Bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)
23 câu hỏi
Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1\).
Nhận xét: \(v\left( t \right)\) có đồ thị là một parabol nên trong \(5s\) đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng \[13\] tại \(t = 2s\).
Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}} \Rightarrow v\left( 1 \right) = 2{e^4} + 2{e^4} + 6{e^4} = 10{e^4}\) (km/s)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = 10 + 4 = 14\)
Xét hàm số: \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\). Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \[h'\left( t \right) = - 9,8t + 24,5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\]
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(t = \frac{5}{2}\)
Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là \(t = \frac{5}{2}\) giây
Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\). Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.
Đặt \(h\left( t \right) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\) có \(h'\left( t \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\):
Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Xét hàm số \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\left( {t > 0} \right)\).
Ta có: \(N'\left( t \right) = \frac{{100.\left( {100 + {t^2}} \right) - 100t.2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100.\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\).
Khi đó, với \(t > 0,\,\,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 100 \Leftrightarrow t = 10\).
Bảng biến thiên của hàm số \(N\left( t \right)\) như sau:
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy:
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) hàm số \(N\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại \(t = 10\).
Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.
Ta có: \(V' = 2kRr - 3k{r^2}\). Nhận xét \(V' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = 0}\\{r = \frac{{2R}}{3}}\end{array}} \right.\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( {\frac{{2R}}{3}} \right) = \frac{{4k{R^3}}}{{27}}\)
Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng \(\frac{2}{3}\) bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.
Gọi \[x\] là số lần tăng giá 100 nghìn đồng \(\left( {x > 0} \right)\). Khi đó, số căn được cho thuê là: \(100 - x\) (căn)
Tổng số tiền thu được trong một tháng là:
\(\begin{array}{l}\left( {100 - x} \right)\left( {8000000 + 100000x} \right) = 100000\left( {100 - x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100000\left( { - {x^2} + 20x + 8000} \right)\\ = 100000\left[ { - {{\left( {x - 10} \right)}^2} + 8100} \right] \le 810000000,\forall x > 0\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x = 10\) (thỏa mãn)
Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: \(8000000 + 100000.10 = 9000000\) (đồng).
Giả sử chi phí tiền xăng \(C\) (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình \(v\)(km/h) theo công thức:
\(C\left( v \right) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v\,\,\,\left( {0 < v \le 120} \right)\)
Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của \(C\left( v \right)\) theo \(v\), người ta đã vẽ đồ thị hàm số \(C\left( v \right)\) như hình bên.
Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
Tập xác định: \(D = \left( {0;120} \right]\).
Đạo hàm \(C'\left( v \right) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2} = \frac{{5\left( {v - 80} \right)\left( {v + 80} \right)}}{{2{v^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = - 80\) (loại) hoặc \(v = 80\).
Trên khoảng \(\left( {0;80} \right),C'\left( v \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng \(\left( {80;120} \right),C'\left( v \right) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(v = 80,{C_{CT}} = C\left( {80} \right) = 400\).
Giới hạn vô cực và tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} C\left( v \right) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} \left( {\frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v} \right) = + \infty \) nên đường thẳng \(v = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu \(\left( {80;400} \right)\) và đi qua các điểm \(\left( {40;500} \right),\left( {100;410} \right)\), \(\left( {120;\frac{{1300}}{3}} \right)\) như hình.
Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy hàm số đạt GTNN khi \(v = 80\) và GTNN là 400.
Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 80 km/h.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 23 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là \(x\) triệu đồng/1 tháng và số căn hộ cho thuê là \(y\).
Khi đó tổng số tiền thu được sẽ là \(x.y\).
Theo đề bài, ta có: \(y = 20 - 5\left( {x - 2} \right)\) (vì cứ mỗi lần tăng giá thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống).
Do đó ta cần tìm giá trị của \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left[ {20 - 5\left( {x - 2} \right)} \right]\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(f'\left( x \right) = 30 - 10x\)\( = 0 \Rightarrow 30 - 10x = 0 \Rightarrow x = 3\)
Cuối cùng ta kiểm tra xem điểm cực này có phải là điểm cực đại hay không:
Xác định khoảng: \(\left[ { - \infty ;3} \right],\,\,\left[ {3; + \infty } \right]\)
Chọn \({x_1} = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 10\) , chọn \({x_2} = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = - 10\)
Vì đạo hàm dương với mọi \(x < 3\) là âm với mọi \(x > 3 \Rightarrow \) hàm số cực đại tại \(x = 3\)
Vì vậy, công ty nên cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng/1 tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.
Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là \(v - 6\,\)(km/h).
Thời gian để bơi quãng đường \(300\;\)km là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\left( h \right)\).
Năng lượng tiêu hao là \(E\left( v \right) = 300c\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\,\left( J \right)\).
Do \(c > 0 \Rightarrow E{\left( v \right)_{\min }} \Leftrightarrow \frac{{{v^3}}}{{v - 6}} = {\left( {f\left( v \right)} \right)_{\min }}\).
Với \(v > 6\) ta có \(f'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {v - 6} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = \frac{{2{v^3} - 18v}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = 0}\\{v = 9.}\end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta nhận \(v = 9\) (do \(v > 6\)).
Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là \(9\)(km/h).
Ta có đạo hàm của thể tích:
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần bằng
Ta có \(N\left( x \right) = - {x^2} + 30x + 6 \Rightarrow N'\left( x \right) = - 2x + 30 \Rightarrow N'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 15.\)
Đồng thời, ta cũng có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( 0 \right) = 6}\\{N\left( {15} \right) = 231}\\{N\left( {30} \right) = 6}\end{array} \Rightarrow {{\max }_{x \in [0;30]}}N\left( x \right) = 231 \Leftrightarrow x = 15.} \right.\)
Vậy nếu công ti dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ti sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.
Gọi \(x\) là số lần giảm \(0,25\$ \). Cước thuê bao hàng tháng lúc này là \(40 - 0,25x\) với \(0 \le x \le 160\) (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là \(1000x\).
Do đó, tổng số thuê bao là \(100000 + 1000x\).
Hàm doanh thu được cho bởi R = (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả)
\[R = \left( {100000 + 1000x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {100 + x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {4000 + 15x - 0,25{x^2}} \right)\]
Đạo hàm \(R' = 0\), ta được \(R' = 1000\left( {15 - 0,5x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 30.{\rm{ }}\)
Vì tập xác định của \(R\) là khoảng đóng [0; 160] nên \(R\) đạt cực đại tại \(x = 30\) hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].
Ta có: \[R\left( 0 \right) = 4000000;\,\,R\left( {30} \right) = 4225000\,;\,\,R\left( {160} \right) = 0\]
Vậy doanh thu tối đa khi \(x = 30\). Điều này tương ứng với 30 lần giảm \(0,25\$ \), tức là cước thuê bao hàng tháng là \(40\$ - 7,5\$ = 32,5\$ \).
Số thuê bao tại mức cước này là \(100000 + 30.\left( {1000} \right) = 130000\).
Đạo hàm \(n'\left( t \right) = 0\) ta có \(n'\left( t \right) = {t^2} - 12t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 4}\\{t = 8.}\end{array}} \right.\)
Vì tập xác định của \(n\) là một khoảng đóng \(\left[ {0;12} \right]\) nên \(n\) đạt cực đại tuyệt đối tại \(t = 0,t = 4,t = 8\) hoặc \(t = 12\):
\(n\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - 6\left( {{0^2}} \right) + 32.0 = 0;\,\,n\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - 6\left( {{4^2}} \right) + 32.4 = \frac{{160}}{3}\)
\(n\left( 8 \right) = \frac{{{8^3}}}{3} - 6\left( {{8^2}} \right) + 32.8 = \frac{{128}}{3};\,\,n\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^3}}}{3} - 6\left( {{{12}^2}} \right) + 32.12 = \frac{{288}}{3} = 96\)
Do đó \(n\) đạt cực đại khi \(t = 12\) (năm).
Ta có : \[v = s' = - 3{t^2} + 12t + 17\]
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của \[v = - 3{t^2} + 12t + 17\] trên khoảng \[\left( {0;8} \right)\]
Mặt khác: \[v' = - 6{t^2} + 12\]\[ = 0 \Rightarrow t = 2\]
Bảng biến thiên:
Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: \[29\](m/s).
Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\left( {x \in {\rm N},\,\,x > 0} \right)\).
Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\).
Tổng chi phí để sản xuất là: \(P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}}.192 = 200x + \frac{{51200}}{x}\)
Ta có: \(P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\left( {loai} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.
Cắt một đoạn dây dài \(60{\rm{m}}\)thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích \({S_1}\), đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ dưới)
Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng \(T = {S_1} + {S_2}\) là bao nhiêu?
Gọi độ dài đoạn dây gấp tam giác đều là \(x\) thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là \(60 - x\)(mét)
Khi đó \(x = 3a \Leftrightarrow a = \frac{x}{3} \Rightarrow {S_1} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}}\)
Mặt khác: \(60 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{60 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\)
Khi đó \({S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 1080x + 32400}}{{144}}\)
Dễ dàng tính được \({\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{540}}{{9 + 4\sqrt 3 }}} \right) \approx 97,87\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Cắt một đoạn dây dài \(30{\rm{m}}\)thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một đường tròn có diện tích \({S_1}\), đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ dưới)
Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng \(T = {S_1} + {S_2}\) là bao nhiêu?
Gọi độ dài đoạn dây gấp đường tròn là \(x\) thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là \(30 - x\)(mét)
Khi đó \[x = 2\pi a \Leftrightarrow a = \frac{x}{{2\pi }} \Rightarrow {S_1} = \pi {a^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\]
Mặt khác: \(30 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{30 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{30 - x}}{4}} \right)^2}\)
Khi đó \({S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{30 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {\pi + 4} \right){x^2} - 60\pi x + 900\pi }}{{16\pi }}\)
Dễ dàng tính được \({\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{30\pi }}{{\pi + 4}}} \right) \approx 31,51\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là \(2x\) và \(x\)\((x > 0)\).
Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là: \[V = 2{x^2}.h \Rightarrow 2{x^2}.h = 48 \Leftrightarrow {x^2}.h = 24\]
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là \(3\), giá thành làm nắp hộp là \(1\)nên giá thành làm hộp là
\[L = 3\left( {2{x^2} + 2xh + 4xh} \right) + 2{x^2}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được:
\[L = 8{x^2} + 9xh + 9xh \ge \]\[3\sqrt[3]{{8{x^2}.9xh.9xh}}\]\[ = 3\sqrt[3]{{648{{\left( {{x^2}h} \right)}^2}}} = 216\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}8{x^2} = 9xh\\{x^2}h = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{9h}}{8}\\\frac{{{9^2}}}{{{8^2}}}.{h^3} = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\h = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 8\),\(n = 3\) và \(m + n = 11\).
Một tấm bìa hình vuông có diện tích \(900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Người ta cắt ở bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) cm rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm thể tích lớn nhất mà hình hộp chữ nhật có thể thu được?
Cạnh của tấm bìa là \[a = \sqrt S = \sqrt {900} = 30\,\,{\rm{cm}}\], đáy sẽ là hình vuông có cạnh bằng \(30 - 2x\).
Thể tích thu được là: \(V = {\left( {30 - 2x} \right)^2}x = f\left( x \right)\) với \(0 \le x \le \frac{a}{1} = 15\)
Dễ dàng tính được: \({V_{{\rm{max}}}} = \max f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 2000\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Một người nông dân có \(15\,\,000\,\,000\)đồng để làm một hàng rào hình chữ \(E\) dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (hình vẽ dưới). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \(60\,\,000\) đồng/mét, còn đối vối ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \(50\,\,000\) đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.
Gọi độ dài của hàng rào song sông với bờ sông là \(x\) với \(x > 0\)
Gọi độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là \(y\) với \(y > 0\)
Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\)
Tổng chi phí là \(15\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có phương trình:
\(x60000 + 3y50000 = 15000000 \Rightarrow 6x + 15y = 1500\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
\(6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.5y} = > 1500 \ge 2\sqrt {90xy} = > xy \le 6250\)
Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể tạo rào là \(6250\left( {\;{m^2}} \right)\)
Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt \(DF = x\), \(x > 0\), ta có \(\Delta ADF\) đồng dạng với \(\Delta BED\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}\)\( \Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}\)
Gọi \[l\] là chiều dài của que sào, ta có \({l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 12\).
Dễ dàng suy ra được \(\min \,f\left( x \right) = f\left( {12} \right) = 1125\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là \(l = \sqrt {1125} = 15\sqrt 5 \).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
