Giải VTH Toán 9 KNTT Bài tập cuối chương 4 có đáp án
15 câu hỏi
Chọn phương án đúng.
Trong Hình 4.35, cos α bằng
A. \(\frac{5}{3}.\)
B. \(\frac{3}{4}.\)
C. \(\frac{3}{5}.\)
D. \(\frac{4}{5}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\cos \alpha = \frac{3}{5}.\)
Vậy \(\cos \alpha = \frac{3}{5}.\)
Chọn phương án đúng.
Trong tam giác MNP vuông tại M (H.4.36), \(\sin \widehat {MNP}\) bằng
A. \(\frac{{PN}}{{NM}}.\)
B. \(\frac{{MP}}{{PN}}.\)
C. \(\frac{{MN}}{{PN}}.\)
D. \(\frac{{MN}}{{MP}}.\)
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác MNP vuông tại M, ta có: \(\sin \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{PN}}.\)
Vậy \(\sin \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{PN}}.\)
Chọn phương án đúng.
Trong tam giác ABC vuông tại A (H.4.37), tan B bằng
A. \(\frac{{AB}}{{AC}}.\)
B. \(\frac{{AC}}{{AB}}.\)
C. \(\frac{{AB}}{{BC}}.\)
D. \(\frac{{BC}}{{AC}}.\)
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
Vậy \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
Chọn phương án đúng.
Với mọi góc nhọn α, ta có
A. \(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
B. \(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
C. \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = 1 - \tan \alpha .\)
D. \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha .\)
Đáp án đúng là: A
Với mọi góc nhọn α, ta có \(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
Chọn phương án đúng.
Giá trị tan 30° bằng
A. \(\sqrt 3 .\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
C. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
D. 1.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
Vậy \(\tan 30^\circ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
Chọn phương án đúng.
Cho tam giác MNP như Hình 4.38, MH là đường cao, \(\widehat {MPN} = 60^\circ ,\)\(MN = 2\sqrt 3 .\) Khi đó
A. \(MP = \frac{1}{2}.\)
B. \[\widehat {MNP} = 45^\circ .\]
C. \(MP = \frac{1}{3}.\)
D. \(\widehat {MNP} = 30^\circ .\)
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác MNP vuông tại M, ta có \[\widehat {MNP} = 90^\circ - \widehat {MPN} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ ,\]
\(MP = MN.\tan \widehat {MNP} = 2\sqrt 3 .\tan 30^\circ = 2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 2.\)
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat B = 60^\circ ,\) BC = 20 cm.
a) Tính AB, AC.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác. Tính AH, HB, HC.
(H.4.39)
a) Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có
\(AB = BC.\cos B = 20.\cos 60^\circ = 20.\frac{1}{2} = 10\) (cm);
\(AC = BC.\sin B = 20.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \) (cm).
b) Trong tam giác AHC vuông tại H, ta có
\(AH = AB.\sin B = 10.\sin 60^\circ = 10.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \) (cm);
\(BH = AB.\cos 60^\circ = 10.\frac{1}{2} = 5\) (cm).
Do đó CH = BC – BH = 20 – 5 = 15 (cm).
Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin và côsin của góc nhọn lớn hơn.
Các tam giác đó viết theo thứ tự các đỉnh góc vuông, góc lớn, góc bé đều đồng dạng.
Giả sử có tam giác ABC vuông tại A và có \(\widehat B = 2\widehat C.\) Từ đó suy ra
\(90^\circ = \widehat B + \widehat C = 2\widehat C + \widehat C = 3\widehat C.\)
Suy ra \(\widehat C = 30^\circ ,\)\(\widehat B = 60^\circ .\)
Do đó \(\sin B = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\)\(\cos B = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.\)
Vậy góc lớn có sin, côsin lần lượt là \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) và \(\frac{1}{2}.\)
Hình 4.40 là mô hình của một túp lều. Tìm góc α giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút).
(H.4.41)
Kí hiệu các điểm như trên Hình 4.41.
Trong tam giác AHC vuông tại H, ta có
\[\tan \alpha = \tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{1,8}}{{\frac{{4,4}}{2}}} = \frac{{1,8}}{{2,2}} = \frac{9}{{11}}\] nên \(\alpha \approx 39^\circ 17'.\)
Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Ba điểm: gốc cây, điểm gãy, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc 20° và chắn ngang lối đi một đoạn 5 m (H.4.42). Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
(H.4.43)
Gọi A là gốc cây, B là điểm cây gãy, C là ngọn cây.
Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có
\[AB = AC.\tan C = 5.\tan 20^\circ ,\]
\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{5}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{5}{{\cos \widehat {ACB}}} = \frac{5}{{\cos 20^\circ }}.\)
Do đó chiều cao của cây trước khi đổ gãy là
\(AB + BC = 5.\tan 20^\circ + \frac{5}{{\cos 20^\circ }} = 5\left( {\tan 20^\circ + \frac{1}{{\cos 20^\circ }}} \right) \approx 7,1\) (m).
Vậy chiều cao của cây trước khi bị gãy là 7,1 m.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat B = \alpha \) (H.4.44).
a) Hãy viết các tỉ số lượng giác sin α, cos α.
b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
a) Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}},\)\[\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}.\]
b) Theo a), ta có
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}}.\)
Theo ĐL Pythagore, ta có AC2 + AB2 = BC2 nên
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1.\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6 cm, BC = 11 cm.
a) Giải tam giác vuông ABC.
b) Tính độ dài đường cao AH, đường phân giác AD.
(Kết quả về cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, kết quả về góc làm tròn đến độ).
(H.4.45)
a) Trong tam giác vuông ABC, ta có
AC2 = BC2 – AB2 = 112 – 62 = 85, suy ra \(AC = \sqrt {85} \approx 9,2\) cm.
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{9,2}}{{11}} \approx 0,83,\) suy ra \(\widehat B \approx 57^\circ .\)
Từ đó suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ .\)
b) Trong tam giác vuông ABH, ta có
\(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\) suy ra \(AH = AB.\sin B = 6.\sin 57^\circ \approx 5\) cm.
Vì AD là đường phân giác nên \(\widehat {BAD} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ .\)
Trong tam giác vuông ABH, ta có \(\widehat {BAH} = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ .\)
Do đó \(\widehat {HAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAH} = 45^\circ - 33^\circ = 12^\circ .\)
Trong tam giác ADH vuông tại H, ta có \(\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}},\)
suy ra \(AD = \frac{{AH}}{{\cos \widehat {HAD}}} = \frac{5}{{\cos 12^\circ }} \approx 5,1\) cm.
ĐỐ VUI. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:
1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một cái giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.
2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Erastosthenes thấy một tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.
Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.46, điểm O là tâm Trái Đất, điểm S tượng trưng cho thành phố Syene, điểm A tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm H là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).
Trên Hình 4.47 đường tròn (C) với tâm O là tâm Trái Đất, đi qua S (Syene), A (Alexandria), OS = OA = R (R là bán kính của đường tròn (C)).
Theo giả thiết, cung tròn (nhỏ) SA của (C) dài 800 km.
Gọi H là đỉnh tháp, chân tại A thì A nằm giữa O và H, AH = 25 m. Bóng của tháp là cung tròn AB của (C).
Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AOS}.\)
Vì AH = 25 m khá bé so với R, Erastosthene coi cung tròn AB của (C) là một đoạn thẳng AB = 3,1 m vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có
\(\tan \widehat {AHB} = \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{3,1}}{{25}} = 0,124.\)
Suy ra \(\tan \widehat {{\rm{AOS}}} = 0,124\) nên \(\widehat {AOS} \approx 7^\circ .\)
Vì độ dài cung tròn MN tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm \(\widehat {MON},\) mà độ dài cung AS bằng 800 km ứng với góc ở tâm \(\widehat {AOS} \approx 7^\circ \) nên toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc ở tâm 360° có độ dài xấp xỉ bằng
\(\frac{{360^\circ }}{{7^\circ }}.800 \approx 41142\) (km).
Vậy chu vi của Trái Đất xấp xỉ 41142 km.
Cho tam giác ABC vuông ở A, kẻ đường cao AH. Biết AH = 4, CH = 3 (H.4.48).
a) Giải tam giác ABC (Góc làm tròn đến độ, cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Giải tam giác ABH (Góc làm tròn đến độ, cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c) Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{\sin B + 3\cos B}}{{\cos B}}.\)
a) Trong tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagorem ta có
AC2 = AH2 + HC2 = 42 + 32 = 25 nên \(AC = \sqrt {25} = 5.\)
\(\tan C = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{4}{3},\) suy ra \(\widehat C \approx 53^\circ .\)
Tam giác ABC vuông ở A nên ta có
\(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ ,\)
\(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(AB = AC.\tan C = 5.\tan 53^\circ = \frac{{20}}{3} \approx 6,7.\)
Theo định lí Pythagore, ta có
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6,7^2} + {5^2} = 69,89\) nên \(BC = \sqrt {69,89} = 8,4\)
b) Tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có
\(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {6,7^2} - {4^2} = 28,89\) nên \(BH = \sqrt {28,89} = 5,4.\)
\(\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{5,4}}{{6,7}}\) nên \(\widehat {BAH} \approx 54^\circ .\)
c) Ta có
\(M = \frac{{\sin B + 3\cos B}}{{\cos B}} = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} + 3\)
\( = \tan B + 3 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{{15}}{4} = 3,75.\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = 45^\circ .\) Kẻ đường cao AH (H ∈ BC). Biết BH = 20, CH = 21 (H.4.49).
a) Tính AB, AC.
b) Tính góc C và góc A.
a) Trong tam giác AHB vuông tại H, ta có
\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}\) nên \(AB = \frac{{BH}}{{\cos \widehat {ABH}}} = \frac{{20}}{{\cos 45^\circ }} = \frac{{20}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 20\sqrt 2 ,\)
\(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}\) nên \(AH = BH.\tan \widehat {ABH} = 20.\tan 45^\circ = 20.\)
Trong tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2} = {20^2} + {21^2} = 841\) nên \(AC = \sqrt {841} = 29.\)
b) Trong tam giác AHC vuông tại H, ta có
\(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{20}}{{29}},\) do đó \(\widehat C \approx 44^\circ .\)
Trong tam giác ABC, ta có
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ ,\) do đó
\(\widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 45^\circ - 44^\circ = 91^\circ .\)
