Bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
1s;
3s;
2s;
4s.
Đáp án đúng là: D
Ta có v(t) = s'(t) = −3t2 + 12t.
Có v(t) = 0 −3t2 + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.
Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.
14 (m/s2);
12 (m/s2);
13 (m/s2);
11 (m/s2);
Đáp án đúng là: A
Có v(t) = S'(t) = 3t2 +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.
Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t2 +8t = 11 t = 1 (giây).
Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s2).
289 m/s.
105 m/s.
111 m/s.
487 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có v(t) = s' = −6t2 + 48t +9.
Xét hàm số v(t) = −6t2 + 48t +9, t [0; 10].
Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).
Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105\).
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 1 m/s;
Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật đứng yên là 162 m;
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s2;
Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].
Đáp án đúng là: A
a) Ta có v(t) = s'(t) = −t2 + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.
b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t2 + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).
Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:
\(s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162\) (m).
c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s2.
d) Xét hàm v(t) = −t2 + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.
Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t2 + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].
Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].
Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: 108,763 (triệu người);
Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: 125,488 (triệu người);
Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Khi đó hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50];
Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
Đáp án đúng là: B
A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e0,012.7 = 100e0,084 ≈ 108,763 (triệu người)
B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e0,012.12 = 100e0,144 ≈ 115,488 (triệu người)
C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e0,012t = 1,2e0,012t > 0, ∀t [0; 50].
Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].
D. Ta có: N'(t) = 1,2e0,012t .
Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:
\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\).
Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
1418000 đồng.
1403000 đồng.
1402000 đồng.
1417000 đồng.
Đáp án đúng là: C
Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.
chiều dài của đáy thùng là: 2x.
Ta có V = x.2x.h = 10 \(h = \frac{5}{{{x^2}}}\).
Chi phí làm đáy thùng là: 2x2.75 = 150x2 (đơn vị nghìn đồng).
Chi phí làm diện tích xung quanh là : \(\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).
Chi phí làm thùng là : \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).
Xét hàm số \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\), với x > 0.
Ta có \(T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}\) ; \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).
Vậy chi phí ít nhất bằng \(T = 150{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}} \right)^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000\) đồng.
20;
10;
1200;
1100.
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t2 – t3 (0 t 30).
Có N'(t) = 60t – 3t2; N'(t) = 0 t = 0 hoặc t = 20.
Ta có bảng biến thiên
Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.
Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là 4 km (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc 6 km/h và chạy bộ trên bờ với vận tốc 10 km/h. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là
40
phút;
44 phút;
30 phút;
38 phút.
Đáp án đúng là: A
Đặt OP = x (0 < x < 4) BP = 4 – x; \(AP = \sqrt {4 + {x^2}} \).
Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:
\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}\,\,\left( h \right)\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}\).
\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\4{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}\,\left( h \right)\, = \frac{2}{3}.60\,\left( {ph\'u t} \right) = 40\,ph\'u t.\)
</></>
Ngay từ lúc bắt đầu sử dụng độc tố;
Sau 0,5 giờ;
Sau 2 giờ;
Sau 1 giờ.
Đáp án đúng là: D
Xét \(P'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {t - 1} \right)\left( { - t - 3} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}}\).
\(P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\end{array} \right.\).
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0,∀t (1; +∞) nên sau 1 giờ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
60;
45;
30;
25.
Đáp án đúng là: B
Có \(S'\left( t \right) = \frac{6}{5}{t^2} - 126t + 3240\); S'(t) = 0 t = 45 (tm) hoặc t = 60 (tm).
Có S(1) = 77,4; S(45) = 51575; S(60) = 50900.
Vậy ngày thứ 45 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.
19.
5.
17.
10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vận tốc chuyển động của vật được xác định theo công thức:
v(t) = s¢(t) = -3t2 + 12t + 5.
Ta có: v¢(t) = -6t + 12; v¢(t) = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên:
Do đó, vận tốc chất điểm lớn nhất là 17 m/s khi t = 2 giây.
Tốc độ bơm luôn giảm.
Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90.
Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.
Cả ba đáp án đều sai.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xét hàm V¢ = \(\frac{9}{{10}}\)t2 - \(\frac{1}{{100}}\)t3 (0 £ t £ 90);
V¢¢ = \(\frac{9}{5}\)t - \(\frac{3}{{100}}\)t2 Þ V¢¢ = 0 Û t = 0 và t = 60 (thỏa mãn).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên hàm số V¢ đồng biến trên (0; 60) và nghịch biến trên (60; 90) nên tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90.
(0; +¥).
(0; 3).
(-4; +¥).
(3; +¥).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: v(t) = s¢(t) = t2 – 6t + 5.
v¢(t) = 2t – 6 = 0 Û t = 3.
Bảng biến thiên:
Vận tốc tăng, tức hàm số đồng biến. Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng (3; +¥) thì hàm số đồng biến.
Vậy trong khoảng thời gian (3; +¥) vận tốc của vật tăng.
Từ hình vuông có cạnh bằng 6, người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó, người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp.
8\[\sqrt 2 \].
10\[\sqrt 2 \].
9\[\sqrt 2 \].
11\[\sqrt 2 \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ:
Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2 + \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow x + y = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow y = 3\sqrt 2 - x\) với 0 < x < \(3\sqrt 2 \).
Thể tích của khối hộp tạo thành V = x2y = x2 \(\left( {3\sqrt 2 - x} \right)\).
Ta có: V¢ = 3x\(\left( {2\sqrt 2 - x} \right)\)= 0 Û x = \(2\sqrt 2 \) (vì 0 < x < \(3\sqrt 2 \))
Bảng biến thiên:
Vậy max V = \(8\sqrt 2 \) khi x = \(2\sqrt 2 \), y = \(\sqrt 2 \).
BM = \(\frac{{2a}}{3}\).
BM = \(\frac{{3a}}{4}\).
BM = \(\frac{a}{3}\).
BM = \(\frac{a}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi H là trung điểm của BC Þ BH = CH = \(\frac{a}{2}\).
Đặt BM = x \(\left( {0 < x < \frac{a}{2}} \right)\).
Ta có: MN = 2MH = a – 2x, QM = BM∙tan60° = x\(\sqrt 3 \).
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S(x) = (a – 2x)x\(\sqrt 3 \) = a\(\sqrt 3 \)x - 2\(\sqrt 3 \)x2 .
Ta có: S'(x) = \(\sqrt 3 \)(a – 4x) = 0 Û x = \(\frac{a}{4}\).
Bảng biến thiên:
Vậy vị trí điểm M là BM = \(\frac{a}{4}\).
Hàm vận tốc là v(t) = 3t2 – 12t + 9.
Hàm gia tốc là a(t) = 6t – 12.
Trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm tăng.
Từ t = 2 trở đi vận tốc của chất điểm giảm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Hàm v(t) = x¢(t
) = 3t2 – 12t + 9.
b) Đúng. Hàm a(t) = v¢(t) = 6t – 12.
c) Sai. Tập xác định: D = [0; +¥) và a(t) = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên:
Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm.
d) Sai. Từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng.
Nồng độ khí CO2 trong phòng tại thời điểm t = 0 là 400 (ppm).
f¢(t) = \(\frac{{ - 2000{t^2} - 10000}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}\) với t ³ 0.
Nghiệm của phương trình f¢(t) = 0 là t = 2.
Nồng độ khí CO2 cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 947 (ppm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Nồng độ khí CO2 trong phòng tại thời điểm t = 0 là f(0) = \(400 + \frac{{2000 \cdot 0}}{{{0^2} + 5}} = 400\) (ppm).
b) Sai.
Ta có: f¢(t) = \(\frac{{2000({t^2} + 5) - 2000t \cdot 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2000{t^2} + 10000}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}\) với t ³ 0.
c) Sai.
Ta có: f¢(t) = 0 Þ -2000t2 + 10000 = 0 Û t = \(\sqrt 5 \) (do t ³ 0).
Vậy nghiệm của phương trình f¢(t) = 0 là t = \(\sqrt 5 \).
d) Sai.
Bảng biến thiên:
Khi đó nồng độ khí CO2 cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 847 (ppm).
Hàm doanh thu của công ty là f(x) = x‧p(x).
Hàm số f(x) = -25x2 + 1000x có đạo hàm f'(x) = -50x + 1000.
Nếu f(x) = x‧p(x) là hàm doanh thu thì phương trình f'(x) = 0 có nghiệm x = 2.
Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10 000 triệu đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra. Suy ra hàm doanh thu của công ty là f(x) = x‧p(x).
b) Đúng. Ta có: f(x) = x‧p(x) = x(1000 – 25x) = -25x2 + 1000x. Suy ra f'(x) = -50x + 1000.
c) Sai. f'(x) = 0 Û -50x + 1000 = 0 Û x = 20. Vậy f'(x) = 0 có nghiệm là x = 20.
d) Đúng.
Bảng biến thiên:
Vậy doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10 000 triệu đồng, khi đó có 20 sản phẩm được bán ra.
Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Thể tích khối trụ được tính bằng công thức V = 30S trong đó S là diện tích của tam giác AEG.
Diện tích của tam giác AEG bằng: \(\sqrt {30} \cdot \sqrt {{{(15 - x)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
Giá trị của x để thể tích khối trụ lớn nhất là x = 10 cm.
Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng 1250 cm3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đường cao lăng trụ là AD = AB = 30 cm không đổi.
Khi đó V = 30‧SAEG.
b) Sai. Gọi I là trung điểm cạnh EG Þ AI ^ EG trong tam giác AEG Þ IG = 15 – x (0 < x < 15).
Ta có: AI = \(\sqrt {{x^2} - {{(15 - x)}^2}} = \sqrt {30x - 225} \) với x Î \(\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\)
SDAEG = \(\frac{1}{2}\)AI∙EG = \(\frac{1}{2}\)(30 – 2x)\(\sqrt {30x - 225} = \sqrt {15} \cdot \sqrt {{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \)
c) Đúng. Bài toán trở thành tìm x Î \(\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để f(x) = (15 – x)2(2x – 15) lớn nhất.
f'(x) = −2(15 – x)(2x – 15) + 2(15 – x)2 = 6x2 – 150x + 900;
f'(x) = 0 Û x = 10 hoặc x = 15.
Bảng biến thiên:
Vậy giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi x = 10.
d) Sai. Thể tích lớn nhất là: \(30 \cdot \sqrt {15} \cdot \sqrt {125} = 750\sqrt 3 \) (cm3).
Hàm chi phí biên là C'(x) = 250 – 4x + 0,15x2.
C'(50) = 425.
Chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51 là 430 nghìn đồng.
Giá trị C'(50) luôn bằng chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. C'(x) = 250 – 4x + 0,15x2.
b) Đúng. C'(50) = 250 − 4×50 + 0,15×502 = 425.
c) Sai. Chi phí để sản xuất bộ bàn ghế thứ 51 là
C(51) – C(50) = 29180,55 − 28750 = 430,55 nghìn đồng.
d) Sai. Giá trị C'(50) xấp xỉ chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 13
Ta có: v(t) = s¢(t) = -3t2 + 12t + 1; v¢(t) = -6t + 12 = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 13 tại t = 2s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 14
Ta có: v(t) = s¢(t) = \(2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}}\) Þ v(1) = 2e4 + 2e4 + 6e4 = 10e4 (km/s).
Vậy m = 10; n = 4 Þ T = m + n = 10 + 4 = 14.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 231
Ta có: N(x) = -x2 + 30x + 6 Þ N¢(x) = -2x + 30 = 0 Û x = 15.
Bảng biến thiên:
Vậy nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 16
Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là x (x Î ℕ, x > 0).
Thời gian cần để sản xuất hết 8000 quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\) (giờ).
Tổng chi phí sản xuất là: P(x) = 200x + \(\frac{{8000}}{{30x}}\)∙192 = 200x + \(\frac{{51200}}{x}\) (nghìn đồng).
Ta có: P'(x) = 200 - \(\frac{{51200}}{{{x^2}}}\)= 0 Û x2 = 256 Û \(\left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\,\,\,(L)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên sử dụng 16 máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 80
Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền một vé
y là số người mua vé tương ứng.
Ta có giá tiền tỉ lệ nghịch với số người mua vé nên y = ax + b (a < 0).
Khi x = 100 thì y = 360. Khi x = 90 thì y = 420 nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}100a + b = 360\\90a + b = 420\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 960\end{array} \right.\). Do đó: y = -6x + 960.
Doanh thu của rạp chiếu phim là T(x) = xy = x(-6x + 960) = -6x2 + 960x với 0 < x £ 100.
T¢(x) = -12x + 960 = 0 Û x = 80.
Bảng biến thiên:
Vậy khi giá vé là 80 nghìn đồng thì doanh thu của rạp là lớn nhất.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
