Bài tập Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác có đáp án
15 câu hỏi
Một trạm biến áp và một khu dân cư ở hai bên bờ sông (H.9.14). Trên bờ sông phía khu dân cư, hãy tìm một địa điểm C để dựng một cột điện kéo điện từ cột điện A của trạm biến áp đến cột điện B của khu dân cư sao cho tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất.
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng để kéo điện từ cột điện A đến cột điện B thông qua cột điện C là AC + CB.
Ta xét các trường hợp:
• C thuộc đoạn thẳng AB hay C nằm giữa A và B thì AC + CB = AB.
• C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB thì AC + CB > AB.
• C không thuộc đường thẳng AB thì khi đó ta có DABC
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AC + BC > AB.
Khi đó với C bất kì thì AC + CB ≥ AB.
Do đó AC + CB nhỏ nhất khi AC + CB = AB.
AC + CB = AB khi C nằm giữa A và B.
Vậy C nằm giữa A và B thì tổng độ dài dây dẫn
Cho hai bộ ba thanh tre nhỏ có độ dài như sau:
Bộ thứ nhất: 10 cm, 20 cm, 25 cm;
Bộ thứ hai: 5 cm, 15 cm, 25 cm.
Em hãy ghép và cho biết bộ nào ghép được thành một tam giác.
Ta có 10 < 20 + 25; 20 < 10 + 25; 25 < 10 + 20.
Vậy độ dài của thanh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài của hai thanh còn lại.
Với bộ ba thanh tre ghép lại được thành một tam giác trong HĐ1, em hãy so sánh độ dài của thanh bất kì với tổng độ dài của hai thanh còn lại.
Ta có 20 + 25 = 45 > 10; 10 + 20 = 30 > 25; 10 + 25 = 35 > 20.
Ta thấy tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.
Vuông: “Ba đoạn thẳng có độ dài 1 cm, 2 cm, 4 cm ghép được thành một tam giác vì
2 < 4 + 1”.
Tròn: “Vuông sai rồi”.
Ý kiến của em thì sao?
Bạn Tròn nói đúng vì trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Tức là bất kỳ cạnh nào cũng vậy.
Ở đây ta thấy, 1 + 2 = 3 < 4 nên có một cạnh không thỏa mãn.
Do đó, ba đoạn thẳng đã cho không tạo thành tam giác.
Hỏi ba độ dài nào sau đây không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Hãy vẽ tam giác nhận ba độ dài còn lại làm độ dài ba cạnh.
a) 5 cm, 4 cm, 6 cm.
a) Ta có 6 < 5 + 4, ba độ dài 5 cm, 4 cm, 6 cm thỏa mãn điều kiện độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại nên đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Dùng thước và compa ta vẽ được hình như sau:
b) 3 cm, 6 cm, 10 cm.
b) Ta có 3 + 6 < 10, ba độ dài 3 cm, 6 cm, 10 cm không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Trở lại tình huống mở đầu, em hãy giải thích vì sao nếu dựng cột điện ở vị trí C trên đoạn thẳng AB thì tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất (H.9.17).
Tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng để kéo điện từ cột điện A đến cột điện B thông qua cột điện C là AC + CB.
Ta xét các trường hợp:
• C thuộc đoạn thẳng AB hay C nằm giữa A và B thì AC + CB = AB.
• C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB thì AC + CB > AB.
• C không thuộc đường thẳng AB thì khi đó ta có DABC
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AC + BC > AB.
Khi đó với C bất kì thì AC + CB ≥ AB.
Do đó AC + CB nhỏ nhất khi AC + CB = AB.
AC + CB = AB khi C nằm giữa A và B.
Vậy C nằm giữa A và B thì tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là nhỏ nhất.
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) 2 cm, 3 cm, 5 cm.
a) Ta có 2 + 3 = 5, bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2 cm, 3 cm, 5 cm không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.
b) 3 cm, 4 cm, 6 cm.
b) Ta có 6 < 3 + 4, bộ ba đoạn thẳng có độ dài 3 cm, 4 cm, 6 cm thỏa mãn độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại nên có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Sử dụng thước thẳng và compa, ta có hình như sau:
c) 2 cm, 4 cm, 5 cm.
c) Ta có 5 < 2 + 4, bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2 cm, 4 cm, 5 cm thỏa mãn độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại nên có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Sử dụng thước thẳng và compa, ta có hình như sau:
a) Cho tam giác ABC có AB = 1 cm và BC = 7 cm. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).
a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có:
BC - AB < CA < BC + AB
Do đó 7 – 1 < CA < 7 + 1
Hay 6 < CA < 8.
Mà độ dài CA là một số nguyên nên CA = 7 cm.
b) Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 6 cm và BC là cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).
b) Tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất nên độ dài cạnh BC luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại, tức là BC < AB + CA.
Do đó 6 < 2 + CA
Hay CA > 6 – 2 = 4
Mặt khác, trong tam giác ABC, BC là cạnh lớn nhất nên CA ≤ BC = 6.
Khi đó 4 < CA ≤ 6.
Mà độ dài cạnh CA là một số nguyên nên CA = 5 cm hoặc CA = 6 cm.
Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và cạnh BC (H.9.18).
a) So sánh MB với MN + NB, từ đó suy ra MA + MB < NA + NB.
Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AD < AB + BD (1)
Trong tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AD < AC + CD (2)
Từ (1) và (2) ta có:
AD + AD < AB + BD + AC + CD = AB + AC + (BD + CD)
Hay 2AD < AB + AC + BC
Suy ra AD < 12(AB + AC + BC).
Mặt khác chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC.
Do đó AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
b) So sánh NA với CA + CN, từ đó suy ra NA + NB < CA + CB.
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔNAC có:
NA < CA + CN (tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba)
Cộng cả hai vế với NB ta được:
NA + NB < CA + CN + NB.
NA + NB < CA + (CN + NB).
hay NA + NB < CA + CB.
c) Chứng minh MA + MB < CA + CB.
c) Do MA + MB < NA + NB và NA + NB < CA + CB nên
MA + MB < NA + NB < CA + CB.
Do đó MA + MB < CA + CB.
