12 bài tập Tính nhanh tính thuận tiện với phân số có lời giải

a) Ta có: m = 1; n = 1; a = 2; z = 20. Áp dụng công thức tính nhanh ta có kết quả:

\(\frac{1}{1} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{{20}}) = \frac{9}{{20}}\)

b) Viết lại: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + ..... + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} = \frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + ..... + \frac{1}{{8 \times 9}} + \frac{1}{{9 \times 10}}\)

Áp dụng công thức tính nhanh với: m = n = 1; a = 1; z = 10 được kết quả:

\(\frac{1}{1} \times (\frac{1}{1} - \frac{1}{{10}}) = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\)

Đáp Số: a) \(\frac{9}{{20}}\);              b) \(\frac{9}{{10}}\).

a) Trước hết ta tính: \(\frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 6}} + ..... + \frac{1}{{20 \times 21}}\). Áp dụng công thức tính nhanh được:

\(\frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 6}} + ..... + \frac{1}{{20 \times 21}} = \frac{1}{1} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{{21}}) = \frac{7}{{21}} - \frac{1}{{21}} = \frac{6}{{21}} = \frac{3}{7}\)

Suy ra: \(\frac{3}{7} = \frac{x}{{14}} \to \frac{4}{{14}} = \frac{x}{{14}} \to x = 6\).

Vậy x = 6.

b) Viết lại:

\(\frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}} + \frac{1}{{132}}\)

\( = \frac{1}{{5 \times 6}} + \frac{1}{{6 \times 7}} + \frac{1}{{7 \times 8}} + \frac{1}{{8 \times 9}} + \frac{1}{{9 \times 10}} + \frac{1}{{10 \times 11}} + \frac{1}{{11 \times 12}}\)

Áp dụng công thức tính nhanh ta tính được:

\(\frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}} + \frac{1}{{132}} = \frac{1}{5} - \frac{1}{{12}} = \frac{{12}}{{60}} - \frac{5}{{60}} = \frac{7}{{60}}\)

Suy ra: \(\frac{7}{{60}} = \frac{{21}}{x} \to \frac{{21}}{{180}} = \frac{{21}}{x} \to x = 180\).

Vậy x = 180.

Đáp Số: a) 6                     b) 180

Từ bài 1 phần b tính được: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + ..... + \frac{1}{{90}} = \frac{9}{{10}}\)

Suy ra: \(\frac{9}{{10}}:x = \frac{9}{{20}} \to x = \frac{9}{{10}}:\frac{9}{{20}} = \frac{9}{{10}} \times \frac{{20}}{9} = 2\)

Vậy x = 2.

Đáp Số: x = 2.

Ta có:

\(\frac{1}{2} \times A = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{45}})\)

\( = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}}\)

\( = \frac{9}{{10}}\)

Suy ra: \(A = \frac{9}{{10}}:\frac{1}{2} = \frac{9}{{10}} \times \frac{2}{1} = \frac{9}{5}\)

Đáp Số: \(A = \frac{9}{5}\)

Áp dụng công thức tính được:

\(\frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + ..... + \frac{1}{{x \times (x + 1)}} = 1 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Suy ra:

\(1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2017}}{{2018}}\)

\( \to 1 - \frac{1}{{x + 1}} = 1 - \frac{1}{{2018}}\)

\( \to x + 1 = 2018 \to x = 2017\)

Đáp Số: x = 2017.

Áp dụng công thức tính nhanh với m = 2; n = 2; a = 1; z = 99 được:

\(\frac{2}{{1 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 5}} + \frac{2}{{5 \times 7}} + ..... + \frac{2}{{97 \times 99}} = \frac{2}{2} \times (\frac{1}{1} - \frac{1}{{99}}) = 1 - \frac{1}{{99}} = \frac{{98}}{{99}}\)

Đáp Số: \(\frac{{98}}{{99}}\)

Viết lại: \(\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}} + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{120}} = \frac{1}{{2 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 6}} + \frac{1}{{6 \times 8}} + \frac{1}{{8 \times 10}} + \frac{1}{{10 \times 12}}\)

Áp dụng công thức tính nhanh vợi m =1; n = 2; a = 2; z = 12 được

\(\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}} + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{120}} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{{12}}) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{{12}} = \frac{5}{{24}}\)

Đáp Số: \(\frac{5}{{24}}\)

Ta có: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} = \frac{1}{{1 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + \frac{1}{{7 \times 9}} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{9} = \frac{4}{9}\)

Do đó có:

\(\frac{4}{9}:x = 2\frac{2}{3} \to x = \frac{4}{9}:1\frac{2}{3} \to x = \frac{4}{9}:\frac{8}{3} \to x = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \to x = \frac{1}{6}\)

Đáp Số: \(x = \frac{1}{6}\).

Tổng 10 phân số đầu tiên của dãy là:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{64}} + \frac{1}{{128}} + \frac{1}{{256}} + \frac{1}{{512}} + \frac{1}{{1024}}\)

\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{{1024}} = \frac{{511}}{{1024}}\)

Đáp Số: \(\frac{{511}}{{1024}}\)

Viết lại:

\(A = \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{143}} + \frac{1}{{195}} + \frac{1}{{255}} + \frac{1}{{323}} = \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + ... + \frac{1}{{17 \times 19}}\)

Áp dụng công thức tính nhanh được:

\(A = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{{19}}) = \frac{1}{2} \times (\frac{{19}}{{57}} - \frac{3}{{57}}) = \frac{1}{2} \times \frac{{16}}{{57}} = \frac{8}{{57}}\)

Đáp Số: \(A = \frac{8}{{57}}\).

Đặt \(A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}\)

Suy ra: \(3 \times A = 3 \times (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}})\)

\( = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}\).

Do đó:

\(3 \times A - A = (3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}) - (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}})\)

\( \to 2 \times A = 3 - \frac{1}{{729}} = \frac{{2187}}{{729}} - \frac{1}{{729}} = \frac{{2186}}{{729}}\)

\( \to A = \frac{{2186}}{{729}}:2 = \frac{{1093}}{{729}}\)

Đáp Số: \(A = \frac{{1093}}{{729}}\).

Áp dụng công thức tính nhanh tính được:

\(\frac{1}{{11 \times 16}} + \frac{1}{{16 \times 21}} + \frac{1}{{21 \times 26}} + \ldots + \frac{1}{{x \times (x + 5)}} = \frac{1}{5} \times (\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{x + 5}})\)

Do đó:

\(\frac{1}{5} \times (\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{x + 5}}) = \frac{7}{{506}}\)

\( \to \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{x + 5}} = \frac{7}{{506}}:\frac{1}{5} = \frac{{7 \times 5}}{{506}} = \frac{{35}}{{506}}\)

\( \to \frac{1}{{x + 5}} = \frac{1}{{11}} - \frac{{35}}{{506}} = \frac{{46}}{{506}} - \frac{{35}}{{506}} = \frac{{11}}{{506}}\)

\( \to 11 \times (x + 5) = 506\)

\( \to x + 5 = 506:11 = 46\)

\( \to x = 46 - 5 = 41\)

Vậy \(x = 41\).

Đáp Số: \(x = 41\).