15 bài tập Một số dạng toán về dãy số có lời giải
15 câu hỏi
Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,......
a) Nêu quy tắc viết dãy số?
b) Số 93 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?
Hướng Dẫn Giải
a) Ta thấy:
Số hạng thứ nhất: 2 = 2 × 1
Số hạng thứ hai: 4 = 2 × 2
Số hạng thứ ba: 6 = 2 × 3
Số hạng thứ tư: 8 = 4 × 2
...
Quy luật của dãy: Mỗi số hạng bằng 2 lần số chỉ vị trí của nó.
b) Do mỗi số hạng bằng 2 lần số chỉ vị trí của nó nên các số hạng của dãy số đều là số chẵn mà 93 là số lẻ nên 93 không thuộc dãy trên.
Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,......
- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
- Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
Hướng Dẫn Giải
Thấy:
2 = 3 × 1 – 1
5 = 3 × 2 – 1
8 = 3 × 3 – 1
11 = 3 × 4 – 1
14 = 3 × 5 – 1
17 = 3 × 6 – 1
Quy luật dãy số: Mỗi số hạng bằng 3 lần số chỉ vị trí của nó trừ đi 1.
Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
20 = 3 × 7 – 1
23 = 3 × 8 – 1
26 = 3 × 9 – 1
Thấy: 2000 = 3 × 666 – 1
Vậy số 2000 là số hạng thứ 666 của dãy đã cho.
Em hãy cho biết:
a) Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,...... hay không?
b) Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,...... hay không?
c) Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,...... giải thích tại sao?
Hướng Dẫn Giải
a) Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5.
b) Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều
dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.
c) Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,... vì:
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2;
cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn,
mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4;......; 13; 14, 2. Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?
Hướng Dẫn Giải
- Ta nhận xét:
2,2 - 1 = 1,2;
3,4 - 2,2 = 1,2;
14,2 - 13 = 1,2;......
Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn số
hạng liền trước nó 1,2 đơn vị:
- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.
Ví dụ: (13 – 1) : 1,2 = 10
(3,4 – 1) : 1,2 = 2
(34,6 – 1) : 1,2 = 28
Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.
Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997,......, 55, 52, 49.
Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?
100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999?
Hướng Dẫn Giải
Nhận xét: Đây là dãy cách đều với khoảng cách là 3.
Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không
phải là số hạng của dẫy số đã cho.
Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia hết cho 3, dư 1. Do đó, số 100 và số
1900 là số của dãy số đó.
Các số 123, 456, 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số
hạng của các dãy số đã cho.
Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,...
a) Nêu quy luật của dãy.
b) Số 31 có phải là số hạng của dãy không, nếu phải thì số hạng thứ bao nhiêu?
c) Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao?
Hướng Dẫn Giải
a) Thấy:
Số hạng thứ nhất: 1 = 3 × 1 – 2
Số hạng thứ hai: 4 = 3 × 2 – 2
Số hạng thứ ba: 7 = 3 × 3 – 2
Số hạng thứ tư: 10 = 3 × 4 – 2
Quy luật của dãy: Mỗi số hạng bằng 3 lần số chỉ vị trí của nó trừ đi 2.
b) Thấy: 31 = 3 × 11 – 2
Vậy số 31 là số hạng của dãy đã cho và là số hạng thứ 11.
c) Thấy: 1995 = 3 × 665.
Vậy 1995 không là số hạng của dãy số đã cho.
Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,..., 3008. Hỏi số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?
Hướng Dẫn Giải
Thấy:
1004 : 6 = 167 dư 2
1010 : 6 = 168 dư 2
1016 : 6 = 168 dư 2
3008 : 6 = 501 dư 2
Vậy các số hạng của dãy số đã cho khi chia cho 6 đều được số dư là 2.
Ta có:
2004 : 6 = 334 nên 2004 không thuộc dãy số đã cho
1760 = 293 dư 2 nên 1760 là một số hạng của dãy số đã cho.
Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,...,
a) Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.
b) Trong 2 số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?
Hướng Dẫn Giải
a) Ta có:
Số hạng thứ 1: 1 = 6 × 1 – 5
Số hạng thứ 2: 7 = 6 × 2 – 5
Số hạng thứ 3: 13 = 6 × 3 – 5
Số hạng thứ 4: 19 = 6 × 4 – 5
Quy luật: Mỗi số hạng bằng 6 lần số chỉ vị trí của nó trừ đi 5.
b) Ta có:
1999 = 6 × 334 - 5 nên 1999 thuộc dãy số đã cho.
2001 × 334 – 3 nên 2001 không thuộc dãy số đã cho.
Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,......Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?
Hướng Dẫn Giải
Những số hạng của dãy đều có tận cùng là 3 hoặc 8. Do đó không có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 thuộc dãy số trên.
Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,......, 45, 55,......
a) Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?
b) Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là số hạng của dãy số đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó?
Hướng Dẫn Giải
a) Ta có:
Số hạng thứ 2: \[3 = \frac{{\left( {1 + 2} \right) \times 2}}{2}\]
Số hạng thứ 3: \[6 = \frac{{\left( {1 + 3} \right) \times 3}}{2}\]
Số hạng thứ 4: \[10 = \frac{{\left( {1 + 4} \right) \times 4}}{2}\]
Số hạng thứ 5: \[15 = \frac{{\left( {1 + 5} \right) \times 5}}{2}\]
...
Vậy số hạng thứ n là: \[3 = \frac{{\left( {n + 1} \right) \times n}}{2}\]
Nếu 1997 là số hạng của dãy số này thì ta có:
\[1997 = \frac{{\left( {n + 1} \right) \times n}}{2}\]
→ (n + 1) × n = 2 × 1997
Vậy không tìm được n thích hợp. Suy ra 1997 không thuộc dãy đã cho.
b) Nếu 561 là số hạng của dãy số đã cho thì ta có:
\[\frac{{\left( {n + 1} \right) \times n}}{2} = 561\]
→ (n + 1) × n = 561 × 2
→ n × (n + 1) = 33 × 17 × 2
→ n × (n + 1) = 33 × 34
Suy ra: n = 33.
Vậy 561 là số hạng của dãy số đã cho và là số hạng thứ 33 của dãy.
Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng các số trong 3 ô liên tiếp bằng 2016.
|
|
|
|
| 601 |
|
|
| 114 |
|
|
|
|
| 601 |
|
|
| 114 |
Ô 1 | Ô 2 | Ô 3 | Ô 4 | Ô 5 | Ô 6 | Ô 7 | Ô 8 | Ô 9 | Ô 10 |
Do tổng 3 ô liên tiếp bằng 2016 nên có:
Ô 7 + Ô 8 + Ô 9 = Ô 8 + Ô 9 + Ô 10 = 2016
⟹ Ô 7 = Ô 10 = 114.
Cũng có:
Ô 6 + Ô 7 + Ô 8 = Ô 7 + Ô 8 + Ô 9
⟹ Ô 6 = Ô 9 = 601.
Có Ô 8 + Ô 9 + Ô 10 = 2016
Hay Ô 8 + 601 + 114 = 2016
Ô 8 + 715 = 2016
Ô 8 = 2016 – 715 = 1301.
Lý luận tương tự với các ô khác ta được:
114 | 1301 | 601 | 114 | 1301 | 601 | 114 | 1301 | 601 | 114 |
Xét dãy số: 100, 101, ......., 789.
a) Dãy này có bao nhiêu số hạng?
b) Số thứ 100 là số nào?
c) Dãy này có bao nhiêu chữ số?
Hướng Dẫn Giải
a) Số số hạng của dãy là:
(789 – 100) : 1 + 1 = 690.
b) Số hạng thứ 100 của dãy là:
(100 – 1) × 1 + 100 = 199.
c) Mỗi số hạng của dãy có 3 chữ số nên số chữ số của dãy là:
690 × 3 = 2070.
Để đánh số trang của một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 792 chữ số. Hỏi cuốn sách dày bao nhiêu trang ?
Hướng Dẫn Giải
Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang mỗi trang có 1 chữ số. Dùng 9 × 1 = 9 chữ số để đánh số các trang này.
Từ trang 10 đến trang 99 có: 99 – 10 + 1 = 90 trang mỗi trang có 2 chữ số.
Dùng 90 × 2 = 180 chữ số để đánh số các trang có 2 chữ số.
Số chữ số để đánh số trang có 3 chữ số là: 792 – (9 + 180) = 603 chữ số.
Số trang sách có 3 chữ số là: 603 : 3 = 201 (trang)
Số trang sách của cuốn sách là: 9 + 90 + 201 = 300 (trang)
Đáp Số: 300 trang.
Để đánh số trang của một quyển truyện người ta phải dùng tất cả 1242 chữ số. Hỏi quyển truyện dày bao nhiêu trang ?
Hướng Dẫn Giải
Từ trang 1 đến trang 9 dùng: 9 chữ số để đánh số.
Từ trang 10 đến trang 99 dùng: 180 chữ số để đánh số.
Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số là: 1242 - (9 + 180) = 1053 (chữ số)
Số trang sách có 3 chữ số là: 1053 : 3 = 351 (trang).
Số trang của quyển truyện là: 9 + 90 + 351 = 450 (trang)
Đáp Số: 450 trang.
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3;...;n . Tìm n biết số chữ số của dãy đó bằng 3 × n.
Hướng Dẫn Giải
Số chữ số trung bình để viết một số hạng của dãy là:
3 × n : n = 3 (chữ số)
Từ 1 đến 9 có 9 số hạng, mỗi số hạng dùng 1 chữ số để viết. Vậy kém số chữ số trung bình của dãy là: 3 – 1= 2 (chữ số).
Từ 10 đến 99 có 99 số hạng, mỗi số hạng dùng 2 chữ số để viết. Vậy kém số chữ số trung bình của dãy là: 3 – 2 = 1 (chữ số).
Các số hạng có 3 chữ số bằng số chữ số trung bình của dãy. Và có: 999 – 100 + 1 = 900 số hạng như vậy.
Vậy cần một số số hạng có 4 chữ số để bù vào các số hạng có 1 chữ số và 2 chữ số để được số chữ số trung bình của dãy là 3.
Mỗi số hạng có 4 chữ số hơn số chữ số trung bình của dãy là: 4 – 3 = 1 (chữ số).
Vậy để bù cho một số hạng có 1 chữ số cần 2 : 1 = 2 số hạng có 4 chữ số.
Có 9 số hạng có 1 chữ số nên cần: 2 × 9 = 18 số hạng có 4 chữ số để bù.
Để bù cho một số hạng có 2 chữ số cần: 1 : 1 = 1 số hạng có 1 chữ số.
Có 90 số hạng có 1 chữ số nên cần: 1 × 90 = 90 số hạng có 4 chữ số để bù.
Vậy có: 18 + 90 = 108 số hạng có 4 chữ số.
Vậy: n = 9 + 90 + 900 + 108 = 1107.
Đáp Số: 1107.
