10 Bài tập Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác HKQ có QH < QK < HK. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng?
QH – QK = HK < QH + QK;
QK < HK + QH;
HK – QH > QK < HK + QH;
HK – QH > QK.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆HKQ, ta có:
⦁QK – QH < HK < QK + QH;
⦁HK – QH < QK < HK + QH;
Vậy bất đẳng thức QK < HK + QH là đúng.
Chọn đáp án đúng. Trong một tam giác
Độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi;
Độ dài một cạnh luôn lớn hơn nửa chu vi;
Độ dài một cạnh luôn lớn hơn tổng hai cạnh còn lại;
Độ dài một cạnh luôn bằng chu vi.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là:A
Xét tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a < b + c.
Do đó a + a < b + c + a (chu vi của tam giác)
Suy ra 2a < a + b + c
Hay a < (a + b + c) : 2 (nửa chu vi của tam giác)
Tương tự với cạnh b và c.
Vậy phương án đúng là A
Cho tam giác DEF có DE < EF < DF. Bất đẳng thức nào dưới đây là sai?
DE + EF > DF;
EF – DE < DF
DF – DE < EF < DF + DE;
DF – EF > DE.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Bất đẳng thức ở phương án D sai do trong tam giác, độ dài cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại. Vì vậy DF – EF < DE.
Cho tam giác MNP có MP > MN > NP. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
MP – MN > NP;
MP – NP < MN < MP + NP;
MN – NP > MP > MN + NP;
Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Áp dụng bất đẳng thức cho ∆MNP ta có:
⦁MP – MN < NP. Do đó A sai.
⦁MP – NP < MN < MP + NP. Do đó B đúng.
⦁MN – NP < MP < MN + NN. Do đó C sai.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
AB + AC > 2AM;
AB + AC ≤ 2AM;
AB + AC = 2AM;
AB + AC < 2AM.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Trên tia đối của tia AM lấy N sao cho MN = MA.
Xét ∆MAB và ∆MNC có:
MA = MN (theo cách vẽ);
AMB^=NMC^ ( hai góc đối đỉnh)
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
Do đó ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)
Suy ra AB = NC (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆ACN có: AC + CN > AN (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) ta có AC + AB > AN
Mặt khác MN = MA, suy ra AN = 2AM
Do đó AC + AB > 2AM.
C có M là trung điểm của BC. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Cho tam giác ABC có đường cao AH (H ∈ BC). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
2AH + BC = AB + AC;
2AH + BC < AB + AC;
2AH + BC > AB + AC;
2AH + BC ≥ AB + AC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Xét ∆AHB có AH + HB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét ∆AHC có AH + HC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được AH + HB + AH + HC > AB + AC
Suy ra 2AH + HB + HC > AB + AC
Mà HB + HC = BC (do H ∈ BC)
Suy ra 2AH + BC > AB + AC.
Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia OC lấy điểm A (A khác O). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
AB = AC;
AB < AC;
AB > AC;
AB ≤ AC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ABO có AB < BO + OA (bất đẳng thức tam giác)
Mà ∆BOC cân tại O nên OB = OC
Suy ra AB < OC + OA
Lại có OC + OA = AC nên AB < AC.
Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A (A khác O). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
AB ≥ AC;
AB = AC;
AB < AC;
AB > AC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Xét ∆ABO có AB > OA – OB (bất đẳng thức tam giác)
Mà ∆BOC cân tại O nên OB = OC
Suy ra AB < OA – OC
Lại có OA – OC = AC nên AB > AC.
Cho hình vẽ dưới đây
Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
MA + MB > AC + BC;
MA + MB = AC + BC;
MA + MB < AC + BC;
MA + MB ≤ AC + BC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Xét ∆MNB có: MB < MN + NB (bất đẳng thức tam giác)
Do đó MA + MB < MA + MN + NB.
Mà MA + MN = NA nên ta có MA + MB < NA + NB (1)
Xét ∆NAC có: NA < AC + CN (bất đẳng thức tam giác)
Do đó NA + NB < AC + CN + NB.
Mà NB + NC = BC nên ta có NA + NB < AC + BC (2)
Từ (1) và (2) ta có MA + MB < NA + NB < AC + BC.
Do đó MA + MB < AC + BC.
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Trên đường phân giác AD lấy điểm E (E thuộc cạnh AD). Khẳng định nào sau đây là đúng?
EC – EB > AC – AB;
EC – EB < AC – AB;
EC – EB = AC – AB;
Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là:B
Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK.
Xét ∆BAE và ∆KAE có:
AB = AK;
BAE^=KAE^ (do AD là tia phân giác của BAC^
Cạnh AE chung
Do đó ∆BAE = ∆KAE (c.g.c).
Suy ra EB = EK (hai cạnh tương ứng).
Xét ∆CEK có: EC – EK < CK (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra EC – EB < CK (1)
Mặt khác CK = AC – AK = AC – AB (do AB = AK theo cách dựng) (2)
Từ (1) và (2) ta có EC – EB < AC – AB.
