70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P1)

Chọn C.

Ta có: 

Cộng hai vế ta được u_n = 1 + 1² + 2² +… + (n -1)² = 

Chọn A.

Ta có: 

Cộng hai vế ta được u_n = 2 + 1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) = 2 + (n – 1)²

Chọn B.

Ta có:

⇒ u_n+1 > u_n ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.

u_n >  = n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới.

Chọn D.

Ta có: 

Chọn A.

Ta có  và tam giác ABC nhọn nên A = 45º.

A + B + C = 180 º ⇒ B + C = 180º - 45º = 135º

Do 3 góc tam giác lập thành cấp số cộng ; số đo góc A nhỏ nhất nên B = A + d; C = A + 2d.

Khi đó: B + C = A + d + A + 2d = 2A + 3d ⇒ 3d = 135º - 2.45º = 45º

⇒ d = 15º ⇒ B = A + d = 60º; C = A + 2d = 75º

Chọn D.

Ta có: B ≤ A ≤ C ≤ D nên A < 180º

Lại có tan A không xác định nên A = 90º

Do 4 góc tứ giác lập thành cấp số cộng và B ≤ A ≤ C ≤ D nên

B = 90 - d; C = 90 + d; D = 90 + 2d.

Ta có: A + B + C + D = 360 ⇒ 90 + 90 – d + 90 + d + 90 + 2d = 360

⇒ d = 0 ⇒ A = B = C = D = 90º.

Chọn C.

Ta có: u₂ + u₂₂ = 40 ⇔ u₁ + d + u₁ + 21d = 40 ⇔ 2u₁ + 22d = 40

Mà 

Chọn B.

Ta có : u₁ + u₄ + u₇ + u₁₀ + u₁₃ + u₁₆ = 147

⇔ u₁ + u₁ + 3d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ + 12d + u₁ + 15d = 147

⇔ 6 u₁ + 45d = 147 ⇔ 2 u₁ + 15d = 49

Ta có: u₁ + u₆ + u₁₁ + u₁₆ = u₁ + u₁ + 5d + u₁ + 10d + u₁ + 15d = 4u₁ + 30d

 = 2(2u₁ + 15d) = 2.49 = 98.

Chọn A.

Ta có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224 ó u₁ + 3d + u₁ + 7d + $u_1 +\hspace{0.17em}11d$+ u₁ + 15d = 224

⇔ 4 u₁ + 36d = 224 ⇔ u₁ + 9d = 56

Ta có: S₁₉ = (19/2).(2 u₁ + 18d) = 19(u₁ + 9d) = 19.56 = 1064

Chọn D.

Ta có:

+) u₂₃ + u₅₇ = 29 ⇔ u₁ + 22d + u₁ + 56d = 29 ⇔ 2 u₁ + 78d = 29 

+) 3 u₁ + u₁₀ + u₇₀ + u₁₅₇ = 3 u₁ + u₁ + 9d + u₁ + 69d + u₁ + 156d = 6 u₁ + 234d

= 3(2 u₁ + 78d) = 3.29 = 87

Chọn  D.

Gọi bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng là u₁ = u – 3d, u₂ = u – d, u₃ = u + d, u₄ = u + 3d với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có:

Giải (2): đặt t = d², điều kiện t ≥ 0

⇔ 24(100 – 20t) =5 (25 – 9t)(25 – t)$\iff$24. (20 -  4t) = (25- 9t). ( 25- t)

⇔ 9t² – 154t + 145 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 145/9

Vì các số hạng là những số nguyên nên chọn t = 1.

Khi đó d² =1 ⇒ d = 1; d = -1.

Chọn C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

+ Ta có 

+ Ta có:

+ Ta có 

+ Ta có 

Chọn A.

Ta có a₁ + a₂ + … + a_n = S_n = n³ và có a₁ + a₂ + … + a_n-1 = S_n-1 = (n – 1)³.

Suy ra a_n = S_n – S_n-1 = n³ – (n – 1)³ = 3n² – 3n + 1.

Ta có a_n = 3n² – 3n + 1.

và a_n-1 = 3(n – 1)² – 3(n – 1) + 1 = 3n² – 9n + 7.

Do đó a_n – a_n-1 = 6n – 6 ≥ 0.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi n – 1 = 0 hay n = 1. suy ra dãy số (a_n) là dãy số tăng.

Chọn D.

Có 

Chọn B.

Gọi số hàng cây là n.

Số cây lần lượt trên các hàng là 1; 2; 3..; n.

Đây là một cấp số cộng  với số hạng đầu u₁ = 1; d = 1 .

Tổng số cây trên n hàng là:

Vậy số hàng cần tìm là 77.

Chọn D.

Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃ lập thành một cấp số cộng.

Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x₁ + x₂ + x₃ = 3   (1)

 Vì x₁; x₂; x₃ lập thành cấp số cộng nên x₁ + x₃ = 2x₂ (2)

Từ (1) và (2)  suy ra 3x₂ = 3 ⇔ x₂ = 1.

Thay x₂ = 1 vào phương trình đã cho, ta được

1 - 3.1 - 9.1 + m = 0 suy ra m = 11

- Điều kiện đủ:

+ Với m = 11 thì ta có phương trình x³ – 3x² – 9x + 11 = 0 ⇔  

Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên m = 11  là giá trị cần tìm.

Chọn C.

Đặt t = x².

Khi đó ta có phương trình: t² – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0    (*)

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 

+ Với điều kiện trên thì  phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁  <  t₂.

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 2(m + 1) ; t₁.t₂ = 2m + 1.

Suy ra ta có hệ phương trình 

Chỉ có m = 4  thỏa mãn điều kiện .

Do đó 4³ = 64.

Chọn C.

Giả sử u_n là số hạng thứ n của cấp số cộng thứ nhất ta có:  u_n = 5 + 3(n – 1)

  và v_m = 3 + 4(m – 1) là số hạng thứ m của cấp số cộng thứ 2.

Để u_n = v_m khi và chỉ khi:
5 + 3(n - 1) = 3 + 4(m - 1) hay 3n + 2 = 4m - 1 ⇒ n = m/3 + m – 1

Đặt m/3 = t (t ∈ N*) ⇒ m = 3t; n= 4t - 1

Vì m; n không lớn hơn 100 nên:

Kết hợp với t là số nguyên dương nên t ∈ {1; 2; 3;…; 25}

Tương ứng với 25 giá trị của t ta được 25 số hạng chung của 2 dãy (u_n); (v_m).

Chọn C.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 hay a = -3.

Suy ra u₁ = -3.

Ta có . 

Chọn A.

Do đó x + y = 4.

Chọn A.

Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n).

Đặt b_n = a_n + 5 khi đó b_n+1 = a_n+1 + 5.

Từ hệ thức truy hồi a_n+1 = 3a_n + 10 suy ra b_n+1 – 5 = 3(b_n – 5) + 10 ⇔ b_n+1 = 3b_n.

Suy ra, dãy số$(\hspace{0.17em}{b}_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu là  b₁ = a₁ + 5 = 6; công bội q = 3

Do đó, $b_n= 6. 3^{n -1}$, ∀ n ∈ N*,

suy ra a_n = 6.3^n-1 – 5, ∀ n ∈ N*.

Do đó a₁₅ = 28697809.

Chọn A.

Ta có u_n+1² = 2010 + u_n ⇒ u_n+1 – u_n = -u_n+1² + u_n+1 + 2010

Bằng quy nạp ta chứng minh được 

Suy ra u_n+1 – u_n  > 0 ⇒ dãy (u_n) là dãy tăng.

Chọn B.

Ta có: u₁ = 1; u₂ = 3/2; u₃ = 17/6; u₄ = 227/34.

Ta chứng minh u_n > 0 bằng quy nạp.

Giả sử u_n > 0, khi đó: 

Nên .

Chọn A.

Từ công thức truy hồi, ta suy ra: $u_n>\hspace{0.17em}0 \forall n$ ( chứng minh bằng phương pháp quy  nạp) 

Ta có:  nên dãy (u_n) là dãy giảm.

Chọn B.

Từ công thức truy hồi, và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được $u_n > 0$ 

Ta có: 

Suy ra: u_n > u₀ – n = 2011 – n

Mặt khác: u_n = (u_n – u_n-1) + (u_n-1 – u_n-2) + … + (u₁ – u₀) + u₀

Mà: 

Suy ra u_n < u₀ – n + 1 = 2012 – n

Do đó: 2011 – n < u_n < 2012 – n ⇒ [u_n] = 2011 – n

Vì u₀ = 2011 và 

nên [u₀] = 2011 – 0, [u₁] = 2010 = 2011 – 1

Vậy [u_n] = 2011 – n,