Giải SBT Toán 7 KNTT Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác có đáp án

Gọi độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c (cm), (a > b > c).

Cạnh lớn nhất là a = 4, b < 4, c < 4.

Chu vi tam giác là: a + b + c < 4 + 4 + 4 = 12.

Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: b + c > a

Hay a + b + c > a + a

Suy ra a + b + c > 2a = 8

Do đó 8 < a + b + c < 12

Vậy chu vi tam giác đó bé hơn 12 cm và lớn hơn 8 cm.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

BC − AB < AC < BC + AB

Hay 5 − 2 < b < 5 + 2

Do đó 3 < b < 7

Mà b là số nguyên nên b ∈ {4; 5; 6}.

a) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

BC − AB < AC < BC + AB

Hay 3 − 2 < b < 3 + 2

Do đó 1 < b < 5 (đpcm).

b)

+) Với 1 < b ≤ 2, ta có: AC ≤ AB < BC.

Xét tam giác ABC có AC ≤ AB < BC nên suy ra $\widehat{B}\le \widehat{C}<\widehat{A}$ .

+) Với 2 < b ≤ 3, ta có: AB ≤ AC < BC.

Xét tam giác ABC có AB ≤ AC < BC nên suy ra $\widehat{C}\le \widehat{B}<\widehat{A}$ .

+) Với 3 < b < 5, ta có: AB ≤ BC < AC.

Xét tam giác ABC có AB ≤ BC < AC nên suy ra $\widehat{C}\le \widehat{A}<\widehat{B}$ .

a)

Lấy N là giao điểm của đường thẳng AC và BP.

Ta có: AB + AC = AB + (AN + NC) = (AB + AN) + NC (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABN nên suy ra: AB + AN > BN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BN + NC = (BP + NP) + NC = PB + (NP + NC) (3)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác CPN nên suy ra:

NP + NC > PC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AB + AC > PB + PC (đpcm).

b)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MAB ta có:

MA + MB > AB (5)

Tương tự với các tam giác MBC và MAC ta lần lượt suy ra được:

MB + MC > BC và MA + MC > AC (6).

Từ (5) và (6) ta suy ra được:

(MA + MB) + (MB + MC) + (MA + MC) > AB + BC + AC

Hay 2(MA + MB + MC) > AB + BC + AC

Suy ra $\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)<MA+MB+MC(\ast )$

Mặt khác chứng minh tương tự theo a) ta có:

AB + AC > MB + MC; AC + BC > MA + MB; BC + BA > MC + MA.

Từ đó ta suy ra được:

(MA + MB) + (MB + MC) + (MA + MC) < (AC + AB) + (AB + AC) + (BC + BA)

Hay 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)

Suy ra MA + MB + MC < AB + BC + CA (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra:

$\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$ (đpcm).