a) Gọi A là biến cố “Tấm thẻ được chọn có màu đỏ”, B là biến cố “Tấm thẻ được chọn ghi số chẵn”. Ta cần tính P(A | B).

Cách 1:

Do từ 1 đến 15 có 7 số chẵn nên có 7 tấm thẻ được ghi số chẵn.

Trong 7 tấm thẻ được ghi số chẵn, có 5 thẻ có số không lớn hơn 10 nên được sơn màu đỏ. Do đó, trong tổng số 7 tấm thẻ được ghi số chẵn có 5 tấm thẻ màu đỏ.

Vậy xác suất để thẻ được chọn có màu đỏ, biết rằng nó được ghi số chẵn là

P(A | B) = \(\frac{5}{7}\)≈ 0,71.

Cách 2:

Do có 7 tấm thẻ được ghi số chẵn trong tổng số 15 tấm thẻ nên P(B) = \(\frac{7}{{15}}\).

Do có 5 tấm thẻ có màu đỏ được ghi số chẵn trong tổng số 15 thẻ nên P(AB) = \(\frac{5}{{15}}.\)

Vậy P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{5}{{15}}:\frac{7}{{15}} = \frac{5}{7}\) ≈ 0,71.

b) Hộp chứa 5 tấm thẻ màu xanh, trong đó có 2 tấm thẻ ghi số chẵn.

Vậy P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{2}{5}\) = 0,4.

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn là nữ”, B là biến cố “Học sinh được chọn bị cận thị”. Ta cần tính P(B | A).

Do có 40% học sinh là nam nên P(A) = 1 – 0,4 = 0,6.

Do có 20% học sinh nữ bị cận thị trong tổng số học sinh của lớp nên P(AB) = 0,2.

Vậy P(B | A) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\) ≈ 0,33.

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

P(AB) = P(B)P(A | B) = 0,3.0,6 = 0,18.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(B | A) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,18}}{{0,7}}\) ≈ 0,26.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Do đó, P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = 0,4 + 0,8 – 0,9 = 0,3.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,8}}\) = 0,375.

Vì \(A\overline B \) và AB là hai biến cố xung khắc và \(A\overline B \)∪ AB = A nên theo tính chất của xác suất, ta có P(\(A\overline B \)) = P(A) – P(AB) = 0,4 – 0,3 = 0,1.

Ta có: P(\(\overline B \)) = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: P(A | \(\overline B \)) = \(\frac{{P\left( {\overline A |B} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,1}}{{0,2}} = 0,5.\)

Ta có: P(\(\overline A \) | B) = 1 – P(A | B) = 1 – 0,375 = 0,625.

           P(\(\overline A \) | \(\overline B \)) = 1 – P(A | \(\overline B \)) = 1 – 0,5 = 0,5.

Vì \(\overline A B\) và AB là hai biến cố xung khắc và \(\overline A B\) ∪ AB = B nên theo tính chất của xác suất, ta có P(B) = P(\(\overline A B\)) + P(AB) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Ta có: P(\(\overline B \)) = 1 – P(B) = 1 – 0,5 = 0,5.

Theo công thức tinh xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,5}} = 0,6\); P(A | \(\overline B \)) = \(\frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\).

Ta có: P(\(\overline A \) | B) = 1 – P(A | B) = 1 – 0,6 = 0,4.

           P(\(\overline A \) | \(\overline B \)) = 1 – P(A | \(\overline B \)) = 1 – 0,8 = 0,2.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên theo tính chất của xác suất, ta có:

P(AB) = P(A)P(B) = 0,4.0,8 = 0,32.

Do đó, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,4 + 0,8 – 0,32 = 0,88.

Vì 0 ≤ P(A∪ B) ≤ 1 nên ta có:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 1,6 – P(A ∪ B) ≥ 0,6.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} \ge \frac{{0,6}}{{0,8}} = 0,75.\)

Vậy P(A | B) ≥ 0,75.