Giải VTH Toán 9 KNTT Bài tập cuối chương 5 có đáp án
11 câu hỏi
Chọn phương án đúng.
Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng \[OA = \sqrt {15} \] cm và OB = 4 cm. Khi đó:
A.Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).
B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).
C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).
D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).
Đáp án đúng là: D
![Chọn phương án đúng. Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng \[OA = \sqrt {15} \] cm và OB = 4 cm. Khi đó: A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O). B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O). C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O). D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/09/blobid0-1726580984.png)
Ta có:
•\(OA = \sqrt {15} < \sqrt {16} = 4 = R\) nên điểm A nằm trong (O).
• OB = 4 = R nên điểm B nằm trên (O).
Vậy điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).
Chọn phương án đúng.
Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng \[OA = \sqrt {15} \] cm và OB = 4 cm. Khi đó:
A.Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).
B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).
C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).
D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).
Đáp án đúng là: D
![Chọn phương án đúng. Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng \[OA = \sqrt {15} \] cm và OB = 4 cm. Khi đó: A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O). B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O). C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O). D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/09/blobid1-1726581199.png)
Ta có:
•\(OA = \sqrt {15} < \sqrt {16} = 4 = R\) nên điểm A nằm trong (O).
• OB = 4 = R nên điểm B nằm trên (O).
Vậy điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).
Chọn phương án đúng.
Cho Hình 5.42, trong đó BD là đường kính, \(\widehat {AOB} = 40^\circ ;\)\(\widehat {BOC} = 100^\circ .\) Khi đó:
A. và
B. và
C. và
D. và
Đáp án đúng là: D
Ta có: mà \(\widehat {DOC} = \widehat {DOB} - \widehat {BOC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \) suy ra
\[ = 360^\circ - 80^\circ - 100^\circ - 40^\circ = 140^\circ .\]
Vậy và
Chọn phương án đúng.
Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2), trong đó R2 < R1. Biết rằng hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau (H.5.43). Khi đó:
A.AB < R1 – R2.
B. R1 – R2 < AB < R1 + R2.
C. AB > R1 + R2.
D. AB = R1 + R2.
Đáp án đúng là: B
Hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau khi R1 – R2 < AB < R1 + R2.
Chọn phương án đúng.
Cho đường tròn (O; R) và hai đường thẳng a1 và a2. Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến a1 và a2. Biết rằng (O) cắt a1 và tiếp xúc với a2 (H.5.44). Khi đó:
A.d1 < R và d2 = R.
B. d1 = R và d2 < R.
C. d1 > R và d2 = R.
D. d1 < R và d2 < R.
Đáp án đúng là: A
Đường tròn (O) cắt a1 suy ra d1 < R.
Đường tròn (O) tiếp xúc a2 suy ra d2 = R.
Vậy d1 < R và d2 = R.
Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).
a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).
b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.
c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng BC = 6 cm.
Gọi \(R = \frac{{BC}}{2}\) là bán kính của đường tròn.
a) Nếu A ∈ (O; R) thì OA = R.
Khi đó, tam giác ABC có đường trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền nên là tam giác vuông với cạnh huyền BC (góc A vuông).
Ngược lại, nếu tam giác ABC vuông tại A thì đường trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền, nghĩa là \(AO = \frac{{BC}}{2} = R.\)
Do đó điểm A nằm trên (O).
b) (H.5.45) Vì \(BO = \frac{{BC}}{2} = R\) nên khi A là một trong hai giao điểm của (B; BO) với (O) thì tam giác ABO là tam giác đều vì có BO = OA = AB = R.
Do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {ABC} = 60^\circ .\)
Theo câu a, tam giác ABC là tam giác vuông và có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BCA} = 30^\circ .\)
c) Từ câu b, ta có \(\widehat {AOB} = 60^\circ ,\) suy ra
Mặt khác, \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) cm nên độ dài cung AC là \(l = \frac{{120}}{{180}}\pi .3 = 2\pi \) (cm).
Hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA và OC ứng với cung AC nên diện tích của nó bằng \(S = \frac{{120}}{{360}}\pi {.3^2} = 3\pi \) (cm2).
Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.
a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?
b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.
a) Cách 1. Gọi bán kính của đường tròn là R.
Do C và D là điểm đối xứng với A và B qua tâm O nên
OC = OA = R = 4 cm và OD = OB = R = 4 cm.
Do đó hai điểm C và D nằm trên đường tròn (O).
Cách 2. Do đường tròn là hình có tâm đối xứng là O nên khi A ∈ (O) và B ∈ (O) thì hai điểm đối xứng với A và B qua O cũng nằm trên (O).
b) (H.5.46) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD, hay \(\widehat {AOB} = 90^\circ .\)
Suy ra số đo của cung nhỏ AB là 90°.
Số đo của cung lớn AB (cũng là cung ACB) là:
Độ dài của cung lớn AB là \(l = \frac{{270}}{{180}}\pi .4 = 6\pi \) (cm).
Diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA, OB là
\(S = \frac{{90}}{{360}}\pi {.4^2} = 4\pi \) (cm2).
Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, sao cho AB = 2 cm và BC = 1 cm. Vẽ các đường tròn (A; 1,5 cm), (B; 3 cm) và (C; 2 cm). Hãy xác định các cặp đường tròn:
a) Cắt nhau;
b) Không giao nhau;
c) Tiếp xúc với nhau.
(H.5.47)
Gọi RA, RB và RC lần lượt là bán kính các đường tròn (A), (B) và (C).
Theo đề bài, ta có RA = 1,5 cm; RB = 3 cm; RC = 2 cm; AB = 2 cm; BC = 1 cm và CA = AB + BC = 2 + 1 = 3 cm. Ta có:
• RB – RA = 3 – 1,5 = 1,5 cm < AB < RB + RA = 3 + 1,5 = 4,5 cm. Do đó (A) và (B) cắt nhau.
• RC – RA = 2 – 1,5 = 0,5 cm < CA = 3 cm < RC + RA = 2 + 1,5 = 3,5 cm. Do đó (A) và (C) cắt nhau.
• BC = 1 cm = RB – RC = 3 – 2. Nên (B) và (C) tiếp xúc với nhau.
Do đó không có cặp đường tròn nào không giao nhau.
Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A\) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A'. Chứng minh rằng:
a) BA và BA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);
b) CA và CA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).
(H.5.48)
a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC, mà A ∈ (C; CA) do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
Hai tam giác ABC và A'BC có:
BC là cạnh chung;
AB = A'B (cùng bằng bán kính đường tròn (B; BA));
AC = A'C (cùng bằng bán kính đường tròn (C; CA)).
Do đó ∆ABC = ∆A'BC (c.c.c), suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BA'C} = 90^\circ ,\) hay BA' ⊥ A'C.
Mặt khác, A' ∈ (C; CA) nên BA' là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
Vậy BA và BA' là hai tiếp tuyến của đường tròn (C; CA) cắt nhau tại C.
b) Ta có CA ⊥ AB và A ∈ (B; BA) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Tương tự, CA' là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Vậy CA và CA' là hai tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) cắt nhau tại B.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O') tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.49).
a) Chứng minh rằng tứ giác OO'KI là một hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng \(IK = \frac{1}{2}EF.\)
C) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO'KI là một hình chữ nhật?
(H.5.50)
a) ∆AOE là tam giác cân tại O (OA = OE) có OI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AE) nên OI cũng là đường cao, tức là \(\widehat {AIO} = 90^\circ \) hay OI ⊥ AI.
Tương tự, đối với tam giác AO'F, ta có \(\widehat {AKO'} = 90^\circ \) hay O'K ⊥ KF.
Do đó OI // O'K (cùng vuông góc với d).
Tứ giác OO'KI có OI // O'K và \(\widehat {OIK} = \widehat {O'KI} = 90^\circ \) nên OO'KI là hình thang vuông.
b) Theo đề bài, EI = IA và AK = KF nên ta có EA = 2IA và AF = 2AK.
Ta có: EF = EA + AF = 2IA + 2AK = 2(IA + AK) = 2IK. Do đó \(IK = \frac{1}{2}EF.\)
c) Khi d đi qua A thì tứ giác OO'KI luôn là hình thang vuông.
Nếu hình thang vuông đó là hình chữ nhật thì IK // OO', hay d // OO'.
Ngược lại, nếu d // OO' thì IK // OO' nên OO'KI là hình chữ nhật.
Vậy để tứ giác OO'KI là hình chữ nhật thì d // OO'.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O') có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O'). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O').
(H.5.51)
a) Gọi R, r lần lượt là bán kính của hai đường tròn (O) và (O').
Ta có OO' = R – r nên hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau.
b) Tam giác ODE cân tại O (OD = OE = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của ∆ODE, hay DH = HE.
Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại H là trung điểm mỗi đường nên ADCE là hình bình hành. Lại có AC ⊥ DE tại H, suy ra ADCE là hình thoi.
c) Tam giác KCB có đường trung tuyến KO' và KO' = CO' = BO' nên tam giác KCB là tam giác vuông tại K, suy ra \(\widehat {CKB} = 90^\circ \) hay KC ⊥ KB. (1)
Tương tự, ta có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) hay DA ⊥ DB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra KC // AD.
Lại có EC // AD (vì ADCE là hình thoi), do đó ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên KH = DH = EH.
Do đó tam giác KHE cân tại H, suy ra \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}.\)
Lại có, ∆O'CK cân tại O' nên \(\widehat {O'CK} = \widehat {O'KC}.\)
\(\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}\)
\(\widehat {O'KH} = \widehat {HKE} + \widehat {O'CK}.\)
Mặt khác \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (hai góc đối đỉnh).
Tam giác HEC vuông tại H nên \(\widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {HCE}\) \( = \widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'KH} = 90^\circ .\)
Do đó HK ⊥O'K.
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O').
