Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung

a) Nghiệm của phương trình (1) là (−1; 1), (4; 3).

b) Nghiệm của phương trình (2) là (1; −1), (4; 3), (−2; −5).

c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2) là (4; 3).

a) Xét phương trình −3x + 2y = 5; (1)

Ta viết (1) dưới dạng $y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.$ 

Khi đó, phương trình (1) có nghiệm là $\left(x;\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\right)$ với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng d₁: −3x + 2y = 5;

Ta có: $A\left(0;\frac{5}{2}\right)$ và $B\left(-\frac{5}{3};0\right)$ là hai điểm nằm trên đường thẳng d₁ nên ta có hình vẽ biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) như sau:

b) Xét phương trình $\frac{1}{2}x-y=2.$ (2)

Ta viết (2) dưới dạng $y=\frac{1}{2}x-2.$ 

Khi đó, phương trình (2) có nghiệm là $\left(x;\frac{1}{2}x-2\right)$ với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng $d_2:\frac{1}{2}x-y=2.$

Ta có: A(0; −2) và B(4; 0) là hai điểm nằm trên đường thẳng d₂ nên ta có hình vẽ biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) như sau:

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x – 1. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 2x – 2(2x – 1) = −1 hay −2x = −3, suy ra $x=\frac{3}{2}.$

Từ đó $y=2.\frac{3}{2}-1=2$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(\frac{3}{2};2\right).$

b) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = x – 1. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 1,2x – 1,2(x – 1) = 1,2 hay 0x = 0.

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn hệ thức trên.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức y = x – 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; x – 1) với x ∈ ℝ tùy ý.

a) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 5, ta được hệ $\left\{\begin{array}{c}15x+21y=-3\\ 15x+10y=-25\end{array}\right..$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 11y = 22 hay y = 2.

Thế y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta có 3x + 2.2 = −5, hay 3x = −9, suy ra x = −3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (−3; 2).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2,5 ta được hệ $\left\{\begin{array}{c}2x-3y=11\\ -2x+3y=2,5\end{array}\right..$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0y = 13,5.

Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức trên nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 10, ta được hệ $\left\{\begin{array}{c}4x-3y=6\\ 4x+2y=8\end{array}\right..$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được −5y = −2 hay $y=\frac{2}{5}.$

Thế $y=\frac{2}{5}$ vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có $4x-3.\frac{2}{5}=6$ hay $4x=\frac{36}{5},$ suy ra $x=\frac{9}{5}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(\frac{9}{5};\frac{2}{5}\right).$

Vì số nguyên tử của Al và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}4=2y\\ 2x=3y\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{c}y=2\\ 2x=3y\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được x = 3, y = 2.

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(3; −2) nên a.3 + b = −2 hay 3a + b = −2.

Tương tự, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm B(−1; 2) nên a.(−1) + b = 2 hay −a + b = 2.

Từ đó, ta có hệ phương trình với hai ẩn là a và b: $\left\{\begin{array}{c}3a+b=-2\\ -a+b=2\end{array}\right..$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 4a = −4 hay a = −1.

Thay a = −1 vào phương trình thứ hai, ta có −(−1) + b = 2 hay 1 + b = 2, suy ra b = 1.

Vậy với a = −1; b = 1 thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A, B đã cho.

Vì (1; −2) là nghiệm của hệ đã cho nên thay x = 1; y = −2 vào hệ đó ta được

$\left\{\begin{array}{c}a-2b=1\\ a-2\left(2-b\right)=3\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{c}a-2b=1\\ a-4+2b=3\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}a-2b=1\\ a+2b=7\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}a-2b+a+2b=1+7\\ a+2b=7\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}2a=8\\ a+2b=7\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}a=4\\ 4+2b=7\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}a=4\\ 2b=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}a=4\\ b=\frac{3}{2}\end{array}\right.\\ \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(4;\frac{3}{2}\right).$