Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung có đáp án
7 câu hỏi
Cho dây AB không qua tâm của đường tròn (O). Gọi A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua O. Hỏi đường trung trực của A'B' có phải là trục đối xứng của (O) hay không? Tại sao?
Do tính đối xứng tâm của (O) nên A' và B' cũng thuộc (O).
Do đó OA = OB = OA' = OB', suy ra đường trung trực của A'B' đi qua O.
Vậy đường trung trực của A'B' là trục đối xứng của (O).
Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Gọi H và K là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ B và C xuống AC và AB. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K;
b) KH < BC.
(H.5.20)
a) Gọi O là trung điểm của BC.
Do \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = 90^\circ \) nên trong các tam giác BHC và BKC có đường trung tuyến bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh huyền.
Ta có: \(OH = OK = OB = OC = \frac{{BC}}{2}.\)
Do đó, đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K.
b) Theo câu a, HK là dây cung của đường tròn đường kính BC. Do đó KH < BC.
Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.21a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.
Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới nước của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên Hình 5.21b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0,5 m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.
Gọi R (m) là bán kính của guồng nước.
Trên hình vẽ, ta thấy OH = R – HC = R – 0,5 (m).
Do OH < AB nên \(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 2\) m.
Trong tam giác vuông AOH, theo định lí Pythagore ta có:
\(O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} = {\left( {R - 0,5} \right)^2} + {2^2}.\)
Tức là \(O{A^2} = {R^2} - R + 0,25 + 4 = {R^2} - R + 4,25.\)
Từ đó suy ra \({R^2} = {R^2} - R + 4,25,\) hay 4,25 – R = 0. Do đó, R = 4,25 m.
Vậy bán kính của guồng nước là 4,25 m.
Cho đường tròn (O; 5 cm).
a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dãy AB bằng 2,5 cm.
b) Tính độ dài của dây AB theo câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.
a) Vẽ dây AB cách O một khoảng 2,5 cm:
− Lấy điểm I tùy ý sao cho OI = 2,5 cm;
− Vẽ đường thẳng vuông góc với OI tại I, cắt (O) tại A và B.
Ta có dây AB cần vẽ:
b) (H.5.22) Trong tam giác vuông AOI, ta có AI2 = OA2 – OI2 = 52 – 2,52 = 18,75.
Vậy \(AB = 2AI = 2\sqrt {18,75} = 5\sqrt 3 \approx 8,66\) cm.
c) (H.5.22)
• Kéo dài OI cắt (O) tại K.
Dễ thấy tứ giác AKBO có hai đường chéo AB và OK vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (do OK = OA = 5 cm và \(OI = IK = \frac{{OK}}{2}).\)
Do đó AKBO là hình thoi.
Từ đó OA = OK = KA = 5 cm; OAK là tam giác đều, suy ra \(\widehat {AOK} = 60^\circ \) và \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOK} = 2.60^\circ = 120^\circ .\)
Vậy
• Độ dài cung nhỏ AB bằng \(\frac{{120}}{{180}}\pi .5 = \frac{{10\pi }}{3}\) (cm).
d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB là \(\frac{{\frac{{10\pi }}{3}.5}}{2} = \frac{{25\pi }}{3}\) (cm2).
Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn đến phần hàng chục)?
Chu vi của chiếc líp là 2.π.4 = 8π (cm).
Khi người đi xe đạp một vòng thì giò đĩa quay 2π.15 = 30π (cm).
Mỗi điểm trên xích di chuyển một độ dài đúng bằng chu vi của giò đĩa, tức là 8π cm.
Khi đó, chiếc líp quay được \(\frac{{30\pi }}{{8\pi }} = \frac{{15}}{4}\) vòng, nghĩa là bánh xe quay được \(\frac{{15}}{4}\) vòng.
Chu vi của bánh xe (đường kính 65 cm = 0,65 m) là 0,65π (m).
Do đó quãng đường xe di chuyển được khi bánh xe quay \(\frac{{15}}{4}\) vòng là:
\(0,65\pi .\frac{{15}}{4} = \frac{{39\pi }}{{16}} \approx 7,7\) (m)
Vậy khi người đi xe đạp một vòng thì xe di chuyển được quãng đường khoảng 7,7 m.
Cho tam giác đều ABC có \(AB = 2\sqrt 3 \) cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.
(H.5.25)
a) Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác DBC có đường trung tuyến OD bằng OB và OC (bằng \(\frac{1}{2}BC\)) nên DBC là tam giác vuông tại D.
Do đó, CD là đường cao của tam giác đều ABC, suy ra D là trung điểm của AB.
Tương tự, E là trung điểm của AC.
Từ đó suy ra bốn tam giác ADE, OEC, OBD, ODE là những tam giác đều, với độ dài cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác đều ABC, tức là bằng \(\frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) cm.
Ba cung nhỏ và lần lượt bị chắn bởi các góc ở tâm \(\widehat {BOD},\)\(\widehat {DOE}\) và \(\widehat {EOC}\) mà các góc này đều bằng 60° (các góc của tam giác đều) nên các cung đang xét đều bằng nhau và cùng có số đo bằng 60°.
b) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung BD là
\({S_q} = \frac{{60}}{{360}}\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{\pi }{2}\) (cm2).
Diện tích của tam giác BOD là
\({S_{BOD}} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.\sin 60^\circ = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) (cm2).
Diện tích của hình viên phân là
\(S = {S_q} - {S_{BOD}} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 0,27\) (cm2).
Cho đường tròn (O), đường kính \(AB = 4\sqrt 3 \) cm. Điểm C thuộc đường tròn tâm O sao cho \(\widehat {AOC} = 60^\circ .\) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC.
(H.5.26)
Diện tích hình quạt tròn AOC là
\[{S_{qAOC}} = \frac{{60}}{{360}}\pi .{\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 2\pi \] (cm2).
Xét tam giác AOC có \(\widehat {AOC} = 60^\circ \) và OA = OC (= R) nên tam giác AOC đều có độ dài cạnh là \(R = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \) cm.
Gọi CH là đường cao của tam giác AOC. Khi đó, \(CH = CO\,.\,\sin 60^\circ = 2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\,\,(cm).\)
Diện tích của tam giác AOC là
\({S_{\Delta AOC}} = \frac{1}{2}.3.2\sqrt 3 = 3\sqrt 3 \) (cm2).
Diện tích hình viên phân cần tính là
\(S = {S_{qAOC}} - {S_{\Delta AOC}} = 2\pi - 3\sqrt 3 \approx 1,09\) (cm2).