = 16\,\,{\rm{(cm)}}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) được tính theo công thức \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = 24\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(r = 4\,\,{\rm{(cm)}}\).
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
Ta có \(p = (6 + 8 + 10):2 = 12\,\,{\rm{(cm)}}\).
Áp dụng công thức Heron trong tam giác, ta có:
\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) hay \(S = \sqrt {12 \cdot (12 - 6) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 10)} = 24\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Mà \(S = p \cdot r\) nên \(r = S:p = 24:12 = 2\,\,{\rm{(cm)}}\).
\(\widehat A = 75^\circ \).
\(b \approx 5,26\,\,{\rm{(cm)}}\).
\(c \approx 3,17\,\,{\rm{(cm)}}\).
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
Trong \(\Delta ABC\) ta có: \(\widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{8}{{\sin 75^\circ }} = \frac{b}{{\sin 45^\circ }} = \frac{c}{{\sin 60^\circ }}\)
Do đó, \(b = \frac{{8 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 5,86\,\,{\rm{(cm)}};\,\,c = \frac{{8 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 7,17\,\,{\rm{(cm)}}\).
Lời giải
Trả lời: \( - 1\).
\(D = \left( {\cos 1^\circ + \cos 179^\circ } \right) + \left( {\cos 2^\circ + \cos 178^\circ } \right) + \)\( \ldots + \left( {\cos 89^\circ + \cos 91^\circ } \right) + \cos 90^\circ + \cos 180^\circ \)
\(\begin{array}{l} = \left[ {\cos 1^\circ + \cos \left( {180^\circ - 1^\circ } \right)} \right] + \left[ {\cos 2^\circ + \cos \left( {180^\circ - 2^\circ } \right)} \right] + \ldots + \left[ {\cos 89^\circ + \cos \left( {180^\circ - 89^\circ } \right)} \right] + 0 - 1\\ = \left( {\cos 1^\circ - \cos 1^\circ } \right) + \left( {\cos 2^\circ - \cos 2^\circ } \right) + \ldots + \left( {\cos 89^\circ - \cos 89^\circ } \right) - 1\\ = 0 + 0 + \ldots + 0 + 0 - 1 = - 1.\end{array}\)
Lời giải
Trả lời: \(13\).
Do \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\).
Chia hai vế biểu thức \(A\) cho \(\sin \alpha \), ta có: \(A = \frac{{3 + 4\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{2 - 5\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }} = \frac{{3 + 4 \cdot \frac{1}{3}}}{{2 - 5 \cdot \frac{1}{3}}} = 13\).
Để kéo dây điện từ cột điện vào nhà phải qua một cái ao, anh Nam không thể đo độ dài dây điện cần mua trực tiếp được nên đã làm như sau: Lấy một điểm \(B\) như trong hình, người ta đo được độ dài từ \(B\) đến \(A\) (nhà) là \(15\;{\rm{m}}\), từ \(B\) đến \(C\) (cột điện) là \(18{\rm{\;m}}\) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Độ dài dây điện nối từ nhà ra đến cột điện bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Trả lời: 28,6.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos B} = \sqrt {{{15}^2} + {{18}^2} - 2 \cdot 15 \cdot 18 \cdot \cos 120^\circ } \approx 28,6\,\,{\rm{(m)}}.\)
Vậy độ dài dây điện nối từ nhà ra cột điện dài 28,6 m.
Từ một miếng bìa hình tròn, bạn Nam cắt ra một hình tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \[AB = 4\;{\rm{cm}},AC = 5\;{\rm{cm}},BC = 6{\rm{\;cm}}\] (Hình). Tính bán kính \(R\) của miếng bìa ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị centimét).
Lời giải
Trả lời: 3.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2.4.5}} = \frac{1}{8}\).
Mà \(\widehat A < 180^\circ \) nên \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - \frac{1}{{64}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).
Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{6}{{2 \cdot \frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} \approx 3\,\,{\rm{(cm)}}\).
Lời giải
Trả lời: 6,6.
Giả sử vật được đặt ở vị trí \(A\), hai lực tác động vào \(A\) lần lượt là các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) có độ lớn là \(3\;{\rm{N}},4\;{\rm{N}}\).
Vẽ hình bình hành \(ABCD\), ta có hợp lực tác động vào \(A\) là: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC = 4\).
Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \). Xét tam giác \(ABC\), theo định lí cô-sin ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 140^\circ \approx 43,39\)\( \Rightarrow AC \approx 6,6.{\rm{ }}\)
Vậy độ lớn của lực tổng hợp tác động vào vật \(A\) là xấp xỉ \(6,6\;{\rm{N}}\).
Một cái cây dạng thẳng đứng bị gió mạnh làm gãy không hoàn toàn (hai đoạn thân bị gãy vẫn dính liền nhau như hình vẽ). Một người muốn đo chiều cao của cây trước khi gãy, người ấy đó được đoạn thẳng nối từ gốc cây đến ngọn cây (đã ngã) là \(AB = 6\;\,{\rm{m}}\), hai góc \(\widehat {CAB} = 76^\circ ,\widehat {CBA} = 35^\circ \). Chiều dài của cây trước khi bị gãy bằng bao nhiêu mét (giả sử sự biến dạng lúc gãy không ảnh hưởng đến tổng độ dài của cây và kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Trả lời: 9,93.
Ta có: \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {76^\circ + 35^\circ } \right) = 69^\circ \).
Theo định lí sin: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow AC = \frac{{AB \cdot \sin B}}{{\sin C}} = \frac{{6 \cdot \sin 35^\circ }}{{\sin 69^\circ }} \approx 3,69\;{\rm{m}}\);
\(BC = \frac{{AB \cdot \sin A}}{{\sin C}} = \frac{{6 \cdot \sin 76^\circ }}{{\sin 69^\circ }} \approx 6,24\;{\rm{m}} \Rightarrow AC + BC \approx 9,93\;{\rm{m}}\).
Vậy chiều cao ban đầu của cây xấp xỉ bằng \(9,93\;{\rm{m}}\).
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;{\rm{m}}\), \(\widehat {CAB} = 45^\circ ,\widehat {CBA} = 70^\circ \). Vậy sau khi đo đạc và tính toán khoảng cách \(AC\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải
Trả lời: 41,5.
Ta có: \(\widehat {{\mkern 1mu} C{\mkern 1mu} } = 180^\circ - \widehat {{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} } - \widehat {{\mkern 1mu} B{\mkern 1mu} } = 65^\circ \).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \(ABC\) ta có
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB \cdot \sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40 \cdot \sin 70^\circ }}{{\sin 65^\circ }} \approx 41,5\;{\rm{m}}{\rm{. }}\)
Vậy khoảng cách giữa \(A\) và \(C\) khoảng \(41,5\) m.
Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \(Q\) trên biển cách nhau \(100\;\,{\rm{m}}\) và thẳng hàng với chân \(A\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\) người ta nhìn chiều cao \(AB\) của tháp dưới các góc \(\widehat {BPA} = 15^\circ \) và \(\widehat {BQA} = 55^\circ \). Tính chiều cao của tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Lời giải
Trả lời: \(33\;\).
\(\frac{{BQ}}{{PQ}} = \frac{{\sin \widehat {BPQ}}}{{\sin \widehat {PBQ}}} = \frac{{\sin 15^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \Rightarrow BQ = \frac{{PQ\sin 15^\circ }}{{\sin 40^\circ }}\).
\(\frac{{AB}}{{BQ}} = \sin 55^\circ \Rightarrow AB = BQ\sin 55^\circ = \frac{{PQ\sin 15^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \cdot \sin 55^\circ \approx 33\;\,{\rm{m}}.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
