Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
37 câu hỏi
Câu nào sau đây không là mệnh đề?
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
\(3 < 1\).
\(4 - 5 = 1\).
Bạn học giỏi quá!
Lời giải
Chọn D.
Vì “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không có khẳng định đúng hoặc sai nên không là mệnh đề.
Trong những câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến?
18 chia hết cho 9.
\(3n\) chia hết cho 9.
\(2109\) là số nguyên tố.
Nếu một số chia hết cho 18 thì số ấy chia hết cho 9.
Lời giải
Chọn B.
“\(3n\) chia hết cho 9” là mệnh đề chứa biến.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(6\sqrt 2 \) là số hữu tỷ.
Phương trình \({x^2} + 7x - 2 = 0\) có \(2\) nghiệm trái dấu.
\(17\) là số chẵn.
Phương trình \({x^2} + x + 7 = 0\) có nghiệm.
Lời giải
Chọn B.
Phương trình \({x^2} + 7x - 2 = 0\) có \(a.c = 1.\left( { - 2} \right) < 0\) nên nó có \(2\) nghiệm trái dấu.
Vậy mệnh đề ở phương án B là mệnh đề đúng. Các mệnh đề còn lại đều sai.
Phủ định của mệnh đề: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” là:
“Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau”.
“Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau”.
“Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.
“Hình thoi là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Lời giải
Chọn B.
Phủ định của “vuông góc” là “không vuông góc”.
Cho các mệnh đề \(P:\) “Hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông”, \(Q:\) “\(ABCD\) là hình chữ nhật”. Mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” được phát biểu là
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(ABCD\) là hình bình hành và có một góc vuông.
Nếu hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông thì \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông khi và chỉ khi \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông là điều kiện cần và đủ để \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Lời giải
Chọn B.
Mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” được phát biểu là “Nếu hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông thì \(ABCD\) là hình chữ nhật”.
Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu 12 chia hết cho 6 thì 12 chia hết cho 3”.
Nếu 12 không chia hết cho 6 thì 12 không chia hết cho 3.
Nếu 12 chia hết cho 3 thì 12 chia hết cho 6.
12 chia hết cho 6 là điều kiện đủ để 12 chia hết cho 3.
12 chia hết cho 6 khi và chỉ khi 12 chia hết cho 3.
Lời giải
Chọn B.
Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu 12 chia hết cho 6 thì 12 chia hết cho 3” là “Nếu 12 chia hết cho 3 thì 12 chia hết cho 6”.
Mệnh đề nào sau đây, có mệnh đề đảo là đúng?
Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.
Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
Nếu \(a\) và \(b\) cùng chia hết cho \(c\) thì \(ab\) chia hết cho \(c\).
Nếu \(a\) chia hết cho 2 thì \(a + 1\) là số lẻ.
Lời giải
Chọn D.
Nếu \(a + 1\) là số lẻ thì \(a\) là số chẵn nên \(a\) sẽ chia hết cho 2.
Do đó mệnh đề: “Nếu \(a\) chia hết cho 2 thì \(a + 1\) là số lẻ” là mệnh đề có mệnh đề đảo đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
“\(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) cân”.
“\(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) cân và có một góc \(60^\circ \)”.
“\(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) \(ABC\) là tam giác có ba cạnh bằng nhau”.
“\(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^\circ \)”.
Lời giải
Chọn A.
Mệnh đề kéo théo “\(ABC\) là tam giác đều \( \Rightarrow \) Tam giác \(ABC\) cân” là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo “Tam giác \(ABC\) cân \( \Rightarrow ABC\) là tam giác đều” là mệnh đề sai.
Do đó, 2 mệnh đề “\(ABC\) là tam giác đều” và “Tam giác \(ABC\) cân” không phải là 2 mệnh đề tương đương.
Cho mệnh đề: . Mệnh đề phủ định sẽ là
Lời giải
Chọn A.
Đáp án A đúng vì phủ định của là và phủ định của dấu là dấu .
Cho mệnh đề \[P:\] “Nếu \[a + b < 2\] thì một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1”. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề đã cho?
Điều kiện đủ để một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1 là \[a + b < 2\].
Điều kiện cần để một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1 là \[a + b < 2\].
Điều kiện đủ để \[a + b < 2\] là một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1.
Cả B và C.
Lời giải
Chọn A.
Ta dựa trên lý thuyết: Mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] là mệnh đề kéo theo. Khi đó, \[P\]là điều kiện đủ để có \[Q\] hoặc \[Q\] là điều kiện cần để có \[P\]. Ta dễ dàng chọn được đáp án đúng.
Cho \(P \Leftrightarrow Q\) là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overline P \Leftrightarrow \overline Q \) đúng.
\(\overline Q \Leftrightarrow P\) sai.
\(\overline P \Leftrightarrow \overline Q \) sai.
\(\overline P \Leftrightarrow Q\) sai.
Lời giải
Chọn C.
- Ta có \(P \Leftrightarrow Q\) khi và chỉ khi \(P \Rightarrow Q\) đúng và \(Q \Rightarrow P\) đúng.
- Khi đó \(\overline P \Rightarrow \overline Q \) đúng và \(\overline Q \Rightarrow \overline P \) đúng suy ra \(\overline P \Leftrightarrow \overline Q \) đúng.
Phương án trả lời là \(\overline P \Leftrightarrow \overline Q \) sai.
Mệnh đề khẳng định rằng:
Bình phương của mỗi số thực bằng \(3\).
Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng \(3\).
Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng \(3\).
Nếu \(x\) là số thực thì \({x^2} = 3\).
Lời giải
Chọn B.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x + 1|x \in \mathbb{N},x \le 5} \right\}\). Tập hợp A là:
\(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
\(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).
\(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).
\(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Lời giải
Chọn D.
Vì \(x \in \mathbb{N},x \le 5\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\} \Rightarrow x + 1 \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|2{x^2} - 3x + 1 = 0} \right\}\).
\(X = \left\{ 0 \right\}\).
\(X = \left\{ 1 \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{1}{2}} \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}\).
Lời giải
Chọn B.
Vì phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) có nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\] nhưng vì \(x \in \mathbb{Z}\), mà \(\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\).
Vậy \(X = \left\{ 1 \right\}\).
Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?
\(\left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left| x \right| < 1} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{Z}|6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{Q}|{x^2} - 4x + 2 = 0} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 4x - 3 = 0} \right\}\).
Lời giải
Chọn C.
Đáp án A: \(x \in \mathbb{Z},\left| x \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < x < 1 \Rightarrow x = 0\).
Đáp án B: Giải phương trình: \(6{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.\). Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 1\).
Đáp án C: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \). Vì \(x \in \mathbb{Q} \Rightarrow \) Đây là tập rỗng.
Số tập con của tập hợp: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|3{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2} - 2{x^2} - 2x = 0} \right\}\) là:
16.
8.
12.
10.
Lời giải
Chọn A.
Giải phương trình \(3{\left( {{x^2} + x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + x} \right) = 0\).
Đặt \({x^2} + x = t\) ta có phương trình \(3{t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
Với \(t = 0\) ta có \({x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\).
Với \(t = \frac{2}{3}\) ta có: \({x^2} + x = \frac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{3}\).
Vậy A có 4 phần tử suy ra số tập con của A là \({2^4} = 16\).
Cách viết nào sau đây là đúng?
\(a \subset \left[ {a;b} \right].\)
\(\left\{ a \right\} \subset \left[ {a;b} \right].\)
\(\left\{ a \right\} \in \left[ {a;b} \right].\)
\(a \in \left( {a;b} \right].\)
Lời giải
Chọn B.
Đáp án \(\left\{ a \right\} \subset \left[ {a;b} \right]\) đúng.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Có tất cả bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn \(A \subset X \subset B\)?
5.
6.
7.
8.
Lời giải
Chọn D.
X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.
Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập \(\left\{ {3;4;5} \right\}\), sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói trên ta được tập X.
Vì số tập con của tập \(\left\{ {3;4;5} \right\}\) là \({2^3} = 8\) nên có 8 tập X.
Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\};B = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\). Tập nào sau đây bằng tập \(A \cap B\)?
\(\left\{ {1;3;5} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
\(\left\{ {2;4;6;8} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;3;4;5;7;9} \right\}\).
Lời giải
Chọn A.
Vì \(A \cap B\) gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {2;4;6;9} \right\},B = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Tập nào sau đây bằng tập \(A\backslash B\)?
\(\left\{ {1;2;3;5} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;3;4;6;9} \right\}\).
\(\left\{ {6;9} \right\}\).
\(\emptyset \).
Lời giải
Chọn C.
Vì \(A\backslash B = \left\{ {x|x \in A{\rm{ v\`a }}x \notin B} \right\}\).
Cho các tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}:{x^2} - 7x + 6 = 0} \right\},B = \left\{ {x \in \mathbb{N}:\left| x \right| < 4} \right\}\). Khi đó:
\(A \cup B = A\).
\(A \cap B = A \cup B\).
\(A\backslash B \subset A\).
\(B\backslash A = \emptyset \).
Lời giải
Chọn C.
Ta có \(A = \left\{ {1;6} \right\}\),\(B = \left\{ {0;1;2;3} \right\} \Rightarrow A\backslash B = \left\{ 6 \right\} \Rightarrow A\backslash B \subset A\).
Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ; - 1} \right]\) và tập \(B = \left( { - 2; + \infty } \right)\). Khi đó \(A \cup B\) là:
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2; - 1} \right]\).
\(\mathbb{R}\).
\(\emptyset \).
Lời giải
Chọn C.
Vì \(A \cup B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \in A{\rm{ hoac }}x \in B} \right\}\) nên chọn đáp án C.
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 5;3} \right),B = \left( {1; + \infty } \right)\). Khi đó \(A \cap B\) là tập nào sau đây?
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( {1;3} \right]\).
\(\left[ { - 5; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 5;1} \right]\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có thể biểu diễn hai tập hợp A và B, tập \(A \cap B\) là phần không bị gạch ở cả A và B nên \(A \cap B = \left( {1;3} \right)\).
Cho hai tập hợp \(A = \left( {1;5} \right];B = \left( {2;7} \right]\). Tập hợp \(A\backslash B\) là:
\(\left( {1;2} \right]\).
\(\left( {2;5} \right)\).
\(\left( { - 1;7} \right]\).
\(\left( { - 1;2} \right)\).
Lời giải
Chọn A.
![Cho hai tập hợp A = (1;5];B = (2;7]. Tập hợp A\B là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/blobid1-1776308879.png)
\(A\backslash B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\backslash x \in A{\rm{ va }}x \notin B} \right\} \Rightarrow x \in \left( {1;2} \right]\).
Cho tập hợp \(A = \left( {2; + \infty } \right)\). Khi đó \({C_\mathbb{R}}A\) là:
\(\left[ {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right]\).
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ;2} \right]\).
Cho ba tập hợp \(A = \left[ { - 2;2} \right],B = \left[ {1;5} \right],C = \left[ {0;1} \right)\). Khi đó tập \(\left( {A\backslash B} \right) \cap C\) là:
\(\left\{ {0;1} \right\}\).
\(\left[ {0;1} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
\(\left[ { - 2;5} \right]\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có: \(A\backslash B = \left[ { - 2;1} \right) \Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cap C = \left[ {0;1} \right)\).
Cho tập hợp \({C_\mathbb{R}}A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right)\), \({C_\mathbb{R}}B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right).\) Tập \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)\)là:
\[\left( { - 3;\sqrt 3 } \right)\].
\[\emptyset \].
\[\left( { - 5;\sqrt {11} } \right)\].
\(\left( { - 3;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 8 } \right).\)
Lời giải
Chọn C.
\[{C_\mathbb{R}}A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right)\], \[{C_\mathbb{R}}B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right) = \left( { - 5;\,\sqrt {11} } \right)\]
\[A = \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {\sqrt 8 ; + \infty } \right)\], \[B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right).\]
\[ \Rightarrow A \cap B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right)\]\[ \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - 5;\sqrt {11} } \right).\]
Cho \(A = \left[ {1;4} \right];B = \left( {2;6} \right);C = \left( {1;2} \right).\)Tìm \(A \cap B \cap C:\)
\(\left[ {0;4} \right].\)
\(\left[ {5; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ;1} \right).\)
\(\emptyset .\)
Lời giải
Chọn D.
\(A = \left[ {1;4} \right];B = \left( {2;6} \right);C = \left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow A \cap B = \left( {2;4} \right]\)\( \Rightarrow A \cap B \cap C = \emptyset \).
Cho hai mệnh đề \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông” và \(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Mệnh đề đảo của mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” là mệnh đề “Nếu \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông”.
Hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) không tương đương với nhau.
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là mệnh đề sai.
\(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Mệnh đề đảo của mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” là mệnh đề “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông”.
Hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) tương đương với nhau.
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là mệnh đề đúng.
Vì \(P\) và \(Q\) tương đương nên \(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\).
Cho hai mệnh đề sau:
\(P\): “Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật”.
\(Q\): “Số \(7\) là hợp số”.
Mệnh đề \(P\) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề \(Q\) là mệnh đề đúng.
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng.d) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề sai.
Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề sai.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai
Mệnh đề \(P\) là mệnh đề đúng.
Số \(7\) là số nguyên tố. Suy ra mệnh đề \(Q\) sai.
Vì \(P\) đúng và \(Q\) sai nên \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề sai.
Vì \(Q\) sai và \(P\) đúng nên \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề đúng.
Cho các tập hợp sau \(A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right|\left( {2x - {x^2}} \right)\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right) = 0} \right\}\) và \(B = \left\{ {\left. {x \in {\mathbb{N}^*}} \right|3 < {n^2} < 30} \right\}\).
Tập hợp A có 3 phần tử.
Tập hợp B có 4 phần tử.
Tập hợp \(A \cap B\) có 1 phần tử.
Tập hợp \(A \cup B\) có 5 phần tử.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai
Ta có \(A = \left\{ { - \frac{1}{2};0;2} \right\}\) vì \[\left( {2x - {x^2}} \right)\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {x^2} = 0\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\\{x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\].
Và \(B = \left\{ {2;3;4;5} \right\}\). Suy ra \(A \cap B = \left\{ 2 \right\}\) và \(A \cup B = \left\{ { - \frac{1}{2};0;2;3;4;5} \right\}\).
Một lớp có \[40\] học sinh, biết rằng ai cũng đăng kí thi ít nhất một trong hai môn là cờ vua và cờ tướng. Có \[17\] em đăng kí môn cờ vua, \[28\] em đăng kí môn cờ tướng.
Có \(28\) học sinh chỉ đăng kí môn cờ tướng.
Số học sinh đăng kí môn cờ vua là \[17\] học sinh.
Số học sinh đăng kí môn cờ tướng là \[28\]học sinh.
Có tất cả \(5\) học sinh đăng kí cả hai môn cờ.
Lời giải
a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng
Gọi \[x\]là số học sinh chỉ đăng kí môn cờ vua.
\[y\] là số học sinh chỉ đăng kí môn cờ tướng.
\[z\] là số học sinh tham gia cả hai môn này.
Số học sinh đăng kí môn cờ vua là \[17\] học sinh \[ \Rightarrow x + z = 17\]\[ \Leftrightarrow x = 17 - z\].
Số học sinh đăng kí môn cờ tướng là \[28\]học sinh \[ \Rightarrow y + z = 28\] \[ \Leftrightarrow y = 28 - z\].
Vì tổng số học sinh lớp đó là \[40\] học sinh nên ta có: \[x + y + z = 40\]
\[ \Leftrightarrow 17 - z + 28 - z + z = 40\]\[ \Leftrightarrow z = 5\]. Suy ra \(x = 12,y = 23\).
Vậy có \(23\) học sinh chỉ đăng kí môn cờ tướng, có 12 học sinh chỉ đăng kí môn cờ vua và số học sinh đăng kí cả hai môn cờ là \[5\] học sinh.
Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào bị lũ lụt năm 2020, có 25 học sinh lớp 12A đã tham gia ủng hộ, mỗi học sinh ủng hộ nhiều nhất 2 tờ tiền khác nhau trong ba loại tờ tiền mệnh giá \(5000\) đồng, \(10\,000\) đồng và \(20\,000\) đồng. Biết rằng số học sinh đã tham gia ủng hộ thỏa mãn đồng thời ba kết quả như sau:
Số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng bằng tổng số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng.
Trong số học sinh không ủng hộ tờ \(5000\) đồng thì số học sinh có ủng hộ tờ \(10\,000\) đồng nhiều gấp hai lần số học sinh có ủng hộ tờ \(20\,000\) đồng.
Số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng nhiều hơn số học sinh ủng hộ tờ \(5000\) đồng và một tờ khác là 1 học sinh.
Có \(2\) học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng.
Có \(8\) học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng.
Nếu gọi số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\) và số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là \(c\) thì \(a + c = 9\).
Có \(6\) học sinh lớp 12A chỉ ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng, một tờ \(10\,000\) đồng, một tờ \(20\,000\) đồng lần lượt là: \(x\), \(y\), \(z\).
Số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\).
Số học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng là: \(b\).
Số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là: \(c\). \(\left( {x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}} \right)\).
Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):
Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y + z{\rm{ }}\left( 1 \right)\\y + b = 2\left( {z + b} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\x = a + c + 1{\rm{ }}\left( 3 \right)\\x + y + z + a + b + c = 25{\rm{ }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\] với \[x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}\].
Từ \(\left( 2 \right)\) ta có: \[y - 2z = b \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 2z\] \(\left( * \right)\)
Thế \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) và khử \(x,a,b,c\), ta được: \(4y + z = 26 \Leftrightarrow y = \frac{{26 - z}}{4} \le \frac{{26}}{4}\).
Từ điều kiện \(\left( * \right)\): \(y = \frac{{26 - z}}{4} = \frac{{52 - 2z}}{8} \ge \frac{{52 - y}}{8} \Leftrightarrow 9y \ge 52 \Leftrightarrow y \ge \frac{{52}}{9}\).
Do đó: \(\frac{{52}}{9} \le y \le \frac{{26}}{4}\) và \(y \in \mathbb{N}\) suy ra: \(y = 6\); \(z = 2\); \(x = 8\) thay vào tìm được \(b = 2\) và \(a + c = 7\).
Vậy:
+ Có \(2\) học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng.
+ Có \(8\) học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng.
+ Nếu gọi số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\) và số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là \(c\) thì \(a + c = 7\).
+ Có \(6\) học sinh lớp 12A chỉ ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng.
Lớp 10A có \(10\) học sinh giỏi Toán, \(10\) học sinh giỏi Lý, \(11\) học sinh giỏi hóa, \(6\)học sinh giỏi cả Toán và Lý, \(5\) học sinh giỏi cả Hóa và Lý, \(4\) học sinh giỏi cả Toán và Hóa, \(3\) học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?
Lời giải
Trả lời: 19.
Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:
Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:
Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 6 – 3 = 3 (em).
Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 4 – 3 = 1 (em).
Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 5 – 3 = 2 (em).
Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em).
Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em).
Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em).
Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là: 3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 = 19 (em).
Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.
Lời giải
Trả lời: 6.
Vì nhóm có 12 học sinh, trong đó có 4 học sinh không tham gia tiết mục nào nên tổng số học sinh tham gia hai tiết mục múa và hát là: \(12 - 4 = 8\) (học sinh).
Trong 5 học sinh tham gia tiết mục múa, có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục.
Vậy số học sinh chỉ tham gia tiết mục múa là: \(5 - 3 = 2\) (học sinh).
Do đó số học sinh tham gia tiết mục hát là: \(8 - 2 = 6\) (học sinh).
Lớp 10C1 có 45 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục nhảy Flashmob và tiết mục hát, có 35 học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, 10 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát? Biết rằng lớp 10C1 có bạn Kiệt, Hạ, Toàn, Thiện bị khuyết tật hòa nhập nên không tham gia tiết mục nào.
Lời giải
Trả lời: 16.
Kí hiệu \(A\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, \(B\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát, \(E\) là tập hợp học sinh trong lớp. Ta có thể biểu diễn ba tập hợp đó bằng biểu đồ Ven như hình bên:
Khi đó \(A \cap B\) là tập hợp học sinh tham gia cả hai tiết mục. Số phần tử của tập hợp \(A\) là 35, số phần tử của tập hợp \(A \cap B\) là 10, số phần tử của tập hợp \(E\) là 45.
Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là \(45 - 4 = 41\) (em).
Số học sinh tham gia tiết mục hát mà không tham gia tiết mục nhảy Flashmob là \(41 - 35 = 6\) (em).
Số học sinh tham gia tiết mục hát là \(6 + 10 = 16\) (học sinh).
Trong đợt khảo sát nghề, giáo viên chủ nhiệm lớp 10D đưa ra ba nhóm ngành cho học sinh lựa chọn, đó là: Giáo dục, Y tế, Công nghệ thông tin. Học sinh có thể chọn từ một đến ba nhóm ngành nêu trên hoặc không chọn nhóm ngành nào trong ba nhóm ngành trên. Giáo viên chủ nhiệm thống kê theo từng nhóm ngành và được kết quả: có 6 học sinh chọn nhóm ngành Giáo dục, 9 học sinh chọn nhóm ngành Y tế, 10 học sinh chọn nhóm ngành Công nghệ thông tin, 22 học sinh không chọn nhóm ngành nào trong ba nhóm trên. Nếu thống kê số lượng học sinh chọn theo từng hai nhóm ngành được kết quả: có 3 học sinh chọn hai nhóm ngành Giáo dục và Y tế, 2 học sinh chọn hai nhóm ngành Y tế và Công nghệ thông tin, 3 học sinh chọn hai nhóm ngành Giáo dục và Công nghệ thông tin. Hỏi có bao nhiêu học sinh chọn cả ba nhóm ngành nêu trên biết lớp 10D có 40 học sinh?
Lời giải
Trả lời: 1.
Gọi \(A,B,C\) lần lượt là tập hợp học sinh chọn nhóm ngành Giáo dục, Y tế, Công nghệ thông tin.
Khi đó \(A \cup B \cup C\) là tập hợp các học sinh chọn ít nhất một trong ba nhóm ngành trên.
Do lớp 10D có 40 học sinh và 22 học sinh không chọn nhóm ngành trong ba nhóm ngành trên nên số học sinh chọn ít nhất một trong ba nhóm ngành trên là \(40 - 22 = 18\).
Ta có: \(n\left( A \right) = 6\,;\,\,n\left( B \right) = 9\,;\,\,n\left( C \right) = 10\,;\,\,n\left( {A \cup B \cup C} \right) = 18\,;\,\,n\left( {A \cap B} \right) = 3\),
\(n\left( {B \cap C} \right) = 2\,;\,\,n\left( {A \cap C} \right) = 3\).
Áp dụng công thức tính số phần tử của tập hợp:
\(n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {A \cap C} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)\)
Ta có số học sinh chọn cả ba nhóm ngành nêu trên là:
\(n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {A \cup B \cup C} \right) + n\left( {B \cap C} \right) + n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap C} \right) - n\left( A \right) - n\left( B \right) - n\left( C \right)\)
\( = 18 + 3 + 2 + 3 - 6 - 9 - 10 = 1\).
