70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P2)

Chọn C.

Mặt khác: u_n > 1 và khi n càng lớn thì u_n càng lớn.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn dưới.

Chọn B.

Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: (u_n) 1 < u_n ≤ 2, ∀ n

Mà .

Vậy dãy (u_n) là dãy giảm và bị chặn.

Chọn A.

Trước hết ta chứng minh 1 < u_n < 4

* Ta chứng minh (u_n) là dãy tăng

Ta có u₁ < u₂, giả sử $u_{k-1}<\hspace{0.17em}{u}_k; u_{k-2}< u_{k-1}$, ∀ n ≤ k.

Vậy dãy (u_n)  là dãy tăng và bị chặn.

Chọn A.

Ta có: 

Do đó: 

- Ta chứng minh dãy (y_n)  tăng.

Ta có: 

- Ta chứng minh dãy (y_n)  bị chặn.

Trước hết ta chứng minh: x_n ≤ 4(n – 1) (1)

 * Với n = 2, ta có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) đúng với n = 2

 * Giả sử (1) đúng với n, tức là: x_n ≤ 4(n – 1), ta có

Nên (1) đúng với n + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng

Ta có: 

Vậy bài toán được chứng minh.

Chọn D.

Ta có:

Chọn D.

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

Chọn D.

Từ giả thiết bài toán, ta có: 

Ta có: Tổng S là tổng  27 số hạng của 1 cấp số cộng có số  hạng đầu là $u_4$, công sai d =  -3

Do đó:  

Chọn C.

Do a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b – a = c – b

⇔ (b – a)² = (c – b)²

$\iff b^2- 2ab +\hspace{0.17em}{a}^2 = c^2- 2bc +\hspace{0.17em}{b}^2$

 ⇔ a² – c² = 2ab – 2bc

⇔ a² +c² = 2c² + 2ab – 2bc = 2ab + 2c(c – b)

              = 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.

Chọn B.

Ta có a; b; c  theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b

Suy ra -2( a+ c) = -2.2b hay -2a + (-2c) = 2.(-2b)

-2c; -2b; -2a  theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Chọn C.

Có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224 ⇔ u₁ + 3d + u₁ + 7d + $u_1+\hspace{0.17em}11d$ + u₁ + 15d = 224

⇔ 4 u₁ + 36d = 224 ⇔ u₁ + 9d = 56

Ta có: S₁₉ = 19/2. (2 u₁ + 18d) = 19(u₁ + 9d) = 19.56 = 1064

Chọn C.

Ta có: u₂₃ + u₅₇ = 29 ⇔ u₁ + 22d + u₁ + 56d = 29 ⇔ 2u₁ + 78d = 29 

Ta có: 3u₁ + u₁₀ + u₇₀ + u₁₅₇ = 3u₁ + u₁ +9d + u₁ + 69d + u₁ + 156d

= 6u₁ + 234d = 3(2u₁ + 78d) = 3.29 = 87

Chọn D.

S = 100² – 99² +98² – 97² + … + 2² – 1²

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + … + (2-1)(2+1)

= 199 + 195 + … + 3

Ta có dãy số 3, 7, …, 195, 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u₁ = 3 và số hạng n là u_n = 199.

Do đó có 199 = 3 + (n – 1).4 ⇒ n = 50.

Vậy .

Chọn C.

Giả sử có tất cả n hàng cây được trồng

Số cây các hàng là 1; 2; 3; 4; .... ;  n - 1;  n 

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng có u₁ = 1; d = 1

Giả sử có n hàng cây thì

Chọn D.

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng có u₁ = 7; d = 5 .

Gọi n  là số ô trên bàn cờ thì u₁ + u₂ + .... + u_n = 25450 = S_n

Ta có :

Chọn A.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

1+ sin x + 1 + sin 3x = 2sin²x

2+ sin x + $3\sin x - 4{\sin }^{3}x$ = 2sin²x

⇔ 2 + 4sin x – 4sin³ x = 2sin²x

⇔ 2sin³x + sin²x – 2sin x – 1 = 0

⇔ (2sin x + 1)(sin²x – 1) = 0

Với nghiệm  và x ∈ [0;2π], ta tìm được .

Với nghiệm  và x ∈ [0;2π], ta tìm được .

Với nghiệm  và x ∈ [0;2π] ta tìm được nghiệm 

Do đó 

Chọn B.

Gọi bốn số đó là a ;b ;c ;d

Do 3 số đầu lập thành cấp số cộng nên:  a + c = 2b

Do 3 số sau lập thành cấp số nhân nên bd = $c^2$

Tổng số đầu và cuối bằng 37 nên : a + d = 37

Tổng hai số giữa bằng 36 nên :  b + c = 36

Ta có hệ:

Giải ra ta được : b = 16 ; c = 20 ; d = 25 ; a = 12.

Chọn B.

+ Ta có các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành CSC nên suy ra

2( 2x + 3y) = 5x – y + x+ 2y $\iff 4x +6y =6x+\hspace{0.17em}y$

hay 2x = 5y  (1)

Các số (y + 1)², xy + 1, (x – 1)² lập thành CSN suy ra

   (xy + 1)² = (y + 1)²(x – 1)²

$$\begin{gathered} \iff {(xy +\hspace{0.17em}1)}^2= {(xy +\hspace{0.17em}x - y- 1)}^2\iff {(xy +\hspace{0.17em}1)}^2- {(xy +\hspace{0.17em}x - y- 1)}^2 = 0 \\ \iff (xy + 1 - xy - x+\hspace{0.17em}y +\hspace{0.17em}1).(xy +\hspace{0.17em}1 +\hspace{0.17em}xy +\hspace{0.17em}x - y -1) = 0 \\ \iff ( 2+\hspace{0.17em}y -x). (2xy+\hspace{0.17em}x- y)= 0 \end{gathered}$$

⇔ (4 + 2y – 2x)(4xy + 2x – 2y) = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y² + 5y – 2y) = 0

⇔ y(4 – 3y)(10y + 3) = 0 ⇔ y = 0, y = 4/3, y = -3/10.

Với y = 0 thì x = 0

Với y = 4/3 thì x = 10/3

Với y = - 3/10 thì x = -3/4

Vậy 

Chọn A.

Giải hệ này ta tìm được 

Chọn B.

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó: x₁ + x₃ = 2x₂,

Theo định lí viet đối với phương trình bậc ba ta có: 

x₁ + x₂ + x₃ = 3 ⇒ x₂ = 1

Thay vào phương trình ta có:  

  $1^3-3.1^2-9.1 +m = 0\iff m = 11$

+ Ngược lại , với m = 11 ta có phương trình : x³ – 3x² – 9x + 11 = 0

⇔ (x – 1)(x² – 2x – 11) = 0 ⇔ 

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Đặt t = x², t ≥ 0.

Phương trình trở thành: t² – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0  (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ > 0.

Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: 

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

Theo định lý viet thì : 

Vậy m = 4 hoặc  là những giá trị cần tìm.

Chọn C.

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:

Suy ra:  ⇔ 39q⁴ – 82q³ -82q² -82q + 39 = 0

⇔ (3q – 1)(q – 3)(13q² + 16q + 13) = 0 ⇔ q = 1/3, q = 3

Chọn C.

Theo câu 22 ta có:

Ta có: 

Chọn B.

Theo  câu 21 và 22 ta có: 

Với q = 3 ta có:  nên có một số hạng của dãy

Với q = 1/3 ta có:  nên có một số hạng của dãy.

Chọn D.

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó :

Thay vào phương trình ta có:

Giải phương trình trên ta được: m = -1; m = 3; m = -4.

+ Ngược lại: Với m = -1 thay vào phương trình đã cho ta được:

Ba nghiệm này lập thành cấp số nhân với công bội  q=0  ( thỏa mãn )

+ Với m = 3  thay  vào  phương trình đã cho ta được:

Trường hợp loại

+ Với m = - 4 thay vào phương trình đã cho ta được: 

Trường hợp này không thỏa mãn,

Vậy giá trị  m cần tìm là  m = - 1 

Chọn C

Ta có 

Đặt: v_n = u_n + 5

Khi đó ta được dãy mới; là cấp số nhân với : v₁ = 6;công bội q = 2

⇒ v₂₀₁₈ = 2²⁰¹⁷.v₁ = 6.2²⁰¹⁷ ⇒ u₂₀₁₈ = 6.2²⁰¹⁷ – 5.