Gọi x (x > 0) là số lần giảm giá vé. Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 – 10x (nghìn đồng).

Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.

Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 3000x.

Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên 27000 + 3000x £ 55 000 $\iff x\le \frac{28}{3}.$

Doanh thu từ tiền bán vé là:

 y = (27000 + 3000x).(100 – 10x) = −30 000x² + 30 000x + 2 700 000.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = −30 000x² + 30 000x + 2 700 000, x > 0.

Tập xác định D = (0; +∞).

Có y' = −60 000x + 30 000; y' = 0 $\iff x=\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó ta cần xác định hàm cầu p = p(x).

Theo giả thiết tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất. Do đó p(x) = ax + b (a ≠ 0).

Theo đề có: x₁ = 1000 thì p₁ = 14; x₂ = 1100 thì p₂ = 13,5.

Khi đó phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1000; 14) và (1100; 13,5) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}1000a+b=14\\ 1100a+b=13,5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{200}\\ b=19\end{array}\right.$.

Vậy $p=-\frac{1}{200}x+19$.

b) Vì $p=-\frac{1}{200}x+19$ nên x =− 200p + 3800.

Khi đó tổng doanh thu từ tiền bán ti vi là

R(p) = x.p = (−200p + 3800).p = −200p² + 3800p.

Bài toán trở thành tìm p để R(p) đạt giá trị lớn nhất.

Có R'(p) = −400p + 3800; R'(p) = 0 Û p = 9,5.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy công ty giảm giá 14 – 9,5 = 4,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.

c) Doanh thu từ bán x ti vi là R(x) = x.p(x) = $x\left(-\frac{1}{200}x+19\right)=-\frac{1}{200}{x}^2+19x$.

Khi đó tổng lợi nhuận từ bán x ti vi là:

P(x) = R(x) – C(x)

$=-\frac{1}{200}{x}^2+19x-\left(12000-3x\right)$

$=-\frac{1}{200}{x}^2+22x-12000$

Bài toán trở thành tìm x để P(x) lớn nhất.

Có $P^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{100}x+22$; $P^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -\frac{1}{100}x+22=0\iff x=2200.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số ti vi bán ra trong 1 tuần là 2200 chiếc thì lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Tức là mỗi tuần bán thêm 1200 chiếc thì số tiền phải giảm giá 1200.500:100 = 6 000 nghìn đồng.

Vậy phải để giá bán là 14 – 6 = 8 triệu đồng.

a) Hàm vận tốc là v(t) = y' = 3t² – 12, t ≥ 0.

Hàm gia tốc là a(t) = v'(t) = 6t, t ≥ 0.