(Đúng sai) 12 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)

Số dân của một thị trấn sau \[t\] năm kề từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (\(f\left( t \right)\) được tính bằng nghìn người).

a) Số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người.

b) Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là 23 nghìn người.

c) Xem \(f\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([0; + \infty )\) vậy hàm số đồng biến trên \([0; + \infty )\)

d) Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn nguời/năm). Vào năm 1998 thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm.

Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:

\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)

a) Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: \(108,763\) (triệu người)

Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:

\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)

b) Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: \(125,488\) (triệu người)

Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:

\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)

c) Xem \(N\left( t \right)\) là hàm số của biến số \(t\) xác định trên đoạn \([0;50]\). Khi đó hàm số \(N\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn [0; 50].

Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:

\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)

d) Đạo hàm của hàm số \(N\left( t \right)\)biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vậy vào năm 2040 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau \(t\) giờ \(\left( {t \ge 0} \right)\) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số \(y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}.\) (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

a) Vào thời điểm \(t = 1\) thì nồng độ oxygen trong nước là \(3,5\)(mg/l)

b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước không vượt quá \(5\)(mg/l)

c) Vào thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất

d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là \(3,5\)(mg/l)

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục \(Ox\). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) được xác định bởi hàm số \(x\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\) với \(t \ge 0\). Khi đó \(x'\left( t \right)\) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(v\left( t \right);\,\,v'\left( t \right)\) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(a\left( t \right)\).

a) Hàm vận tốc là \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9\)

b) Hàm gia tốc là \(a\left( t \right) = 6t - 12\)

c) Trong khoảng từ \[t = 0\] đến \(t = 2\) thì vận tốc của chất điểm tăng

d) Từ \(t = 2\) trở đi thì vận tốc của chất điểm giảm

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).

a) Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 12,t \ge 0\)

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).

b) Hạt chuyển động xuống dưới khi \(t > 2\)

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).

c) Quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\) là \(9\;m\)

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).

d) Khi \(t > 0\) thì hạt tăng tốc

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

a) Gọi \(p\) (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, \(x\) là số ti vi. Vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) =  - \frac{1}{{200}}x + 19\)

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

b) Công ty giảm giá \(4,5\) (triệu đồng)/1 tivi cho người mua thì doanh thu của công ty là lớn nhất

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó \(x\) là số ti vi bán ra trong tuần, vậy có \[2300\] ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

d)  Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó \(x\) là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán 8,5 triệu đồng/1 ti vi để lợi nhuận là lớn nhất

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa \(\left( {1 \le x \le 18} \right)\). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

\(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500.\)

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi \(B\left( x \right)\) là số tiền bán được và \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa.

a) Biểu thức tính \(B\left( x \right)\) theo \(x\) là \(B\left( x \right) = 220x\)(nghìn đồng).

b) Biểu thức tính \(L\left( x \right)\) theo \(x\)là \(L\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + 220x - 500\) (nghìn đồng).

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa

d) Lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được là 1000 nghìn đồng.

Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).

a) \(Q = 90\) là lượng sản phẩm bán ra để lợi nhuận thu được tối đa;

Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).

b) Giá bán để lợi nhuận thu được tối đa là \(400\$ \)

Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).

c) Lợi nhuận tối đa là \(17420\$ \)

Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).

d) Nếu chính phủ đánh thuế / một đơn vị sản phẩm thì giá bán  để lợi nhuận thu được tối đa

Một sợi dây kim loại dài \(a\) \(\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài \(x\) \(\left( {{\rm{cm}}} \right)\)được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\)

a) Bán kính đường tròn: \(r = \frac{x}{\pi }\).

b) Diện tích hình vuông: \({\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).

c) Tổng diện tích hai hình: \(\frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\).

d) Khi \(x = \frac{{a\pi }}{{2 + \pi }}\) thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Từ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là \(AMB\), \(BNC\), \(CPD\) và \(DQA\). Với phần còn lại người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều.

Gọi cạnh đáy của mô hình là \(x\) (cm) với \(x > 0\).

a) Chiều cao của hình chóp là \(\sqrt {1250 - 25\sqrt 2 x} \).

b) Điều kiện của \(x\) là: \(0 < x < 25\sqrt 2 \)

c) Thể tích của khối chóp bằng \[\frac{1}{3}.\sqrt[{}]{{1250{x^3} - 25\sqrt[{}]{2}{x^4}}}\].

d) Khi cạnh đáy của khối chóp bằng \(3\sqrt 2 {\rm{dm}}\) thì thể tích của khối chóp là lớn nhất

Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.

a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\)

b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \)

c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,{\rm{km}}\) (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\), chạy \(8\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông.  Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

a) \(8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(CD\).

b) Thời gian chèo thuyền trên quãng đường \(AD\) là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3}\) (giờ)

c) Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3} + \frac{{8 - x}}{8}\)

d) Khoảng \(1\) giờ \(20\) phút là khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\).