(Trả lời ngắn) 23 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)
23 câu hỏi
Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số \[Q\left( t \right) = 2{t^2} + t\], trong đó \[t\] được tính bằng giây (s) và \[Q\] được tính theo Culong \[\left( C \right).\] Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \[t = 4\]s.
Cường độ dòng điện tại thời điểm \[t = 4\]s là \[Q'\left( t \right) = I\left( t \right) = 4t + 1 \Rightarrow t\left( 4 \right) = 17.\]
Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = - {t^3} + 6{t^2} + t + 5\)trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1\).
Nhận xét: \(v\left( t \right)\) có đồ thị là một parabol nên trong \(5s\) đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng \[13\] tại \(t = 2s\).
Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(s\left( t \right)\) (km) là hàm phụ thuộc theo biến \(t\) (giây) tuân theo biểu thức sau: \(s\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}\) (km). Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là \(m.{e^n}\) (km/s). Tính \(T = m + n\) (Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}} \Rightarrow v\left( 1 \right) = 2{e^4} + 2{e^4} + 6{e^4} = 10{e^4}\) (km/s)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = 10 + 4 = 14\)
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2\;\)m với vận tốc ban đầu là \(24,5\;\)(m/s). Trong Vật lý, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao \(h\) (mét) của vật sau \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}.\) Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?
Xét hàm số: \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\). Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \[h'\left( t \right) = - 9,8t + 24,5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\]
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(t = \frac{5}{2}\)
Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là \(t = \frac{5}{2}\) giây
Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật Logistic được mô hình hoá bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\)trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\). Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.
Đặt \(h\left( t \right) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\) có \(h'\left( t \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\):
Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}({\rm{con}}),\]trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.
Xét hàm số \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\left( {t > 0} \right)\).
Ta có: \(N'\left( t \right) = \frac{{100.\left( {100 + {t^2}} \right) - 100t.2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100.\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\).
Khi đó, với \(t > 0,\,\,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 100 \Leftrightarrow t = 10\).
Bảng biến thiên của hàm số \(N\left( t \right)\) như sau:
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy:
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) hàm số \(N\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại \(t = 10\).
Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.
Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức \(V = k\left( {R - r} \right){r^2}{\rm{; }}0 \le r < R,\)trong đó \(k\) là hằng số, \(R\) là bán kính bình thường của khí quản, \(r\) là bán kính khí quản khi ho. Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu so với bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?
Ta có: \(V' = 2kRr - 3k{r^2}\). Nhận xét \(V' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = 0}\\{r = \frac{{2R}}{3}}\end{array}} \right.\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( {\frac{{2R}}{3}} \right) = \frac{{4k{R^3}}}{{27}}\)
Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng \(\frac{2}{3}\) bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.
Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Gọi \[x\] là số lần tăng giá 100 nghìn đồng \(\left( {x > 0} \right)\). Khi đó, số căn được cho thuê là: \(100 - x\) (căn)
Tổng số tiền thu được trong một tháng là:
\(\begin{array}{l}\left( {100 - x} \right)\left( {8000000 + 100000x} \right) = 100000\left( {100 - x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100000\left( { - {x^2} + 20x + 8000} \right)\\ = 100000\left[ { - {{\left( {x - 10} \right)}^2} + 8100} \right] \le 810000000,\forall x > 0\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x = 10\) (thỏa mãn)
Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: \(8000000 + 100000.10 = 9000000\) (đồng).
Giả sử chi phí tiền xăng \(C\) (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình \(v\)(km/h) theo công thức:
\(C\left( v \right) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v\,\,\,\left( {0 < v \le 120} \right)\)
Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của \(C\left( v \right)\) theo \(v\), người ta đã vẽ đồ thị hàm số \(C\left( v \right)\) như hình bên.
Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
Tập xác định: \(D = \left( {0;120} \right]\).
Đạo hàm \(C'\left( v \right) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2} = \frac{{5\left( {v - 80} \right)\left( {v + 80} \right)}}{{2{v^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = - 80\) (loại) hoặc \(v = 80\).
Trên khoảng \(\left( {0;80} \right),C'\left( v \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng \(\left( {80;120} \right),C'\left( v \right) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(v = 80,{C_{CT}} = C\left( {80} \right) = 400\).
Giới hạn vô cực và tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} C\left( v \right) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} \left( {\frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v} \right) = + \infty \) nên đường thẳng \(v = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu \(\left( {80;400} \right)\) và đi qua các điểm \(\left( {40;500} \right),\left( {100;410} \right)\), \(\left( {120;\frac{{1300}}{3}} \right)\) như hình.
Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy hàm số đạt GTNN khi \(v = 80\) và GTNN là 400.
Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 80 km/h.
Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?
Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là \(x\) triệu đồng/1 tháng và số căn hộ cho thuê là \(y\).
Khi đó tổng số tiền thu được sẽ là \(x.y\).
Theo đề bài, ta có: \(y = 20 - 5\left( {x - 2} \right)\) (vì cứ mỗi lần tăng giá thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống).
Do đó ta cần tìm giá trị của \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left[ {20 - 5\left( {x - 2} \right)} \right]\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(f'\left( x \right) = 30 - 10x\)\( = 0 \Rightarrow 30 - 10x = 0 \Rightarrow x = 3\)
Cuối cùng ta kiểm tra xem điểm cực này có phải là điểm cực đại hay không:
Xác định khoảng: \(\left[ { - \infty ;3} \right],\,\,\left[ {3; + \infty } \right]\)
Chọn \({x_1} = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 10\) , chọn \({x_2} = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = - 10\)
Vì đạo hàm dương với mọi \(x < 3\) là âm với mọi \(x > 3 \Rightarrow \) hàm số cực đại tại \(x = 3\)
Vì vậy, công ty nên cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng/1 tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.
Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là \(300\;\)km. Vận tốc dòng nước là \(6\)(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\)(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) (trong đó \(c\) là hằng số dương, \(E\) được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơ ngược dòng quãng đường \(300\;\)km trên trong khoảng thời gian \[t\] với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?
Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là \(v - 6\,\)(km/h).
Thời gian để bơi quãng đường \(300\;\)km là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\left( h \right)\).
Năng lượng tiêu hao là \(E\left( v \right) = 300c\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\,\left( J \right)\).
Do \(c > 0 \Rightarrow E{\left( v \right)_{\min }} \Leftrightarrow \frac{{{v^3}}}{{v - 6}} = {\left( {f\left( v \right)} \right)_{\min }}\).
Với \(v > 6\) ta có \(f'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {v - 6} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = \frac{{2{v^3} - 18v}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = 0}\\{v = 9.}\end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta nhận \(v = 9\) (do \(v > 6\)).
Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là \(9\)(km/h).
Thể tích \(V\) của \(1\;\)(kg) nước ở nhiệt độ \(t\) (\(t\) nằm giữa 0°C đến 30°C được cho bởi công thức
\(V = 999,87 - 0,06426t + 0,0085043{t^2} - 0,0000679{t^3}\left( {{m^3}} \right).\)
Ở nhiệt độ bao nhiêu độ C thì nước có khối lượng riêng lớn nhất?
Ta có đạo hàm của thể tích:
V't=−0,06424+2.0,0085043t−3⋅0,0000679t2=0⇔t≈79,53138∉0°;30°t≈3,9665.
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần bằng 4°C
Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được \(N\) lô hàng nếu chi hết số tiền là \(x\) (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng \(N\) và \(x\) liên hệ với nhau bằng biểu thức \(N\left( x \right) = - {x^2} + 30x + 6,0 \le x \le 30\). Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ti có thể bán sau đợt quảng cáo?
Ta có \(N\left( x \right) = - {x^2} + 30x + 6 \Rightarrow N'\left( x \right) = - 2x + 30 \Rightarrow N'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 15.\)
Đồng thời, ta cũng có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( 0 \right) = 6}\\{N\left( {15} \right) = 231}\\{N\left( {30} \right) = 6}\end{array} \Rightarrow {{\max }_{x \in [0;30]}}N\left( x \right) = 231 \Leftrightarrow x = 15.} \right.\)
Vậy nếu công ti dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ti sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.
Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/ tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm 0,25$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?
Gọi \(x\) là số lần giảm \(0,25\$ \). Cước thuê bao hàng tháng lúc này là \(40 - 0,25x\) với \(0 \le x \le 160\) (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là \(1000x\).
Do đó, tổng số thuê bao là \(100000 + 1000x\).
Hàm doanh thu được cho bởi R = (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả)
\[R = \left( {100000 + 1000x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {100 + x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {4000 + 15x - 0,25{x^2}} \right)\]
Đạo hàm \(R' = 0\), ta được \(R' = 1000\left( {15 - 0,5x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 30.{\rm{ }}\)
Vì tập xác định của \(R\) là khoảng đóng [0; 160] nên \(R\) đạt cực đại tại \(x = 30\) hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].
Ta có: \[R\left( 0 \right) = 4000000;\,\,R\left( {30} \right) = 4225000\,;\,\,R\left( {160} \right) = 0\]
Vậy doanh thu tối đa khi \(x = 30\). Điều này tương ứng với 30 lần giảm \(0,25\$ \), tức là cước thuê bao hàng tháng là \(40\$ - 7,5\$ = 32,5\$ \).
Số thuê bao tại mức cước này là \(100000 + 30.\left( {1000} \right) = 130000\).
Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì \(t\) năm sau khi nó được khởi động, \[n\] ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó \(n = \frac{{{t^3}}}{3} - 6{t^2} + 32t\,\,\,\left( {0 \le t \le 12} \right)\). Với giá trị nào của \[t\] thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?
Đạo hàm \(n'\left( t \right) = 0\) ta có \(n'\left( t \right) = {t^2} - 12t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 4}\\{t = 8.}\end{array}} \right.\)
Vì tập xác định của \(n\) là một khoảng đóng \(\left[ {0;12} \right]\) nên \(n\) đạt cực đại tuyệt đối tại \(t = 0,t = 4,t = 8\) hoặc \(t = 12\):
\(n\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - 6\left( {{0^2}} \right) + 32.0 = 0;\,\,n\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - 6\left( {{4^2}} \right) + 32.4 = \frac{{160}}{3}\)
\(n\left( 8 \right) = \frac{{{8^3}}}{3} - 6\left( {{8^2}} \right) + 32.8 = \frac{{128}}{3};\,\,n\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^3}}}{3} - 6\left( {{{12}^2}} \right) + 32.12 = \frac{{288}}{3} = 96\)
Do đó \(n\) đạt cực đại khi \(t = 12\) (năm).
Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là \[s = - {t^3} + 6{t^2} + 17t\], với \[t\left( s \right)\] là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \[s\left( m \right)\] là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc \[v\left( {m/s} \right)\]của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng?
Ta có : \[v = s' = - 3{t^2} + 12t + 17\]
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của \[v = - 3{t^2} + 12t + 17\] trên khoảng \[\left( {0;8} \right)\]
Mặt khác: \[v' = - 6{t^2} + 12\]\[ = 0 \Rightarrow t = 2\]
Bảng biến thiên:
Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: \[29\](m/s).
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(8000\) quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất \(30\) quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là \(200\) nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(192\) nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\left( {x \in {\rm N},\,\,x > 0} \right)\).
Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\).
Tổng chi phí để sản xuất là: \(P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}}.192 = 200x + \frac{{51200}}{x}\)
Ta có: \(P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\left( {loai} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.
Cắt một đoạn dây dài \(60{\rm{m}}\)thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích \({S_1}\), đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ dưới)
Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng \(T = {S_1} + {S_2}\) là bao nhiêu?
Gọi độ dài đoạn dây gấp tam giác đều là \(x\) thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là \(60 - x\)(mét)
Khi đó \(x = 3a \Leftrightarrow a = \frac{x}{3} \Rightarrow {S_1} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}}\)
Mặt khác: \(60 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{60 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\)
Khi đó \({S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 1080x + 32400}}{{144}}\)
Dễ dàng tính được \({\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{540}}{{9 + 4\sqrt 3 }}} \right) \approx 97,87\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Cắt một đoạn dây dài \(30{\rm{m}}\)thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một đường tròn có diện tích \({S_1}\), đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ dưới)
Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng \(T = {S_1} + {S_2}\) là bao nhiêu?
Gọi độ dài đoạn dây gấp đường tròn là \(x\) thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là \(30 - x\)(mét)
Khi đó \[x = 2\pi a \Leftrightarrow a = \frac{x}{{2\pi }} \Rightarrow {S_1} = \pi {a^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\]
Mặt khác: \(30 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{30 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{30 - x}}{4}} \right)^2}\)
Khi đó \({S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{30 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {\pi + 4} \right){x^2} - 60\pi x + 900\pi }}{{16\pi }}\)
Dễ dàng tính được \({\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{30\pi }}{{\pi + 4}}} \right) \approx 31,51\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng \[48\] và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và \[4\] mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi \[h\] là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết \[h = \frac{m}{n}\] với \[m\], \[n\] là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng \[m + n\] bằng bao nhiêu?
Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là \(2x\) và \(x\)\((x > 0)\).
Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là: \[V = 2{x^2}.h \Rightarrow 2{x^2}.h = 48 \Leftrightarrow {x^2}.h = 24\]
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là \(3\), giá thành làm nắp hộp là \(1\)nên giá thành làm hộp là
\[L = 3\left( {2{x^2} + 2xh + 4xh} \right) + 2{x^2}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được:
\[L = 8{x^2} + 9xh + 9xh \ge \]\[3\sqrt[3]{{8{x^2}.9xh.9xh}}\]\[ = 3\sqrt[3]{{648{{\left( {{x^2}h} \right)}^2}}} = 216\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}8{x^2} = 9xh\\{x^2}h = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{9h}}{8}\\\frac{{{9^2}}}{{{8^2}}}.{h^3} = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\h = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 8\),\(n = 3\) và \(m + n = 11\).
Một tấm bìa hình vuông có diện tích \(900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Người ta cắt ở bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) cm rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm thể tích lớn nhất mà hình hộp chữ nhật có thể thu được?
Cạnh của tấm bìa là \[a = \sqrt S = \sqrt {900} = 30\,\,{\rm{cm}}\], đáy sẽ là hình vuông có cạnh bằng \(30 - 2x\).
Thể tích thu được là: \(V = {\left( {30 - 2x} \right)^2}x = f\left( x \right)\) với \(0 \le x \le \frac{a}{1} = 15\)
Dễ dàng tính được: \({V_{{\rm{max}}}} = \max f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 2000\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Một người nông dân có \(15\,\,000\,\,000\)đồng để làm một hàng rào hình chữ \(E\) dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (hình vẽ dưới). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \(60\,\,000\) đồng/mét, còn đối vối ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \(50\,\,000\) đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.
Gọi độ dài của hàng rào song sông với bờ sông là \(x\) với \(x > 0\)
Gọi độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là \(y\) với \(y > 0\)
Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\)
Tổng chi phí là \(15\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có phương trình:
\(x60000 + 3y50000 = 15000000 \Rightarrow 6x + 15y = 1500\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
\(6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.5y} = > 1500 \ge 2\sqrt {90xy} = > xy \le 6250\)
Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể tạo rào là \(6250\left( {\;{m^2}} \right)\)
Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết \[a = 24\] và \[b = 3\]. Hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?
Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt \(DF = x\), \(x > 0\), ta có \(\Delta ADF\) đồng dạng với \(\Delta BED\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}\)\( \Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}\)
Gọi \[l\] là chiều dài của que sào, ta có \({l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 12\).
Dễ dàng suy ra được \(\min \,f\left( x \right) = f\left( {12} \right) = 1125\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là \(l = \sqrt {1125} = 15\sqrt 5 \).
