a) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) nên \(\widehat {AOB} = 180^\circ - 2\widehat {OAB} = 180^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ .\)

Suy ra

b) Độ dài cung AmB là:

 $l_{\stackrel{⏜}{AmB}}=\frac{\pi \cdot 2\cdot 90}{180}=\pi \approx 3,14 ( \text{cm}).$

c) Diện tích hình quạt tròn OAmB là:

\({S_{OAmB}} = \frac{{\pi \cdot {2^2} \cdot 90}}{{360}} = \pi \approx 3,14\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\)

d) Do ∆OAB có \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) nên ∆OAB vuông tại O.

Diện tích tam giác OAB là:

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AmB và dây AB bằng:

S_OAmB – S_∆OAB = π – 2 ≈ 3,14 – 2 = 1,14 (cm²).

a) Xét ∆OAC cân tại O (do OA = OC), suy ra \[\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 30^\circ .\]

Lại có \[\widehat {OCA} + \widehat {OAC} + \widehat {AOC} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {AOC} = 180^\circ - \widehat {OCA} - \widehat {OAC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \]

Do đó \[\widehat {DOB} = \widehat {AOC} = 120^\circ \] (đối đỉnh).

Do AB = 3 cm, suy ra \[AO = OB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5\] (cm).

Cung BmD có số đo 120°, bán kính R = 1,5 cm có độ dài là:

$l_{\stackrel{⏜}{BmD}}=\frac{\pi \cdot 1,5\cdot 120}{180}=\pi \approx 3,14 ( \text{cm}).$

b) Diện tích hình quạt tròn OBmD bán kính R = 1,5 cm là:

\({S_{OBmD}} = \frac{{\pi \cdot 1,{5^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{3}{4}\pi \approx 2,36\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 45% là:

\(45\% \cdot \pi {R^2} = 45\% \cdot \pi \cdot {15^2} = \frac{{405\pi }}{4} \approx 318,09\,\,(\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 33 % là:

\(33\% \cdot \pi {R^2} = 33\% \cdot \pi \cdot {15^2} = \frac{{297\pi }}{4} \approx 233,26\,\,(\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 22 % là:

\[22\% \cdot \pi \cdot {R^2} = 22\% \cdot \pi \cdot {15^2} = \frac{{99\pi }}{2} \approx 155,51\,\,(\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\]

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 8 cm) và (O; 24 cm) là:

S = π(R² – r²) = π(24² – 8²) = 512π ≈ 1 608,50 (cm²).

Bán kính ngoài của ống thép là: \(\frac{{100}}{2} = 50{\rm{\;(mm)}}.\)

Bán kính trong của ống thép là: \(\frac{{80}}{2} = 40{\rm{\;(mm)}}.\)

Mặt cắt ngang của ống thép có hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 50 mm) và (O; 40 mm) nên có diện tích:

S = π(R² – r²) = π(50² – 40²) = 900π ≈ 2 827,43 (mm²) .

a) Bán kính của chiếc bàn hình tròn ban đầu là: \(\frac{{1,2}}{2} = 0,6{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mặt bàn ban đầu là:

\(S = \pi \cdot 0,{6^2} = \frac{{9\pi }}{{25}}\,(\;{{\rm{m}}^2}).\)

Theo bài, diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới nên diện tích phần mặt bàn hình chữ nhật bằng diện tích mặt bàn ban đầu, và bằng \(\frac{{9\pi }}{{25}}{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}{\rm{.}}\)

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là:

\(\frac{{9\pi }}{{25}}:1,2 = \frac{{3\pi }}{{10}} \approx 0,94{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

b) Chu vi mặt bàn ban đầu là:

\(C = 2 \cdot \pi \cdot 0,6 = \frac{{6\pi }}{5}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Theo bài, chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới và phần chu vi tăng lên chính là hai lần độ dài cạnh còn lại của phần mặt bàn hình chữ nhật và bằng \(\frac{{6\pi }}{5}{\rm{\;m}}.\)

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là:

\(\frac{{6\pi }}{5}:2 = \frac{{3\pi }}{5} \approx 1,89{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)