27 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn có đáp án

Chọn A

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t - \frac{1}{2}{t^2}.\) Suy ra \(v'\left( t \right) = 2 - t\) và \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)

Bảng biến thiên

Vậy chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm \(t = 2\) (giây).

Chọn B

Xét hàm số \(P = 12I - 0,5{I^2}\) với \(I \ge 0\) có đạo hàm \(P' = 12 - I\); \(P' = 0 \Leftrightarrow I = 12\).

Bảng biến thiên:

Công suất tối đa của mạch điện là \(72\,\left( {\rm{W}} \right)\) đạt được khi cường độ dòng điện là \(12\,\left( A \right)\).

Chọn B

Ta có \(v\left( t \right) = s' =  - 6{t^2} + 48t + 9\). Xét hàm số \(v\left( t \right) =  - 6{t^2} + 48t + 9\), \(t \in \left[ {0;10} \right]\).

Ta có \(v'\left( t \right) =  - 12t + 48 = 0 \Leftrightarrow t = 4\)(Nhận). Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{v\left( 0 \right) = 9}\\{v\left( 4 \right) = 105}\\{v\left( {10} \right) =  - 111}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105\).

Chọn D

\(x > 0\)Ta có: \(G\left( x \right) = 0,25{x^2}\left( {30 - x} \right) = \frac{3}{4}{x^2} - \frac{1}{{40}}{x^3}\)

\(G'\left( x \right) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{{40}}{x^2}\); \(G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{{40}}{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {loai} \right)\\x = 20\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì bênh nhân cần tiêm một lượng thuốc \(20mg\)

Chọn D

Ta có: \(G'\left( t \right) = 90t - 3{t^2};G''\left( t \right) = 90 - 6t = 0 \Leftrightarrow 90 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 15\)

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15.

Chọn A

Ta có: \(h' =  - 3\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{\pi }{2}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right).\)

\(h' = 0 \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{2}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 2 + 6k,\left( {k \in {Z_{\left(  +  \right)}}} \right)\)

Ở đây ta chỉ cần xét một số giá trị

 

Ta suy ra được h đạt giá trị lớn nhất khi t =10 \(\left( h \right)\)

Lưu ý: Ngoài cách trên ta có thể làm như sau

Vì \( - 1 \le cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow 9 \le 3cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12 \le 15.\)

Vậy để h lớn nhất thì \(cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow t =  - 2 + 12k,\left( {k \in {Z_{( + )}}} \right)\)

Vậy \(h\) đạt giá trị lớn nhất khi t =10 \(\left( h \right)\)

Chọn A

Xét hàm \(V' = \frac{9}{{10}}{t^2} - \frac{1}{{100}}{t^3}{\rm{  }}\left( {0 \le t \le 90} \right)\); \(V'' = \frac{9}{5}t - \frac{3}{{100}}{t^2} \Rightarrow V'' = 0{\rm{ khi  }}t = 0,t = 60\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số \(V'\) đồng biến trên \(\left( {0\, & ;60} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {60;\,90} \right)\)

Chọn C

Gọi \(F\left( n \right)\) là hàm cân nặng của n con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích

Ta có: \(F\left( n \right) = \left( {480 - 20n} \right).n = 480n - 20{n^2}\)

Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của n con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ là lớn nhất.

Bài toán trở thành tìm \(n \in {\mathbb{N}^*}\) sao cho \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

\(F'\left( n \right) = 480 - 40n;\,\,F'\left( n \right) = 0 \Leftrightarrow 480 - 40n = 0 \Leftrightarrow n = 12\)

Học sinh tự lập bảng biến thiên.

Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Chọn B

Xét hàm số \(T =  - 0,008{t^3} - 0,16t + 28\) với \(t \in [1;10]\).

\(T' =  - 0,024{t^2} - 0,16 < 0,\forall t \in [1;10]\) suy ra hàm số \(T\)nghịch biến trên đoạn \[{\rm{[}}1;10]\].

Nhiệt độ thấp nhất trong phong đạt được là \({T_{\min }} = T\left( {10} \right) = {18,4^0}C\).

Chọn A

Gọi \(x\) là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, (\(x\): đồng; \(x \ge 2000.000\) đồng)

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 100.000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống.

Tăng giá \(x - 2.000.000\) đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.

Theo quy tắc tam xuất ta có số căn hộ bị bỏ trống là: \(\frac{{2\left( {x - 2.000.000} \right)}}{{100.000}} = \frac{{x - 2.000.000}}{{50.000}}\)

Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:

\[50 - \frac{{x - 2.000.000}}{{50.000}} =  - \frac{x}{{50.000}} + 90\]

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (\(F\left( x \right)\): đồng).

Ta có: \[F\left( x \right) = \left( { - \frac{x}{{50.000}} + 90} \right)x =  - \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x\] ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ).

Câu toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \[F\left( x \right) =  - \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x\], \(x \ge 2.000.000\)

\(F'\left( x \right) =  - \frac{1}{{25.000}}x + 90\); \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{25.000}}x + 90 = 0 \Leftrightarrow x = 2.250.000\)

Bảng biến thiên:

Suy ra \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 2.250.000\)

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.

Nhận xét:

Sau khi tìm được hàm \[F\left( x \right) =  - \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x\]. Ta không cần phải đi khảo sát và vẽ bảng biến thiên như trên. Đề đã cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC của MTCT để thay lần lượt các giá trị vào, cái nào làm cho \(F\left( x \right)\) lớn nhất chính là giá trị cần tìm.

Chọn C

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; \(30.000 \le x \le 50.000\) đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.

Giảm giá 50.000 – \(x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là: \(\left( {50000 - x} \right).\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\): \(40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) =  - \frac{1}{{100}}x + 540\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\[F(x)\]: đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 540} \right).\left( {x - 30.000} \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F\left( x \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\), điều kiện: \(30.000 \le x \le 50.000\).

\(F'\left( x \right) =  - \frac{1}{{50}}x + 840;\,\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42.000\)

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(30.000 \le x \le 50.000\) nên ta có:

\(F\left( {30.000} \right) = 0\,;\,\,F\left( {42.000} \right) = 1.440.000\,;\,\,F\left( {50.000} \right) = 800.000\)

Vậy với \(x = 42.000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng.

Chọn B

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất \(\left( {0 < x \le 60} \right)\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng)

Số tiền thu được: \(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2}.x = 90.000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F'\left( x \right) = 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2};\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120(loai)\\x = 40(t/m)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách đó phải chở 40 người.

Chọn C

Gọi \(x\)(ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, \(x > 400\) (đơn vị: ngàn đồng).

Giá chênh lệch sau khi tăng \(x - 400\).

Số phòng cho thuê giảm nếu giá là \(x\): \(\frac{{\left( {x - 400} \right) + 2}}{{20}} = \frac{{x - 400}}{{10}}\).

Số phòng cho thuê với giá \(x\) là \(50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}\).

Tổng doanh thu trong ngày là: \(f\left( x \right) = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) =  - \frac{{{x^2}}}{{10}} + 90x\).

\(f'\left( x \right) =  - \frac{x}{5} + 90 = 0 \Leftrightarrow x = 450\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 450\).

Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025.000 đồng.

Chọn B

Gọi \(x\)(triệu đồng) là giá tua.

Giá đã giảm so với ban đầu là \(2 - x\).

Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán \(x\) là: \(\frac{{\left( {2 - x} \right)20}}{{0,1}} = 400 - 200x\).

Số người sẽ tham gia nếu bán giá \(x\) là: \(150 + \left( {400 - 200x} \right) = 550 - 220x\).

Tổng doanh thu là: \(f\left( x \right) = x\left( {550 - 200x} \right) =  - 200{x^2} + 550x\);

\(f'\left( x \right) =  - 400x + 550 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{{11}}{8} = 1,375\).

Vậy công ty cần đặt giá tua 1375000 đồng thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là 378125000 đồng.

Chọn A

Số cá vụ vừa rồi Bác Tôm nuôi là \(20.50 = 1000\) con.

Vậy trọng lượng mỗi con là \(1,5\) kg.

Gọi số cá giảm là \(8x\) con.

Trọng lượng thu được của vụ tới là: \(\left( {1000 - 400x} \right)\left( {1,5 + 0,5x} \right) =  - 200{x^2} - 100x + 1500\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - \frac{1}{4}\). Vậy số cá giống ban đầu là \(1100\) con.

Chọn A

Đặt độ dài cạnh \(AO = x\)cm, \(\left( {x > 0} \right)\)

Suy ra: \(BO = \sqrt {3,24 + {x^2}} ,CO = \sqrt {10,24 + {x^2}} \)

Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác \(OBC\) ta có:

cosBOC^=OB2+OC2−BC22.OB.OC=3,24+x2+10,24+x2−1,9623,24+x210,24+x2=5,76+x23,24+x210,24+x2

Vì góc \(\widehat {BOC}\) là góc nhọn nên bài toán trở thành tìm \(x\) để  \(F\left( x \right) = \frac{{5,76 + {x^2}}}{{\sqrt {\left( {3,24 + {x^2}} \right)\left( {10,24 + {x^2}} \right)} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt \(\left( {3,24 + {x^2}} \right) = t,\left( {t > 3,24} \right)\) suy ra \(F\left( t \right) = \frac{{t + \frac{{63}}{{25}}}}{{\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }} = \frac{{25t + 63}}{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}\)

Ta tìm t để \(F(t)\) nhận giá trị nhỏ nhất.

\(F'\left( t \right) = {\left( {\frac{{25t + 63}}{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)^\prime } = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)}  - \left( {25t + 63} \right)\left( {\frac{{2t + 7}}{{2\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)}}{{t\left( {t + 7} \right)}}} \right)\)

\( = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{50\left( {{t^2} + 7t} \right) - \left( {25t + 63} \right)\left( {2t + 7} \right)}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right) = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{49t - 441}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 9\)

Bảng biến thiên:

Thay vào đặt ta có: \(\left( {3,24 + {x^2}} \right) = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{144}}{{25}} \Leftrightarrow x = 2,4m\)

Vậy để nhìn rõ nhất thì \[AO = 2,4\]m.

Chọn A

Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ

Ta có \(\frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2  + \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 6\)\( \Leftrightarrow x + y = 3\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow y = 3\sqrt 2  - x\) với \(0 < x < 3\sqrt 2 \).

Thể tích của khối hộp tạo thành là \(V = {x^2}y = {x^2}\left( {3\sqrt 2  - x} \right)\).

Ta có \[V' = 3x\left( {2\sqrt 2  - x} \right) = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt 2 \].

Bảng biến thiên

Vậy: \(\max V = 8\sqrt 2 \) khi \(x = 2\sqrt 2 \),\(y = \sqrt 2 \).

Chọn C

Đặt \(AM = x\,\,\,\left( {0 < x < 4} \right) \Rightarrow ME = 4 - 2x\).

\[2M{Q^2} = {\left( {4 - 2x} \right)^2} \Leftrightarrow M{Q^2} = 2{\left( {2 - x} \right)^2} \Leftrightarrow MQ = \sqrt {2\left( {2 - x} \right)} \]

Gọi \(S\) tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ.

\(S = 4.\frac{{M{Q^2}}}{2} + P{Q^2} = 2M{Q^2} + M{N^2} = {\left( {4 - 2x} \right)^2} + {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2} = 6{x^2} - 16x + 16\)\( = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)

Bảng biến thiên

Vậy \({S_{\min }} = \frac{{16}}{3}\)

Chọn D

Gọi \(A\)  là mục tiêu; \(B\) là vị trí chiến sỹ và \(BD\) là đường bơi của chiến sỹ.

Chọn một đơn vị độ dài là 100m suy ra \[BC = 1;AB = 10;\]\[AC = 3\sqrt {11} \]

Gọi vận tốc bơi của chiến sỹ là một đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của chiến sỹ là 3 đơn vị vận tốc. Gọi \(x\) là quãng đường chiến sỹ bơi suy ra \(BD = x\)

Vậy quãng đường chiến sỹ chạy là \[AD = AC - CD = 3\sqrt {11}  - \sqrt {{x^2} - 1} \]

Thời gian chiến sỹ đến được mục tiêu là: \[t = \frac{{3\sqrt {11}  - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} + \frac{x}{1} = \sqrt {11}  - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1}  + x\]

Xét hàm \[f\left( x \right) = \sqrt {11}  - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1}  + x\] có \[f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{3}\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {thoa\,\,man} \right)\\x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Vậy thời gian chiến sỹ đến mục tiêu ngắn nhất khi \[f{\left( x \right)_{\min }} \Rightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\]

Vậy chiến sỹ phải bơi \[\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.100 = 75\sqrt 2 \left( m \right)\].

Chọn C

Gọi \(R\) và \(h\) lần lượt là bán kính và chiều cao của bể chứa nước.

Ta có thể tích bể chứa nước là: \(V = 1\)\( \Rightarrow \pi {R^2}h = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\).

Diện tích nắp và mặt đáy bể chứa nước là: \({S_1} = \pi {R^2}\).

Diện tích xung quanh của bể chứa nước là: \({S_2} = 2\pi Rh = 2\pi R.{\mkern 1mu} \frac{1}{{\pi {R^2}}} = \frac{2}{R}\).

Chi phí làm bể chứa nước là: \(f\left( R \right) = 6{\mkern 1mu} \pi {R^2} + 2{\mkern 1mu} \pi {R^2} + 4.{\mkern 1mu} \frac{2}{R} = 8\pi {R^2} + \frac{8}{R}\) (trăm nghìn đồng).

Ta có: \(f'\left( R \right) = 16\pi R - \frac{8}{{{R^2}}}\). Xét \(f'\left( R \right) = 0 \Leftrightarrow 16\pi R - \frac{8}{{{R^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\pi {R^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy chi phí làm bể chứa nước thấp nhất khi \(R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\).

Chọn A

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Chọn A

Gọi \[x,y,h\] lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hồ chứa nước, \(\left( {x > 0,y > 0,h > 0,m} \right)\)

Ta có: \(\frac{y}{x} = 2 \Leftrightarrow y = 2x\). Thể tích hồ chứa nước \(V = xyh \Leftrightarrow h = \frac{V}{{xy}} = \frac{{576}}{{x\left( {2x} \right)}} = \frac{{288}}{{{x^2}}}\)

Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước:

\(S\left( x \right) = 2xy + 2xh + 2yh = 2x\left( {2x} \right) + 2x\frac{{288}}{{{x^2}}} + 2\left( {2x} \right)\frac{{288}}{{{x^2}}} = 4{x^2} + \frac{{1728}}{x}\)

Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất, mà vẫn đạt thể tích như mong muốn.

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow S\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{{1728}}{x} \Rightarrow S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x - \frac{{1728}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 6\)

Bảng biến thiên:

Vậy kích thước của hồ là: rộng 6m, dài 12m, cao 8m.

Diện tích cần xây: \(432{m^2}\) và chi phí ít nhất là: \(432x500.000 = 216.000.000\)

Chọn C

Gọi \(x\) là độ dài cạnh của hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính của hình tròn \(\left( {0 < x < R} \right)\)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(2\sqrt {{R^2} - {x^2}} \)

Ta có diện tích của hình chữ nhật là: \(S\left( x \right) = 2x\sqrt {{R^2} - {x^2}} \)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

\(S'\left( x \right) = 2\sqrt {{R^2} - {x^2}}  - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }} = \frac{{2{R^2} - 4{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2{R^2} - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\\x = \frac{{ - R\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là \({R^2}\).

Chọn C

Diện tích của đáy hộp là: \(S = \frac{V}{h} = \frac{{96.000}}{{60}} = 1600c{m^2} = 0,16{m^2}\)

Gọi chiều dài cạnh đáy của hộp là \(x,\left( {x > 0,m} \right)\), chiều rộng của hộp là \(\frac{{0,16}}{x}\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chi phí để làm để cá.

Chi phí để hoàn thành bể cá:

\[F\left( x \right) = 0,16 \times 100.000 + 2.0,6x.70.000 + 2.0,6.\frac{{0,16}}{x}.70.000 = 16.000 + 48.000x + \frac{{13440}}{x}\]

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(F\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(F'\left( x \right) = 84.000 - \frac{{13440}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 84.000 - \frac{{13440}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\)

Bảng biến thiên:

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: 83.200 đồng

Chọn B

Gọi chiều rộng của bể là \(3x{\rm{ }}\left( m \right)\). Ta có chiều dài bể là \(4x{\rm{ }}(m)\) và chiều cao của bể là \(\frac{2}{{3{x^2}}}{\rm{ }}\left( m \right)\)

Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:

\(T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}}  = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)\).

Chi phí \(C\) (tính theo đồng) xây dựng là: \(C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000\) (đồng).

Chọn B

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\) như hình vẽ

Khi đó chu vi của khung là \(\left( {x + 2y} \right) + 2x = 60 \Leftrightarrow y = 30 - \frac{3}{2}x\)

Suy ra diện tích của khung là: \(S = xy + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = x\left( {30 - 1,5x} \right) + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{6 - \sqrt 3 }}{4}{x^2} + 30x = f\left( x \right)\)

Dễ dàng suy ra được: \({S_{{\rm{max}}}} = {\rm{max}}\,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{60}}{{6 - \sqrt 3 }}} \right) = \frac{{900}}{{6 - \sqrt 3 }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Chọn A

Chọn hệ trục \[Oxy\]như hình vẽ. Khi đó \(M\left( { - 2,6\;;\;x} \right)\).

Gọi \(B\left( { - a\;;\;0} \right)\)suy ra \(A\left( {0\;;\;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\). Phương trình \(AB:\;\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0\).

Do \(CD\;{\rm{//}}\;AB\)nên phương trình \(CD:\;\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0\).

Mà khoảng cách giữa \(AB\)và \(CD\)bằng \(1,9\)m nên

\(\frac{{\left| {T - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\).

Điều kiện để ô tô đi qua được là \(M,O\)nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng \(CD\).

Suy ra: \(\frac{{ - 2,6}}{{ - a}} + \frac{x}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \ge \sqrt {25 - {a^2}}  + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6 \times \sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\)

Để cho nhanh, chúng ta dùng chức năng TABLE trong máy tính:

\(f\left( X \right) = \sqrt {25 - {X^2}}  + \frac{{9,5}}{X} - \frac{{2,6 \times \sqrt {25 - {X^2}} }}{X}\)với STEP = \(\frac{5}{{29}}\); START = 0; END = 5.

Thấy giá trị lớn nhất của \(f\left( X \right) = \sqrt {25 - {X^2}}  + \frac{{9,5}}{X} - \frac{{2,6 \times \sqrt {25 - {X^2}} }}{X}\) xấp xỉ \(3,698\).

Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên gần nhất với giá trị \(x = 3,7\;({\rm{m}})\)