Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: C

Có \(v\left( t \right) = s' = 3{t^2} + 3t\).

Đáp án đúng là: A

Có C'(t) = −2x + 6.

Có C'(2) = −2.2 + 6 = 2.

Đáp án đúng là: C

Có v'(t) = 3t² – 12t + 9.

Chất điểm đứng yên khi v'(t) = 0 3t² – 12t + 9 = 0 t = 1 hoặc t = 3.

Đáp án đúng là: C

Có \(P'\left( t \right) = \frac{{50t\left( {{t^2} + 1} \right) - 2t\left( {25{t^2} + 125} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 200t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\).

\(P'\left( 5 \right) = \frac{{ - 200.5}}{{{{\left( {{5^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{250}}{{169}}\).

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là giảm \(\frac{{250}}{{169}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có y(3) – y(0) = −6 – 3 = −9.

Vậy quãng đường hạt đi được là 9m.

Đáp án đúng là: A

p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi.

Theo giả thiết tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất. Do đó p(x) = ax + b (a ≠ 0)

Theo đề ta có: x₁ = 1000 thì p₁ = 14; x₂ = 1100 thì p₁ = 13,5.

Vì đường thẳng p = ax + b đi qua hai điểm (1000; 14) và (1100; 13,5) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}1000a + b = 14\\1100a + b = 13,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{200}}\\b = 19\end{array} \right.\).

Vậy \(p = - \frac{1}{{200}}x + 19\).

Đáp án đúng là: D

Vận tốc chuyển động của vật: \(v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) .

Xét hàm \(v(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) với \(t \in (0;10)\). Ta có \(v'(t) = - 3t + 18;\,\,\,v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng 10 giây đầu là \(54\) m/s.

Đáp án đúng là: A

Gọi \(x\) chiều rộng của đáy bể \((x > 0)\).

Khi đó chiều dài của bể là \(2x.\)

Thể tích của bể: \(V = 288\,\,\,d{m^3} = 0,288\,\,\,{m^3}\) ,

mà \(V = x.2x.h \Rightarrow h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{0,288}}{{2{x^2}}} = \frac{{0,144}}{{{x^2}}}\) .

Phần xây dựng của bể (trừ mặt trên của bể) có diện tích:

\(S = 2.hx + 2.h.2x + x.2x = 6hx + 2{x^2} = 6.\frac{{0,144}}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = \frac{{0,864}}{x} + 2{x^2}\).

Xét hàm số \(S(x) = \frac{{0,864}}{x} + 2{x^2}\,\,\,,x > 0.\)

Đạo hàm: \(y' = - \frac{{0,864}}{{{x^2}}} + 4x = \frac{{4{x^3} - 0,864}}{{{x^2}}};\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 0,864 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{5} = 0,6\,\,\,m.\)

Bảng biến thiên:

Vậy \({S_{Min}} = \frac{{54}}{{25}}\,\,\,{m^2} \Rightarrow \) Chi phí thấp nhất phải trả: \(\frac{{54}}{{25}}.500\,\,000 = 1\,\,080\,\,000\) đồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(DHF\).

Ta có: \(DF = CH = x,{\rm{ }}FH = 30 - 2x \Rightarrow p = 15.\)

Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là

\(V = {S_{\Delta FDH}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} .\)

Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\),\(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\).

\[f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} = - 2(15 - x)(3x - 30)\]; \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {TM} \right)\\x = 15\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)} f(x) = 125\) khi \(x = 10.\)

Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất: \({V_{\max }} = 750\sqrt 3 {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}).\) Khi đó: \(x = 10{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: A

Cân nặng của n con cá là f(n) = n.P(n) = −20n² + 480n.

Bài toán trở thành tìm n để f(n) đạt giá trị lớn nhất với n > 0.

Có f'(n) = −40n +480; f'(n) = 0 n = 12.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy n = 12.

Đáp án đúng là: D

Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm t là:

\(N'\left( t \right) = \frac{{{{100}^2} - 100{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\left( {\forall t > 0} \right)\).

Xét N'(t) = 0 t² = 100 t = 10 (vì t > 0).

Lập bảng biến thiên ta được

Dựa vào bảng biến thiên ta có maxN(t) = N(10) = 1005.