11 bài tập Một số dạng toán về dãy số (tiếp) có lời giải
11 câu hỏi
Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, ......... 195.
a) Tính số chữ số trong dãy.
b) Chữ số thứ 195 là chữ số nào?
Hướng Dẫn Giải
a) Ta viết lại dãy số:
1, ....., 9, 10, ......, 99, 100, ......, 195
Trong dãy có 9 số gồm 1 chữ số; các số này cho 9 chữ số.
Có 90 số gồm 2 chữ số; các số này cho 2 × 90 = 180 chữ số.
Có 195 – 100 + 1 = 96 số gồm 3 chữ số; các số này cho 3 × 96 = 288 chữ số.
Vậy chữ số trong dãy là:
9 + 180 + 2 = 477 (chữ số)
b) Từ 1 đến 99 có: 9 + 180 = 189 chữ số. So với 195 còn thiếu 195 – 189 = 6 chữ số nữa.
Vậy 6 chữ số còn thiếu là các chữ số của số: 100 và 101.
Suy ra: Chữ số thứ 195 của dãy là chữ số 1 ở hàng đơn vị của số 101.
Đáp Số: a) 477 chữ số b) 1.
Xét dãy số: 100, 101, ........., 789. Chữ số thứ 789 là chữ số nào?
Hướng Dẫn Giải
Thấy mỗi số hạng của dãy số đều có 3 chữ số nên xét thương sau: 789 : 3 = 263.
Vậy chữ số thứ 789 của dãy là chữ số hàng đơn vị của số hạng thứ 263 của dãy.
Số hạng thứ 263 của dãy là: 100 + 263 – 1 = 362.
Suy ra, chữ số thứ 789 của dãy là chữ số 2 của số 362.
Đáp Số: 2.
Một bạn học sinh viết: 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, ........
Và tiếp tục như thế để có một dãy số. Hãy tính xem số hạng thứ 1996 mà bạn học sinh viết là số mấy?
Hướng Dẫn Giải
Trong dãy số bạn học sinh viết cứ 5 số lại lặp lại từ đầu theo thứ tự 2, 3, 4, 5, 1.
Ta có: 1996 : 5 = 399 (dư 1)
Như thế bạn học sinh đã viết 399 lần các số 2, 3, 4, 5, 1 và được 5 × 399 = 1995 (số hạng).
Như vậy, số hạng thứ 1996 phải là số 2.
Đáp Số: 2.
Người ta viết các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số liền nhau thành một số lớn theo quy tắc sau:
10 12 14 16 18 .......... 96 98
a) Số đó có bao nhiêu chữ số?
b) Trong đó có bao nhiêu chữ số 6?
Hướng Dẫn Giải
a) Số số hạng của dãy là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (số hạng)
Số chữ số của dãy là: 45 × 2 = 90 (chữ số)
b) Số chữ số 6 ở hàng đơn vị là: (96 - 16) : 10 + 1 = 9.
Số chữ số 6 ở hàng chục là: 69 – 60 + 1 = 10.
Số chữ số 6 trong dãy là: 10 + 9 = 19.
Đáp Số: a) 90 b) 19
Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh thành một dãy chữ liên tiếp: (học sinh giỏi tỉnh, học sinh......) Hỏi chữ cái thứ 2002 của dãy là chữ cái nào?
Hướng Dẫn Giải
Ta thấy nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2002 chữ cái thì có:
2002 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 7 chữ cái.
Vậy chữ cái thứ 2002 của dãy chữ học sinh giỏi tỉnh là chữ H của từ SINH đứng ở vị trí thứ 7 của nhóm 134.
Đáp Số: H.
Người ta viết liên tiếp các chữ số 13579 thành một số M. Hỏi chữ số thứ 764 của số M là chữ số nào?
Hướng Dẫn Giải
Ta thấy nhóm chữ số 13579 gồm có 5 chữ số.
Giả sử số M có 764 chữ số thì có:
764 : 5 = 152 (nhóm) dư 4 chữ số.
Vậy chữ số 764 của dãy số là chữ số 7, đứng ở vị trí thứ 4 của nhóm, thứ 153.
Đáp Số: 7.
Một người viết liên tiếp dãy chữ thị xã thái bình, thành thi xa thai binh, thi xa......
a) Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì?
b) Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N?
c) Bạn Bình đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích tại sao?
d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím,... hỏi chữ cái thứ 2001 trang dãy được tô màu gì?
Hướng Dẫn Giải
a) Nhóm chữ THỊ XA THAI BINH có 13 chữ cái:
2002 : 13 = 154 (nhóm)
Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THỊ XA THAI BINH, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ H của từ BINH.
b) Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có 2 chữ T và cũng có 2 chữ A và 1 chữ N. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N.
c) Bạn đó đếm sai, vì số chữ A trong dãy phải là số chẵn.
d) Ta nhận xét:
- 2001 chia cho 4 dư 1.
- Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia hết cho 4 dư 1 thì được tô màu XANH.
Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH.
Một dãy số gồm các nhóm chữ như sau:
Hãy cố gắng, Hãy cố gắng, Hãy cố gắng...
a) Em hãy cho biết chữ cái thứ 273 trong dãy là chữ gì?
b) Nếu trong dãy số có 426 chữ A thì dãy số có bao nhiêu chữ N?
Hướng Dẫn Giải
a) Ta thấy rằng nhóm chữ Hãy cố gắng có 9 chữ cái và 273 : 9 = 30 (nhóm) và dư 3 chữ cái. Như vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 trong dãy thì nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết được 30 lần nhóm và 3 chữ cái tiếp theo là chữ HAY.
Vậy chữ cái thứ 273 là chữ Y.
b) Mỗi nhóm chữ trong dãy trên có hai chữ A và có 1 chữ N. Để dãy có 426 chữ A thì chữ Hãy cố gắng phải viết là 426 : 2 = 213 (nhóm)
Nhưng có những khả năng sau đây:
- Nhóm chữ cái thứ 213 chỉ viết là Hãy cố ga, khi đó nhóm chữ cuối này không có chữ N, nên chữ N trong dãy là: 213 – 1 = 212 (chữ).
- Nhóm chữ 213 chỉ viết là: Hãy cố gan, khi đó chữ N trong dãy là 213.
- Nhóm chữ 213 được viết trọn vẹn khi đó số chữ N trong dãy là 213.
Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp. Biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 980. Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố đó?
Hướng Dẫn Giải
Giữa số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố đó có: 20 – 2 = 18 số nhà nữa đều được đánh số chẵn.
Hiệu giữa số nhà cuối cùng và số nhà đầu tiên của dãy phố là:
(18 + 1) × 2 = 38.
Trung bình cộng của 20 số nhà đó cũng là trung bình cộng của số là đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy và bằng: 980 : 20 = 49.
Tổng số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy là: 49 x 2 = 98.
Số nhà đầu tiên của dãy phố là: (98 - 38) : 2 = 30.
Số nhà cuối cùng của dãy phố là: 30 + 38 = 68
Đáp Số: 30 và 68.
Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp. Biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 1000. Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố đó?
Hướng Dẫn Giải
Giữa số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố có 20 – 2 = 18 nhà nữa được đánh số lẻ.
Hiệu giữa số nhà cuối cùng và số nhà đầu tiên của dãy là: (18 + 1) × 2 = 38.
Trung bình cộng của số nhà của dãy phố là: 1000 : 20 = 50.
Tổng số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố là:
50 × 2 = 100.
Số nhà đầu tiên của dãy phố là:
(100 - 38) : 2 = 31
Số nhà cuối cùng của dãy phố là:
31 + 38 = 69.
Đáp Số: 31 và 69
Hãy cho biết trong dãy số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3; ....; 2009 có tất cả bao nhiêu chữ số 5.
Hướng Dẫn Giải
- Đếm số các chữ số 5 ở hàng đơn vị:
Các số có chữ số 5 ở hàng đơn vị lập thành dãy cách đều như sau:
5; 15; 25; 35; ...; 2005.
Số các số hạng của dãy là:
(2005 - 5) : 10 + 1 = 201 (số hạng)
Vậy số chữ số 5 ở hàng đơn vị của dãy là 201.
- Đếm số các chữ số 5 ở hàng chục:
+ 50; 51; 52; ...; 59: có 10 chữ số 5 ở hàng chục.
+ 150; 151; 152; ...; 159: có 10 chữ số 5 ở hàng chục.
.........
+ 1950; 1951; 1952; ...; 1959: có 10 chữ số 5 ở hàng chục.
Vậy số chữ số 5 ở hàng chục là:
20 × 10 = 200 (chữ số)
- Đếm số chữ số 5 ở hàng trăm:
+ 500; 501; 502; ...; 599: có 599 – 500 + 1 = 100 chữ số 5 ở hàng trăm.
+ 1500; 1501; 1502; ...; 1599: có 1599 – 1500 + 1 = 100 chữ số 5 ở hàng trăm.
Vậy số chữ số 5 ở hàng trăm là:
100 + 100 = 200 (chữ số)
Số chữ số 5 của dãy là:
201 + 200 + 200 = 601 (chữ số)
Đáp Số: 601 (chữ số)
