(Đúng sai) 12 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)
48 câu hỏi
Số dân của một thị trấn sau \[t\] năm kề từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (\(f\left( t \right)\) được tính bằng nghìn người).
a) Số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người.
a) Đúng: Vào đầu năm 1980, ta có \(t = 10;f\left( {10} \right) = 18\). Vậy số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người.
Vào đầu năm 1995 ta có \(t = 25;f\left( {25} \right) = 22\).
Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là 22 nghìn người.
b) Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là 23 nghìn người.
b) Sai: \(f'\left( t \right) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}}\) với mọi \(t > 0;f\left( t \right)\) liên tục trên \([0; + \infty )\) vì liên tục trên khoảng \(\left( { - 5; + \infty } \right)\)
Vậy hàm số đồng biến trên \([0; + \infty )\).
c) Xem \(f\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([0; + \infty )\) vậy hàm số đồng biến trên \([0; + \infty )\)
c) Đúng: Tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 là:
\(f'\left( {20} \right) = \frac{{120}}{{{{25}^2}}} = 0,192\,\)do \(t = 1990 - 1970 = 20\)
Tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008 của thị trấn là:
\[f'\left( {38} \right) = \frac{{120}}{{{{43}^2}}} \approx 0,065{\rm{ }}\]do \(t = 2008 - 1970 = 38\)
Ta có: \(f'\left( t \right) = 0,125 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,125 \Leftrightarrow t + 5 = \sqrt {\frac{{120}}{{0,125}}} \approx 31 \Rightarrow t \approx 26.\)
d) Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn nguời/năm). Vào năm 1998 thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm.
d) Sai: Vậy vào năm 1996, tốc độ tăng dân số của thị trấn là 0,125.
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau \(t\) giờ \(\left( {t \ge 0} \right)\) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số \(y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}.\) (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
a) Vào thời điểm \(t = 1\) thì nồng độ oxygen trong nước là \(3,5\)(mg/l)
Xét \(y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có \(y'\left( t \right) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = - \frac{1}{3}(loai)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y\left( t \right) = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{_{[0; + \infty )}} y\left( t \right) = y\left( 0 \right) = 5\)
Vậy vào các thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và \(t = \frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất.
a) Đúng: Vào thời điểm \(t = 1\) thì nồng độ oxygen trong nước là \(3,5\)(mg/l)
b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước không vượt quá \(5\)(mg/l)
Xét \(y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có \(y'\left( t \right) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = - \frac{1}{3}(loai)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y\left( t \right) = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{_{[0; + \infty )}} y\left( t \right) = y\left( 0 \right) = 5\)
Vậy vào các thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và \(t = \frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất.
b) Đúng: Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước không vượt quá \(5\)(mg/l)
c) Vào thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất
Xét \(y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có \(y'\left( t \right) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = - \frac{1}{3}(loai)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y\left( t \right) = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{_{[0; + \infty )}} y\left( t \right) = y\left( 0 \right) = 5\)
Vậy vào các thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và \(t = \frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất.
c) Đúng: Vào thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất
d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là \(3,5\)(mg/l)
Xét \(y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có \(y'\left( t \right) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = - \frac{1}{3}(loai)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y\left( t \right) = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{_{[0; + \infty )}} y\left( t \right) = y\left( 0 \right) = 5\)
Vậy vào các thời điểm \(t = 0\) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và \(t = \frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất.
d) Sai: Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là \(2,5\)(mg/l)
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục \(Ox\). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) được xác định bởi hàm số \(x\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\) với \(t \ge 0\). Khi đó \(x'\left( t \right)\) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(v\left( t \right);\,\,v'\left( t \right)\) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(a\left( t \right)\).
a) Hàm vận tốc là \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9\)
а) Đúng: Hàm \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9\)
b) Hàm gia tốc là \(a\left( t \right) = 6t - 12\)
b) Đúng: Hàm \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 12\)
c) Trong khoảng từ \[t = 0\] đến \(t = 2\) thì vận tốc của chất điểm tăng
c) Sai: Tập xác định: \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\) và \(a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Bảng biến thiên:
Vậy trong khoảng từ \[t = 0\] đến \(t = 2\) thì vận tốc của chất điểm giảm
d) Từ \(t = 2\) trở đi thì vận tốc của chất điểm giảm
d) Sai: Từ \(t = 2\) trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng
Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa \(\left( {1 \le x \le 18} \right)\). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:
\(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500.\)
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi \(B\left( x \right)\) là số tiền bán được và \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa.
a) Biểu thức tính \(B\left( x \right)\) theo \(x\) là \(B\left( x \right) = 220x\)(nghìn đồng).
a) Đúng: Số tiền thu được là: \(B\left( x \right) = 220x\) (nghìn đồng).
b) Biểu thức tính \(L\left( x \right)\) theo \(x\)là \(L\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 220x - 500\) (nghìn đồng).
b) Sai: Lợi nhuận thu được là: \(L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\) (nghìn đồng).
c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa
c) Đúng: Hàm số \(L\left( x \right)\) xác định trên \([1;18]\).
Đạo hàm \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240;\,\,L\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\) hoặc \(x = - 8\) (loại).
Trên khoảng \(\left( {1;10} \right),\,\,L'\left( x \right) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Trên khoảng \(\left( {10;18} \right);\,\,L'\left( x \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Cực trị: Hàm số \(L\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 10\) và .
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại \(\left( {10;1200} \right)\) và đi qua các điểm \(\left( {1; - 258} \right);\,\left( {18; - 1040} \right)\) như hình.
d) Lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được là 1000 nghìn đồng.
d) Sai: Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi \(x = 10\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1200. Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1200 nghìn đồng.
Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:
\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)
a) Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: \(108,763\) (triệu người)
a) Đúng: Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: \(N\left( 7 \right) = 100{e^{0,012.7}} = 100{e^{0,084}} = 108,763\) (triệu người)
Một sợi dây kim loại dài \(a\) \(\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài \(x\) \(\left( {{\rm{cm}}} \right)\)được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\)
a) Bán kính đường tròn: \(r = \frac{x}{\pi }\).
a) Sai : Do \(x\) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \(\left( {0 < x < a} \right)\).
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(a - x\).
Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x\)\( \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\). Diện tích hình tròn: \({S_1} = \pi .{r^2}\)\( = \frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}\).
b) Diện tích hình vuông: \({\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).
b) Đúng: Diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).
c) Tổng diện tích hai hình: \(\frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\).
c) Đúng: Tổng diện tích hai hình: \(S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}\)\( = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\).
Đạo hàm: \(S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}\); \(S' = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).
d) Khi \(x = \frac{{a\pi }}{{2 + \pi }}\) thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
d) Sai: Hàm \(S\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\) suy ra \({S_{\min }} \Leftrightarrow \)\(x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).
Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:
\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)
b) Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: \(125,488\) (triệu người)
b) Sai: Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: \(N\left( {12} \right) = 100{e^{0,012.12}} = 100{e^{0,144}} = 115,488\) (triệu người)
Từ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là \(AMB\), \(BNC\), \(CPD\) và \(DQA\). Với phần còn lại người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều.
Gọi cạnh đáy của mô hình là \(x\) (cm) với \(x > 0\).
a) Chiều cao của hình chóp là \(\sqrt {1250 - 25\sqrt 2 x} \).
a) Đúng : Gọi cạnh đáy của mô hình là \(x\) (cm) với \(x > 0\). Ta có \(AI = AO - IO\)\( = 25\sqrt[{}]{2} - \frac{x}{2}\).
Chiều cao của hình chóp \(h = \sqrt {A{I^2} - O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {25\sqrt[{}]{2} - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}\,} = \sqrt[{}]{{1250 - 25\sqrt[{}]{2}x}}\).
b) Điều kiện của \(x\) là: \(0 < x < 25\sqrt 2 \)
b) Đúng: Điều kiện \(1250 - 25\sqrt[{}]{2}x > 0\)\( \Rightarrow x < 25\sqrt[{}]{2}\).
c) Thể tích của khối chóp bằng \[\frac{1}{3}.\sqrt[{}]{{1250{x^3} - 25\sqrt[{}]{2}{x^4}}}\].
c) Sai: Thể tích của khối chóp bằng \[V = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt[{}]{{1250 - 25\sqrt[{}]{2}x}}\]\[ = \frac{1}{3}.\sqrt[{}]{{1250{x^4} - 25\sqrt[{}]{2}{x^5}}}\].
d) Khi cạnh đáy của khối chóp bằng \(3\sqrt 2 {\rm{dm}}\) thì thể tích của khối chóp là lớn nhất
d) Sai: Xét hàm số \[y = \frac{1}{3}.\sqrt[{}]{{1250{x^4} - 25\sqrt[{}]{2}{x^5}}}\] với \(0 < x < 25\sqrt[{}]{2}\).
Ta có \(y' = \frac{1}{3}.\frac{{5000{x^3} - 125\sqrt[{}]{2}{x^4}}}{{2\sqrt[{}]{{1250{x^4} - 25\sqrt[{}]{2}{x^3}}}}}\); \[y' = 0\]\( \Rightarrow 5000{x^3} - 125\sqrt[{}]{2}{x^4} = 0\)\( \Rightarrow x = 20\sqrt[{}]{2}\).
Bảng biến thiên
Vậy để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng \(20\sqrt[{}]{2}\,{\rm{cm}}\)\( = 2\sqrt[{}]{2}\,{\rm{dm}}\).
Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:
\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)
c) Xem \(N\left( t \right)\) là hàm số của biến số \(t\) xác định trên đoạn \([0;50]\). Khi đó hàm số \(N\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn [0; 50].
c) Đúng: Trên đoạn [0; 50] ta có: \(N'\left( t \right) = 0,012.100{e^{0,012t}} = 1,2{e^{0,012t}} > 0,\forall t \in [0;50]\)
Do đó hàm số \(N\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn [0; 50].
Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\)
a) Đúng: Đường cao lăng trụ là \(AD = AB = 30{\rm{cm}}\)không đổi. Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất.
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(EG\) \( \Rightarrow AI \bot EG\) trong tam giác \[AEG\]\( \Rightarrow IG = 15 - x,\) \(\left( {0 < x < 15} \right)\)
Ta có:\[AI = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{30 - 2x}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \] \[ = \sqrt {30x - 225} ,\,x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\].
b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \)
b) Sai: \[{S_{\Delta AEG}} = \frac{1}{2}AI.EG = \frac{1}{2}\left( {30 - 2x} \right)\sqrt {30x - 225} \] \( = \sqrt {15} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \)
Vậy ta cần tìm \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để \(f\left( x \right) = {\left( {15 - x} \right)^2}\left( {2x - 15} \right)\) lớn nhất.
\(f'\left( x \right) = - 2\left( {15 - x} \right)\left( {2x - 15} \right) + 2{\left( {15 - x} \right)^2} = 2\left( {15 - x} \right)\left( {30 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\\x = 10\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
c) Đúng: Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi \(x = 10\).
d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
d) Sai: Và thể tích lớn nhất bằng \[125.30 = 3750\,\left( {c{m^3}} \right)\]
Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức:
\(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) , \(N\left( t \right)\)được tính bằng triệu người và \(0 \le t \le 50\)
d) Đạo hàm của hàm số \(N\left( t \right)\)biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vậy vào năm 2040 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
d) Ta có: \(N'\left( t \right) = 1,2{e^{0,012t}}\)
Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:
\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\)
Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,{\rm{km}}\) (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\), chạy \(8\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
a) \(8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(CD\).
a) Đúng: Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\); \(8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(CD\).
b) Thời gian chèo thuyền trên quãng đường \(AD\) là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3}\) (giờ)
b) Sai: Thời gian chèo thuyền trên quãng đường \(AD = \sqrt {{x^2} + 9} \) là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6}\) (giờ)
Thời gian chạy trên quãng đường \(DB\) là: \(\frac{{8 - x}}{8}\) (giờ)
c) Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3} + \frac{{8 - x}}{8}\)
c) Sai: Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,8} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 9} = 4x \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)
Bảng biến thiên
d) Khoảng \(1\) giờ \(20\) phút là khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\).
d) Đúng: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\)Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\) là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx {1^{\rm{h}}}20'\).
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).
a) Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 12,t \ge 0\)
a) Đúng: Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = y' = 3{t^2} - 12,t \ge 0\)
Hàm gia tốc là: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = y'' = 6t,t \ge 0\)
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).
b) Hạt chuyển động xuống dưới khi \(t > 2\)
b) Sai: Hạt chuyển động lên trên khi \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2\) (do \(t \ge 0\))
Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \le t < 2\) (do \(t \ge 0\))
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).
c) Quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\) là \(9\;m\)
c) Đúng: Ta có: \(y\left( 3 \right) - y\left( 0 \right) = {3^3} - 12.3 + 3 - 3 = - 9\)
Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian \(0 \le t \le 3\) là \(9\;m\).
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).
d) Khi \(t > 0\) thì hạt tăng tốc
d) Đúng: Hạt tăng tốc khi \(v\left( t \right)\) tăng hay \(v'\left( t \right) > 0\). Do đó, \(6t > 0 \Leftrightarrow t > 0\)
Hạt giảm tốc khi \(v\left( t \right)\) giảm hay \(v'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t < 0 \Leftrightarrow t < 0\) (không thỏa mãn do \(t \ge 0\))
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Gọi \(p\) (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, \(x\) là số ti vi. Vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) = - \frac{1}{{200}}x + 19\)
a) Đúng: Gọi \(p\) (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, \(x\) là số ti vi. Khi đó hàm cầu là \(p = p\left( x \right)\).
Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của \(x\) tỉ lệ với tốc độ thay đổi của \[p\] nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) \((a\) khác 0\()\).
Giá tiền \({p_1} = 14\) ứng với \({x_1} = 1000\), giá tiền \({p_2} = 13,5\) ứng với \({x_2} = 1000 + 100 = 1100\)
Do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm \(\left( {1000;14} \right)\) và \(\left( {1100;13,5} \right)\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14 = 1000a + b}\\{13,5 = 1100a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{ - 1}}{{200}}}\\{b = 19}\end{array}} \right.} \right.\) (thỏa mãn)\( \Rightarrow p\left( x \right) = - \frac{1}{{200}}x + 19\)
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
b) Công ty giảm giá \(4,5\) (triệu đồng)/1 tivi cho người mua thì doanh thu của công ty là lớn nhất
b) Đúng: Vì \(p = \frac{{ - 1}}{{200}}x + 19 \Rightarrow x = - 200p + 3800\)
Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: \(R\left( p \right) = px = p\left( { - 200p + 3800} \right) = - 200{p^2} + 3800p\)
Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm \[p\] sao cho \(R\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(R'\left( p \right) = - 400p + 3800;\,\,R'\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow p = \frac{{19}}{2}\)
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: \(14 - \frac{{19}}{2} = 4,5\) (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó \(x\) là số ti vi bán ra trong tuần, vậy có \[2300\] ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.
c) Sai: Doanh thu bán hàng của \(x\) sản phẩm là: \(R\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x.\left( {\frac{{ - 1}}{{200}}x + 19} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng). Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán \[x\] sản phẩm là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x - 12000 + 3x = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 22x - 12000\) (triệu đồng).
Để lợi nhuận là lớn nhất thì \[P\left( x \right)\] là lớn nhất. Ta có: \(P'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{100}} + 22;\,\,\,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2200\)
Bảng biến thiên:
Vậy có \[2200\] ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.
Số ti vi mua tăng lên là: \(2200 - 1000 = 1200\) (chiếc)
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
d) Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó \(x\) là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán 8,5 triệu đồng/1 ti vi để lợi nhuận là lớn nhất
d) Sai: Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: \(14 - 0,5 \cdot \frac{{1200}}{{100}} = 8\) (triệu đồng)
Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).
a) \(Q = 90\) là lượng sản phẩm bán ra để lợi nhuận thu được tối đa;
Ta có: Lợi nhuận = Tổng doanh thu - Tổng chi phí.
Tổng doanh thu là \(R\) và tổng chi phí là \(C\) được cho bởi \(R = PQ = 400Q - 2{Q^2}\)
Và \(C = Q\bar C = 0,2{Q^2} + 4Q + 400\) nên lợi nhuận \(P = R - C = 400Q - 2{Q^2} - \left( {0,2{Q^2} + 4Q + 400} \right).\)
Hay \(P\left( Q \right) = 396Q - 2,2{Q^2} - 400.\)
a) Đúng: Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cho \(P'\left( Q \right) = 0 \Leftrightarrow 396 - 4,4Q = 0 \Leftrightarrow Q = 90.{\rm{ }}\)
Ta có \(P''\left( Q \right) = - 4,4 < 0\). Vậy \(P\) đạt cực đại tại \(Q = 90\).
Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).
b) Giá bán để lợi nhuận thu được tối đa là \(400\$ \)
b) Sai: Thay \(Q = 90\) vào hàm cầu ta được giá bán trên mỗi sản phẩm để lợi nhuận thu được tối đa: \(P = 400 - 2.90 = 220.{\rm{ }}\)
Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).
c) Lợi nhuận tối đa là \(17420\$ \)
c) Đúng: Lợi nhuận tối đa: \[P\left( {90} \right) = 396\left( {90} \right) - 2,2{\left( {90} \right)^2} - 400 = 17420.\]
Giả sử hàm cầu của một sản phẩm độc quyền được cho bởi \(P = 400 - 2Q\) và hàm chi phí trung bình \(\bar C = 0,2Q + 4 + \frac{{400}}{Q}\)trong đó \(Q\) là số đơn vị sản phẩm (\(P\) và \(\bar C\) được tính bằng $ đối với mỗi đơn vị sản phẩm).
d) Nếu chính phủ đánh thuế / một đơn vị sản phẩm thì giá bán để lợi nhuận thu được tối đa
d) Sai: Khi chi phí đánh thuế 22$/một đơn vị sản phẩm, tổng chi phí tăng \(22Q\). Hàm chi phí mới là \(\overline {{C_1}} = 0,2{Q^2} + 4Q + 400 + 22Q\) và hàm lợi nhuận mới là
\(P = 400Q - 2{Q^2} - \left( {0,2{Q^2} + 4Q + 400 + 22Q} \right) = 374Q - 2,2{Q^2} - 400\)
Ta có \({P'_1}\left( Q \right) = 0 \Leftrightarrow 374 - 4,4Q = 0 \Leftrightarrow Q = 85.\)
Vì \[{P''_1}\,\,\,\,\left( Q \right) = - 4,4 < 0\] nên để thu được lợi nhuận tối đa, nhà độc quyền phải sản xuất 85 đơn vị sản phẩm với mức giá \({P_1} = 400 - 2.85 = 230\$ \), do mức giá này chỉ hơn 10$ so với trước đó nên chỉ một phần thuế được tính vào người tiêu dùng, phần thuế còn lại do nhà sản xuất gánh chịu. Lợi nhuận bây giờ là \(15495\).
