Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài hai cạnh của thửa ruộng hình chữ nhật. Giả sự cạnh giáp sông của thửa ruộng có độ dài là y (m).

Khi đó, theo đề bài ta có: 2x + y = 240 hay y = 240 – 2x.

Do đó: 0 < x < 120; y > 0.

Diện tích cửa thửa ruộng là

S = xy = x(240 – 2x) = 240x – 2x², 0 < x < 120.

Ta có: S' = 240 – 4x

           S' = 0 ⇔ x = 60 (vì 0 < x < 120).

Khi đó y = 240 – 2.60 = 120.

Lập bảng biến thiên:

Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất là:

S = 60. 120 = 7 200 (m²) (khi cạnh giáp sông và cạnh đối diện có độ dài 120 m, hai cạnh kia có độ dài 60 m).

Chú ý: Nếu phải rào cả bốn cạnh cửa thửa ruộng thì dễ thấy thửa ruộng có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông, tức là bốn cạnh đều dài 60 m, và khi đó diện tích lớn nhất là

3 600 m².

Ta có: R'(x) = \(\frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - x}}}}\), x ≥ 0.

           R''(x) = \(\frac{{ - 25000{e^{ - x}}{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2} + 25000{e^{ - x}}.2\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right).5{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^4}}}\)

           R''(x) = 0 ⇔ x = ln5 ≈ 1,61.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ hai.

Gọi x (m) là cạnh đáy của chiếc hộp.

Khi đó, ta có chiều cao của chiếc hộp là \(\frac{{2000}}{{{x^2}}}\) (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp là:

S = 2x² + 4x.\(\frac{{2000}}{{{x^2}}}\) = 2x² + \(\frac{{8000}}{x}\), x > 0.

Ta có: S' = 4x – \(\frac{{8000}}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ x = 10\(\sqrt[3]{2}\).

Ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy lượng vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất khi cạnh đáy của hộp là 10\(\sqrt[3]{2}\) (cm) và chiều cao của hộp là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\) cm.

Gọi khoảng cách từ thị trấn đến chỗ neo thuyền leo x (km), khi đó 0 ≤ x ≤ 12.

Từ đề bài, ta có khoảng cách từ hòn đảo đến nơi neo thuyền là: (12 – x)² + 9 (km).

Thời gian để người đó từ hòn đảo đến thị trấn là: T = \(\frac{{{{\left( {12 - x} \right)}^2} + 9}}{{2,5}} + \frac{x}{4}\) (giờ).

Ta có: T' = \( - \frac{{2\left( {12 - x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4}\)

           T' = 0 ⇔ x = \(\frac{{187}}{{16}}\) = 11,6875.

Mặt khác, ta có T(0) = 61,2; T(11,6875) ≈ 6,56; T(12) = 6,6.

Vậy người đó cần neo thuyền tại vị trí cách thị trấn 11,6875 km để thời gian đi lại là gần nhất.

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + \(\frac{{2\pi rV}}{{\pi {r^2}}}\) = 2πr² + \(\frac{{2V}}{r}\), r > 0.

Ta có: S' = 2πr² – \(\frac{{2V}}{{{r^2}}}\) = \(\frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), khi đó chiều cao của hình trụ là

2.\(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.

a) Khảo sát đơn điệu của hàm số H

Ta có: H = \(33\left( {10\sqrt v - v + 10,45} \right)\)

           H'(v) = 33\(\left( {\frac{5}{{\sqrt v }} - 1} \right)\), v > 0

           H'(v) = 0 ⇔ v = 25.

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Ta có thể thấy mức nhiệt mất từ cơ thể tăng khi tốc độ gió tăng. Tuy nhiên, nó đạt tối đa tại mức gió là 25 m/s, sau đó giảm dần khi tốc độ gió tiếp tục tăng.

b) Ta có: H'(2) = 33\(\left( {\frac{5}{{\sqrt 2 }} - 1} \right)\) ≈ 83,673.

Điều này có nghĩa là mức nhiệt của cơ thể mất tiếp khi vận tốc gió tăng từ 2 m/s lên 3 m/s là khoảng 83,673 (Kcal/m²h).

a) Hàm doanh thu biên là R' = 1800 + 128x – 6x².

b) Ta có doanh thu biên khi x = 14 là R'(14) = 2 416.

Điều này nghĩa là, doanh thu tăng lên cho thuê thêm một căn hộ nữa (tức là cho thuê căn hộ thứ 15) là khoảng 2 416 USD.

c) Ta có: R(14) = 32 256; R(15) = 34 650 suy ra R(15) – R(14) = 2 394.

Vậy số khi căn hộ thuê tăng từ 14 lên 15 thì doanh thu tăng thêm 2 394 USD, giá trị này xấp xỉ với mức đã ước tính ở câu b.