Bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho chất điểm chuyển động với phương trình s = −t3 + 6t2 với t ∈ [0; 6]. Tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm bằng 0?
1s;
3s;
2s;
4s.
Đáp án đúng là: D
Ta có v(t) = s'(t) = −3t2 + 12t.
Có v(t) = 0 −3t2 + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.
Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.
Một vật chuyển động với phương trình S(t) = t3 + 4t2, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu di chuyển, S(t) (mét) là quãng đường vật chuyển động trong t giây. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 11 m/s.
14 (m/s2);
12 (m/s2);
13 (m/s2);
11 (m/s2);
Đáp án đúng là: A
Có v(t) = S'(t) = 3t2 +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.
Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t2 +8t = 11 t = 1 (giây).
Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s2).
Một vật chuyển động theo quy luật s = −2t3 + 24t2 + 9t – 3 với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
289 m/s.
105 m/s.
111 m/s.
487 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có v(t) = s' = −6t2 + 48t +9.
Xét hàm số v(t) = −6t2 + 48t +9, t [0; 10].
Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).
Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105\).
Một vật chuyển động với phương trình \(s\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\), trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chọn đáp án sai.
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 1 m/s;
Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật đứng yên là 162 m;
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s2;
Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].
Đáp án đúng là: A
a) Ta có v(t) = s'(t) = −t2 + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.
b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t2 + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).
Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:
\(s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162\) (m).
c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s2.
d) Xét hàm v(t) = −t2 + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.
Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t2 + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].
Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].
Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50). Chọn đáp án sai.
Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: 108,763 (triệu người);
Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: 125,488 (triệu người);
Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Khi đó hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50];
Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
Đáp án đúng là: B
A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e0,012.7 = 100e0,084 ≈ 108,763 (triệu người)
B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e0,012.12 = 100e0,144 ≈ 115,488 (triệu người)
C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e0,012t = 1,2e0,012t > 0, ∀t [0; 50].
Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].
D. Ta có: N'(t) = 1,2e0,012t .
Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:
\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\).
Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 10 m3. Thùng tôn là hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy bằng hai lần chiều rộng và không có nắp. Trên thị trường giá tôn làm đáy thùng là 75000 đồng/m2 và giá tôn làm thành xung quanh thùng là 55000 đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để làm thùng đựng gạo. (Làm tròn đến hàng nghìn)
1418000 đồng.
1403000 đồng.
1402000 đồng.
1417000 đồng.
Đáp án đúng là: C
Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.
chiều dài của đáy thùng là: 2x.
Ta có V = x.2x.h = 10 \(h = \frac{5}{{{x^2}}}\).
Chi phí làm đáy thùng là: 2x2.75 = 150x2 (đơn vị nghìn đồng).
Chi phí làm diện tích xung quanh là : \(\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).
Chi phí làm thùng là : \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).
Xét hàm số \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\), với x > 0.
Ta có \(T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}\) ; \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).
Vậy chi phí ít nhất bằng \(T = 150{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}} \right)^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000\) đồng.
Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức N(t) = 1000 + 30t2 – t3 (0 ≤ t ≤ 30). Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?
20;
10;
1200;
1100.
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t2 – t3 (0 t 30).
Có N'(t) = 60t – 3t2; N'(t) = 0 t = 0 hoặc t = 20.
Ta có bảng biến thiên
Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.
Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là 4 km (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc 6 km/h và chạy bộ trên bờ với vận tốc 10 km/h. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là
40
phút;
44 phút;
30 phút;
38 phút.
Đáp án đúng là: A
Đặt OP = x (0 < x < 4) BP = 4 – x; \(AP = \sqrt {4 + {x^2}} \).
Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:
\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}\,\,\left( h \right)\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}\).
\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\4{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}\,\left( h \right)\, = \frac{2}{3}.60\,\left( {ph\'u t} \right) = 40\,ph\'u t.\)
</></>
Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại độc tố với vi khuẩn X được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số \(P\left( t \right) = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 4}}\), trong đó P(t) là số lượng vi khuẩn sau t giờ sử dụng độc tố. Vào thời điểm nào thì số lượng vi khuẩn X bắt đầu giảm?
Ngay từ lúc bắt đầu sử dụng độc tố;
Sau 0,5 giờ;
Sau 2 giờ;
Sau 1 giờ.
Đáp án đúng là: D
Xét \(P'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {t - 1} \right)\left( { - t - 3} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}}\).
\(P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\end{array} \right.\).
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0,∀t (1; +∞) nên sau 1 giờ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.
Một đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 60 ngày. Người ta nhận thấy lượng gạo xuất khẩu tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức \(S\left( t \right) = \frac{2}{5}{t^3} - 63{t^2} + 3240t - 3100\) (tấn) (1 ≤ t ≤ 60). Hỏi trong 60 ngày đó, ngày thứ mấy có lượng gạo xuất khẩu cao nhất?
60;
45;
30;
25.
Đáp án đúng là: B
Có \(S'\left( t \right) = \frac{6}{5}{t^2} - 126t + 3240\); S'(t) = 0 t = 45 (tm) hoặc t = 60 (tm).
Có S(1) = 77,4; S(45) = 51575; S(60) = 50900.
Vậy ngày thứ 45 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.
19.
5.
17.
10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vận tốc chuyển động của vật được xác định theo công thức:
v(t) = s¢(t) =-3t2 + 12t + 5.
Ta có: v¢(t) =-6t + 12; v¢(t) = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên:
Do đó, vận tốc chất điểm lớn nhất là 17 m/s khi t = 2 giây.
V(t) = \(\frac{1}{{100}}\)\(\left( {30{t^3} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)\) (0 £ t £ 90). Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi v(t) = V¢(t). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
Tốc độ bơm luôn giảm.
Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90.
Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.
Cả ba đáp án đều sai.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xét hàm V¢= \(\frac{9}{{10}}\)t2 - \(\frac{1}{{100}}\)t3 (0 £ t £ 90);
V¢¢= \(\frac{9}{5}\)t - \(\frac{3}{{100}}\)t2 Þ V¢¢= 0 Û t = 0 và t = 60 (thỏa mãn).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên hàm số V¢ đồng biến trên (0; 60) và nghịch biến trên (60; 90) nên tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90.
(0; +¥).
(0; 3).
(-4; +¥).
(3; +¥).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: v(t) = s¢(t) = t2 – 6t + 5.
v¢(t) = 2t – 6 = 0 Û t = 3.
Bảng biến thiên:
Vận tốc tăng, tức hàm số đồng biến. Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng (3; +¥) thì hàm số đồng biến.
Vậy trong khoảng thời gian (3; +¥) vận tốc của vật tăng.
Từ hình vuông có cạnh bằng 6, người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó, người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp.
8\[\sqrt 2 \].
10\[\sqrt 2 \].
9\[\sqrt 2 \].
11\[\sqrt 2 \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ:
Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2 + \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow x + y = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow y = 3\sqrt 2 - x\) với 0 < x < \(3\sqrt 2 \).
Thể tích của khối hộp tạo thành V = x2y = x2 \(\left( {3\sqrt 2 - x} \right)\).
Ta có: V¢= 3x\(\left( {2\sqrt 2 - x} \right)\)= 0 Û x =\(2\sqrt 2 \) (vì 0 < x < \(3\sqrt 2 \))
Bảng biến thiên:
Vậy max V = \(8\sqrt 2 \) khi x = \(2\sqrt 2 \), y = \(\sqrt 2 \).
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
BM = \(\frac{{2a}}{3}\).
BM = \(\frac{{3a}}{4}\).
BM = \(\frac{a}{3}\).
BM = \(\frac{a}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi H là trung điểm của BC Þ BH = CH = \(\frac{a}{2}\).
Đặt BM = x \(\left( {0 < x < \frac{a}{2}} \right)\).
Ta có: MN = 2MH = a – 2x, QM = BM∙tan60°= x\(\sqrt 3 \).
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S(x) = (a – 2x)x\(\sqrt 3 \)= a\(\sqrt 3 \)x - 2\(\sqrt 3 \)x2 .
Ta có: S'(x) =\(\sqrt 3 \)(a – 4x) = 0 Û x =\(\frac{a}{4}\).
Bảng biến thiên:
Vậy vị trí điểm M là BM = \(\frac{a}{4}\).
Hàm vận tốc là v(t) = 3t2 – 12t + 9.
Hàm gia tốc là a(t) = 6t – 12.
Trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm tăng.
Từ t = 2 trở đi vận tốc của chất điểm giảm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Hàm v(t) = x¢(t
) = 3t2 – 12t + 9.
b) Đúng. Hàm a(t) = v¢(t) = 6t – 12.
c) Sai. Tập xác định: D = [0; +¥) và a(t) = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên:
Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm.
d) Sai. Từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng.
Nồng độ khí CO2 trong phòng tại thời điểm t = 0 là 400 (ppm).
f¢(t) = \(\frac{{ - 2000{t^2} - 10000}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}\) với t ³ 0.
Nghiệm của phương trình f¢(t) = 0 là t = 2.
Nồng độ khí CO2 cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 947 (ppm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Nồng độ khí CO2 trong phòng tại thời điểm t = 0 là f(0) =\(400 + \frac{{2000 \cdot 0}}{{{0^2} + 5}} = 400\) (ppm).
b) Sai.
Ta có: f¢(t) =\(\frac{{2000({t^2} + 5) - 2000t \cdot 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2000{t^2} + 10000}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}\) với t ³ 0.
c) Sai.
Ta có: f¢(t) = 0 Þ-2000t2 + 10000 = 0 Û t =\(\sqrt 5 \) (do t ³ 0).
Vậy nghiệm của phương trình f¢(t) = 0 là t =\(\sqrt 5 \).
d) Sai.
Bảng biến thiên:
Khi đó nồng độ khí CO2 cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 847 (ppm).
Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là p(x) = 1000 – 25x, trong đó p(x) (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có x sản phẩm được bán ra.
Hàm doanh thu của công ty là f(x) = x‧p(x).
Hàm số f(x) =-25x2 + 1000x có đạo hàm f'(x) =-50x + 1000.
Nếu f(x) = x‧p(x) là hàm doanh thu thì phương trình f'(x) = 0 có nghiệm x = 2.
Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10 000 triệu đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra. Suy ra hàm doanh thu của công ty là f(x) = x‧p(x).
b) Đúng. Ta có: f(x) = x‧p(x) = x(1000 – 25x) =-25x2 + 1000x. Suy ra f'(x) =-50x + 1000.
c) Sai. f'(x) = 0 Û-50x + 1000 = 0 Û x = 20. Vậy f'(x) = 0 có nghiệm là x = 20.
d) Đúng.
Bảng biến thiên:
Vậy doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10 000 triệu đồng, khi đó có 20 sản phẩm được bán ra.
Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Thể tích khối trụ được tính bằng công thức V = 30S trong đó S là diện tích của tam giác AEG.
Diện tích của tam giác AEG bằng: \(\sqrt {30} \cdot \sqrt {{{(15 - x)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
Giá trị của x để thể tích khối trụ lớn nhất là x = 10 cm.
Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng 1250 cm3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đường cao lăng trụ là AD = AB = 30 cm không đổi.
Khi đó V = 30‧SAEG.
b) Sai. Gọi I là trung điểm cạnh EG Þ AI ^ EG trong tam giác AEG Þ IG = 15 – x (0 < x < 15).
Ta có: AI =\(\sqrt {{x^2} - {{(15 - x)}^2}} = \sqrt {30x - 225} \) với x Î\(\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\)
SDAEG=\(\frac{1}{2}\)AI∙EG =\(\frac{1}{2}\)(30 – 2x)\(\sqrt {30x - 225} = \sqrt {15} \cdot \sqrt {{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \)
c) Đúng. Bài toán trở thành tìm x Î\(\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để f(x) = (15 – x)2(2x – 15) lớn nhất.
f'(x) = −2(15 – x)(2x – 15) + 2(15 – x)2 = 6x2 – 150x + 900;
f'(x) = 0 Û x = 10 hoặc x = 15.
Bảng biến thiên:
Vậy giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi x = 10.
d) Sai. Thể tích lớn nhất là: \(30 \cdot \sqrt {15} \cdot \sqrt {125} = 750\sqrt 3 \) (cm3).
Một xưởng mộc sản xuất bàn ghế gỗ. Chi phí C(x) (nghìn đồng) để sản xuất x bộ bàn ghế được mô tả bởi: C(x) = 15000 + 250x – 2x2 + 0,05x3.
Hàm chi phí biên là C'(x) = 250 – 4x + 0,15x2.
C'(50) = 425.
Chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51 là 430 nghìn đồng.
Giá trị C'(50) luôn bằng chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. C'(x) = 250 – 4x + 0,15x2.
b) Đúng. C'(50) = 250 − 4×50 + 0,15×502 = 425.
c) Sai. Chi phí để sản xuất bộ bàn ghế thứ 51 là
C(51) – C(50) = 29180,55 − 28750 = 430,55 nghìn đồng.
d) Sai. Giá trị C'(50) xấp xỉ chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51.
Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) =-t3 + 6t2 + t + 5 trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời v (m/s) lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 13
Ta có: v(t) = s¢(t) =-3t2 + 12t + 1; v¢(t) =-6t + 12 = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 13 tại t = 2s.
Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là s(t) (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau: s(t) = \({e^{{t^2} + 3}}\)+ \(2t{e^{3t + 1}}\) (km). Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là m∙en (km/s). Tính T = m + n. (Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 14
Ta có: v(t) = s¢(t) =\(2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}}\)Þ v(1) = 2e4 + 2e4 + 6e4 = 10e4 (km/s).
Vậy m = 10; n = 4 Þ T = m + n = 10 + 4 = 14.
Một công ty đánh giá sẽ bán được N lô hàng nếu chi hết số tiền là x (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức N(x) =-x2 + 30x + 6 (0 £ x £ 30). Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 231
Ta có: N(x) =-x2 + 30x + 6 Þ N¢(x) =-2x + 30 = 0 Û x = 15.
Bảng biến thiên:
Vậy nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.
Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất 30 bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là 200 nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 16
Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là x (x Î ℕ, x > 0).
Thời gian cần để sản xuất hết 8000 quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\) (giờ).
Tổng chi phí sản xuất là: P(x) = 200x + \(\frac{{8000}}{{30x}}\)∙192 = 200x + \(\frac{{51200}}{x}\) (nghìn đồng).
Ta có: P'(x) = 200 - \(\frac{{51200}}{{{x^2}}}\)= 0 Û x2 = 256 Û \(\left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\,\,\,(L)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên sử dụng 16 máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.
Một rạp chiếu phim có sức chứa 800 người, trung bình mỗi ngày rạp có khoảng 360 khách với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng. Nếu giảm mỗi vé 10 nghìn đồng thì mỗi ngày rạp có thêm 60 khách đến xem. Hỏi cần giảm giá vé đến bao nhiêu nghìn đồng để doanh thu của rạp là lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 80
Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền một vé
y là số người mua vé tương ứng.
Ta có giá tiền tỉ lệ nghịch với số người mua vé nên y = ax + b (a < 0).
Khi x = 100 thì y = 360. Khi x = 90 thì y = 420 nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}100a + b = 360\\90a + b = 420\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 960\end{array} \right.\). Do đó: y =-6x + 960.
Doanh thu của rạp chiếu phim là T(x) = xy = x(-6x + 960) =-6x2 + 960x với 0 < x £ 100.
T¢(x) =-12x + 960 = 0 Û x = 80.
Bảng biến thiên:
Vậy khi giá vé là 80 nghìn đồng thì doanh thu của rạp là lớn nhất.
