Bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)
12 câu hỏi
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số N(t) = −t3 + 12t2, 0 ≤ t ≤ 12, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?
Hướng dẫn giải:
a) Với 0 ≤ t ≤ 12 ta có:
N'(t) = −3t2 + 24t, N'(t) = 0 −3t2 + 24t = 0 t = 0 (tm) hoặc t = 8 (tm).
Ta có: N(0) = 0, N(8) = 256; N(12) = 0.
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.
b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: N'(t) = −3t2 + 24t.
Đặt f(t) = −3t2 + 24t, 0 ≤ t 12.
Ta có: f'(t) = −6t + 24, f'(t) = 0 t = 4 (tm).
Có f(0) = 0, f(4) = −3.42 + 24.4 = 48, f(12) = −3.122 + 14.12 = −144.
Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi t = 4 (tuần thứ 4).
Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p = 15 - \frac{1}{2}q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.
a) Viết công thức biểu diễn R theo p.
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(p = 15 - \frac{1}{2}q \Leftrightarrow q = 2(15 - p)\).
Thay vào R = pq ta được: R = p.2.(15 – p) = −2p2 + 30p.
b) Đặt y = −2p2 + 30p.
Tập xác định: D = (0; +∞).
Có y' = −4p + 30 = 0 p = 7,5.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D y = y(7,5) = 112,5\).
Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.
Cho chất điểm chuyển động với phương trình s = −t3 + 6t2 với t ∈ [0; 6]. Tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm bằng 0?
1s;
3s;
2s;
4s.
Đáp án đúng là: D
Ta có v(t) = s'(t) = −3t2 + 12t.
Có v(t) = 0 −3t2 + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.
Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.
Một vật chuyển động với phương trình S(t) = t3 + 4t2, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu di chuyển, S(t) (mét) là quãng đường vật chuyển động trong t giây. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 11 m/s.
14 (m/s2);
12 (m/s2);
13 (m/s2);
11 (m/s2);
Đáp án đúng là: A
Có v(t) = S'(t) = 3t2 +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.
Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t2 +8t = 11 t = 1 (giây).
Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s2).
Một vật chuyển động theo quy luật s = −2t3 + 24t2 + 9t – 3 với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
289 m/s.
105 m/s.
111 m/s.
487 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có v(t) = s' = −6t2 + 48t +9.
Xét hàm số v(t) = −6t2 + 48t +9, t [0; 10].
Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).
Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105\).
Một vật chuyển động với phương trình \(s\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\), trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chọn đáp án sai.
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 1 m/s;
Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật đứng yên là 162 m;
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s2;
Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].
Đáp án đúng là: A
a) Ta có v(t) = s'(t) = −t2 + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.
b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t2 + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).
Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:
\(s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162\) (m).
c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s2.
d) Xét hàm v(t) = −t2 + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.
Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t2 + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].
Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].
Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50). Chọn đáp án sai.
Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: 108,763 (triệu người);
Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: 125,488 (triệu người);
Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Khi đó hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50];
Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
Đáp án đúng là: B
A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e0,012.7 = 100e0,084 ≈ 108,763 (triệu người)
B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e0,012.12 = 100e0,144 ≈ 115,488 (triệu người)
C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e0,012t = 1,2e0,012t > 0, ∀t [0; 50].
Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].
D. Ta có: N'(t) = 1,2e0,012t .
Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:
\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\).
Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 10 m3. Thùng tôn là hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy bằng hai lần chiều rộng và không có nắp. Trên thị trường giá tôn làm đáy thùng là 75000 đồng/m2 và giá tôn làm thành xung quanh thùng là 55000 đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để làm thùng đựng gạo. (Làm tròn đến hàng nghìn)
1418000 đồng.
1403000 đồng.
1402000 đồng.
1417000 đồng.
Đáp án đúng là: C
Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.
chiều dài của đáy thùng là: 2x.
Ta có V = x.2x.h = 10 \(h = \frac{5}{{{x^2}}}\).
Chi phí làm đáy thùng là: 2x2.75 = 150x2 (đơn vị nghìn đồng).
Chi phí làm diện tích xung quanh là : \(\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).
Chi phí làm thùng là : \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).
Xét hàm số \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\), với x > 0.
Ta có \(T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}\) ; \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).
Vậy chi phí ít nhất bằng \(T = 150{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}} \right)^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000\) đồng.
Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức N(t) = 1000 + 30t2 – t3 (0 ≤ t ≤ 30). Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?
20;
10;
1200;
1100.
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t2 – t3 (0 t 30).
Có N'(t) = 60t – 3t2; N'(t) = 0 t = 0 hoặc t = 20.
Ta có bảng biến thiên
Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.
Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là 4 km (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc 6 km/h và chạy bộ trên bờ với vận tốc 10 km/h. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là
40
phút;
44 phút;
30 phút;
38 phút.
Đáp án đúng là: A
Đặt OP = x (0 < x < 4) BP = 4 – x; \(AP = \sqrt {4 + {x^2}} \).
Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:
\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}\,\,\left( h \right)\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}\).
\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\4{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}\,\left( h \right)\, = \frac{2}{3}.60\,\left( {ph\'u t} \right) = 40\,ph\'u t.\)
</></>
Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại độc tố với vi khuẩn X được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số \(P\left( t \right) = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 4}}\), trong đó P(t) là số lượng vi khuẩn sau t giờ sử dụng độc tố. Vào thời điểm nào thì số lượng vi khuẩn X bắt đầu giảm?
Ngay từ lúc bắt đầu sử dụng độc tố;
Sau 0,5 giờ;
Sau 2 giờ;
Sau 1 giờ.
Đáp án đúng là: D
Xét \(P'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {t - 1} \right)\left( { - t - 3} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}}\).
\(P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\end{array} \right.\).
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0,∀t (1; +∞) nên sau 1 giờ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.
Một đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 60 ngày. Người ta nhận thấy lượng gạo xuất khẩu tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức \(S\left( t \right) = \frac{2}{5}{t^3} - 63{t^2} + 3240t - 3100\) (tấn) (1 ≤ t ≤ 60). Hỏi trong 60 ngày đó, ngày thứ mấy có lượng gạo xuất khẩu cao nhất?
60;
45;
30;
25.
Đáp án đúng là: B
Có \(S'\left( t \right) = \frac{6}{5}{t^2} - 126t + 3240\); S'(t) = 0 t = 45 (tm) hoặc t = 60 (tm).
Có S(1) = 77,4; S(45) = 51575; S(60) = 50900.
Vậy ngày thứ 45 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.
