Vì \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A\mid B) = {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{3}{7}\) và \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(B\mid A) = {\rm{P}}(B\mid \bar A) = \frac{4}{7}\) nên \(A\), \(B\) là hai biến cố độc lập.

Gọi:

- A là biến cố "Chọn được học sinh thích kem";

- \(B\) là biến cố "Chọn được học sinh thích trà sữa".

Khi đó xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Vì có \(68\% \) số học sinh thích trà sữa trong nhóm khảo sát nên \(P(B) = 68\%  = 0,68\).

Ta có AB là biến cố "Chọn được học sinh thích cả trà sửa và kem".

Vì có \(24\% \) số học sinh thích cả trà sữa và kem nên \(P(AB) = 24\%  = 0,24\).

Vì thế ta có: \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,24}}{{0,68}} \approx 0,35\).

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa là 0,35 .

Gọi:

- A là biến cố "Người được chọn mua sản phẩm X";

- \(B\) là biến cố "Người được chọn là nữ giới".

Khi đó xác suất để chọn được người mua sản phẩm \(X\), biết rằng người này là nữ giới chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Vì có 80 người mua sản phẩm \(X\) là nữ giới nên \(P(AB) = \frac{{80}}{{200}} = 0,4\).

Vì có 140 người là nữ giới trong số lượng thống kê nên \(P(B) = \frac{{140}}{{200}} = 0,7\).

Ta có xác suất cần tìm là: \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,4}}{{0,7}} \approx 0,57\).

Vậy xác suất để người được chọn có mua sản phẩm \(X\), biết rằng người này là nữ giới là 0,57 .

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 577006 người lái xe xảy ra tai nạn giao thông \( \Rightarrow n(\Omega ) = 577006\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông";

\(B\) là biến cố: "Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông".

Khi đó AB là biến cố: "Người lái xe đó tử vong và không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông".

Ta cần tính \(P(A\mid B)\).

Ta có \(162527 + 1601 = 164128\) người không thắt dây an toàn \( \Rightarrow n(B) = 164128\).

Vậy \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{164128}}{{577006}}\).

Trong số những người không thắt dây an toàn, có 1601 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông \( \Rightarrow n(AB) = 1601\). Vậy \(P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{1601}}{{577006}}\).

Do đó \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{1601}}{{164128}} \approx 9,755 \cdot {10^{ - 3}} = 0,009755\).

Ta cần tính \(P(A\mid \bar B)\).

\(\bar B\) là biến cố: "Người lái xe đó có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông".

\(A\bar B\) là biến cố: "Người lái xe đó tử vong và có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông".

Ta có \(412368 + 510 = 412878\) người lái xe có thắt dây an toàn \( \Rightarrow n(\bar B) = 412878\).

Trong số những người có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông \( \Rightarrow n(A\bar B) = 510\).

Tương tự như trên, ta có: \(P(A\mid \bar B) = \frac{{P(A\bar B)}}{{P(\bar B)}} = \frac{{n(A\bar B)}}{{n(\bar B)}} = \frac{{510}}{{412878.}} \approx 1,235 \cdot {10^{ - 3}} = 0,001235.\)

Ta có: \(\frac{{P(A\mid B)}}{{P(A\mid \bar B)}} \approx \frac{{9,755 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{1,235 \cdot {{10}^{ - 3}}}} \approx 7,9 \Rightarrow P(A\mid B) \approx 7,9 \cdot P(A\mid \bar B).\)

Như vậy, xác suất để một người lái xe không thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông cao gá́p khoảng 7,9 lần xác suất để một người lái xe thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông. Tức là, không thắt dây an toàn làm tăng nguy cơ bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông của người lái xe lên gấp khoảng 7,9 lần.

Gọi E là biến cố: “Người được chọn dùng thuốc \(X\) ”;

F là biến cố: “Người được chọn khỏi bệnh".

Theo bài ra ta có: \(P(E) = \frac{{1600 + 800}}{{4000}} = \frac{{2400}}{{4000}};P(F) = \frac{{1600 + 1200}}{{4000}} = \frac{{2800}}{{4000}}\)

\(P(EF) = \frac{{1600}}{{4000}};P(\bar EF) = \frac{{1200}}{{4000}}\)

Xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người bệnh đó uống thuốc \(X\) chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{F}}\mid {\rm{E}})\).

Ta có: \(P(F\mid E) = \frac{{P(EF)}}{{P(E)}} = \frac{{1600}}{{2400}} = \frac{2}{3}\)

Gọi E là biến cố: “Người được chọn dùng thuốc \(X\) ”;

F là biến cố: “Người được chọn khỏi bệnh".

Theo bài ra ta có: \(P(E) = \frac{{1600 + 800}}{{4000}} = \frac{{2400}}{{4000}};P(F) = \frac{{1600 + 1200}}{{4000}} = \frac{{2800}}{{4000}}\)

\(P(EF) = \frac{{1600}}{{4000}};P(\bar EF) = \frac{{1200}}{{4000}}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp 4000 bệnh nhân.

Gọi A là biến cố: "Bệnh nhân đó uống thuốc M " và B là biến cố: "Bệnh nhân đó khỏi bệnh".

Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).

Ta có B là tập hợp con của không gian mẫu gồm các bệnh nhân khỏi bệnh.

Ta có \({\rm{n}}({\rm{B}}) = 1600 + 1200 = 2800\) và \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\).

AB là biến cố: "Bệnh nhân đó uống thuốc M và khỏi bệnh". AB là tập hợp con của không gian mẫu gồm các bệnh nhân uống thuốc \(M\) và khỏi bệnh.

Ta có \(n(AB) = 1600\) và \(P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}}\).

Do đó \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{n(AB)}}{{n(B)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\).

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp 4000 bệnh nhân.

Gọi A là biến cố: “Người đó rút được thẻ số 10 ”;

B là biến cố: "Người đó rút được thẻ mang số chẵn".

Ta có \(AB = \{ 10\} ;B = \{ 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\} \).

Do đó, \(P(AB) = \frac{1}{{20}};P(B) = \frac{{10}}{{20}}\).

Vậy \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{1}{{10}}\)

Xét các biến cố:

A: "Chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ nhất";

\(B\) : "Chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai";

C: "Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu".

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai, biết rằng đã qua được lần kiểm tra thứ nhất, là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(B\mid A)\) và \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A)\).

Ta có: \({\rm{P}}(B\mid A) = 0,95;{\rm{P}}(A) = 0,98\).

Suy ra \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) = 0,98 \cdot 0,95 = 0,931\).

Vậy xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là 0,931 .

Xét các biến cố:

A: "Lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp";

\(B\) : "Lần thứ hai lấy ra sản phẩm chất lượng thấp";

\(C\) : "Cả hai lần đều lấy ra sản phẩm chất lượng thấp".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy ra sản phầm chất lượng thấp, biết lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp, là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(B\mid A)\) và \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A)\).

Ta có: \({\rm{P}}(A) = \frac{8}{{25}};{\rm{P}}(B\mid A) = \frac{7}{{24}}\). Suy ra \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) = \frac{8}{{25}} \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{75}}\).

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\frac{7}{{75}}\).

Xét các biến cố:

A: "Cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi";

\(B\) : "Cán bộ được chọn ra là nữ".

Khi đó, xác suất để cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi, biết rằng cán bộ đó là nữ, là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(A\mid B)\).

Ta có: \(n(B) = 76;n(A \cap B) = 29\). Suy ra \({\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{29}}{{76}} \approx 0,38\).

Vậy xác suất để cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi, biết rằng cán bộ đó là nữ, là khoảng 0,38 .

Xét các biến cố:

A: "Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng";

\(B\) : "Lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng";

C: "Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng, lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng, biết lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(B\mid A)\) và \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(A \cap B)\).

Ta có: \({\rm{P}}(A) = \frac{5}{8}\). Vì sau khi lấy một quả bóng màu vàng ở lần thứ nhất thì trong lần thứ hai chỉ còn 4 quả bóng màu vàng và 3 quả bóng màu trắng.

Do đó, \({\rm{P}}(B\mid A) = \frac{3}{7}\). Suy ra \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(A \cap B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{{15}}{{56}}\).

Vậy xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng, lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng là \(\frac{{15}}{{56}}\).

Xét các biến cố:

A: "Chai được chọn ở lần thứ nhất có ghi giải thưởng";

B: "Chai được chọn ở lần thứ hai có ghi giải thưởng";

C: "Cả hai chai được chọn đều ghi giải thưởng".

Khi đó, xác suất để chai được chọn ở lần thứ hai có ghi giải thưởng, biết chai được chọn ở lần thứ nhất có ghi giải thưởng, là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(B\mid A)\) và \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(A \cap B)\).

Ta có: \({\rm{P}}(A) = \frac{2}{{24}} = \frac{1}{{12}}\). Vì sau khi lấy một chai có ghi giải thưởng thì trong lần thứ hai chỉ còn 1 chai có ghi giải thưởng và tổng số chai là 23 . Do đó, \({\rm{P}}(B\mid A) = \frac{1}{{23}}\). Suy ra \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(A \cap B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) = \frac{1}{{12}} \cdot \frac{1}{{23}} = \frac{1}{{276}}\).

Vậy xác suất để cả hai chai đều ghi giải thưởng là \(\frac{1}{{276}}\).

Xét các biến cố:

M: "Sản phẩm được chọn đạt loại A ";

\(N\) : "Sản phẩm được chọn của chi nhánh I ".

Khi đó, sản phẩm được chọn đạt loại A , biết rằng sản phẩm được chọn của cl nhánh I , là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(M\mid N)\).

Ta có: \({\rm{P}}(N\mid M) = 0,65;{\rm{P}}(M) = 0,75;{\rm{P}}(N) = 0,54\).

Khi đó, \({\rm{P}}(M \cap N) = {\rm{P}}(N \cap M) = {\rm{P}}(M).{\rm{P}}(N\mid M) = 0,75 \cdot 0,65 = 0,4875\).

Suy ra \({\rm{P}}(M\mid N) = \frac{{{\rm{P}}(M \cap N)}}{{{\rm{P}}(N)}} = \frac{{0,4875}}{{0,54}} \approx 0,9\).

Vậy xác suất sản phẩm được chọn đạt loại A , biết rằng sản phẩm được chọn của chi nhánh I , là khoảng 0,9 .

Cách 1:

Theo bài ra ta có: \(n(\Omega ) = 7 \cdot 7 = 49;n(A) = 3 \cdot 7 = 21;n(B) = 7 \cdot 4 = 28\).

Do đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{21}}{{49}} = \frac{3}{7};{\rm{P}}({\rm{B}}) = \frac{{28}}{{49}} = \frac{4}{7}\). Suy ra \(P(\bar A) = \frac{4}{7};P(\bar B) = \frac{3}{7}\).

Ta có biến cố \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) : "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và quả bóng màu đỏ được lắy ra ở lần thứ hai". Suy ra \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = \frac{{3 \cdot 4}}{{49}} = \frac{{12}}{{49}}\).

Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{3}{7}\).

Ta có biến cố \({\rm{A}} \cap \bar B\) : "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở cả hai lần".

Suy ra \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap \bar B) = \frac{{3 \cdot 3}}{{49}} = \frac{9}{{49}}\).

Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = \frac{{P(A \cap \bar B)}}{{P(\bar B)}} = \frac{{\frac{9}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{3}{7}\).

Vậy ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = \frac{3}{7}\).

Tương tự, ta tính được: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{4}{7};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = \frac{{P(B \cap \bar A)}}{{P(\bar A)}} = \frac{{\frac{{44}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{4}{7}.\)

Vậy ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = \frac{4}{7}\).

Từ (1) và (2) suy ra A, B là hai biến cố độc lập.

Cách 2:

Nếu A xảy ra, tức là quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất. Vi quả bóng lấy ra được bỏ lại vào hộp nên trong hộp có 3 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ.

Vậy \(P(B) = \frac{4}{7}\).

Nếu A không xảy ra, tức là quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ nhất. Vi quả bóng lấy ra được bỏ lại vào hộp nên trong hộp vẫn có 3 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ.

Vậy \(P(B) = \frac{4}{7}\).

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố \(A\).

Vi lần thứ nhất lấy và lần thứ hai lấy sau lần thứ nhất nên \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{3}{7}\) dù biến cố B có xảy ra hay không xảy ra.

Vậy A và B là hai biến cố độc lập.

Xét hai biến cố:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6";

B: "Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm".

Khi đó, xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6 , biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm, chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{A}}\) | B).

Vi gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó nên \(n(\Omega ) = 6 \cdot 6 = 36\).

Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm thì có 1 cách chọn, xúc xắc thứ hai có 6 cách chọn mặt xuất hiện. Do đó, \(P(B) = \frac{{1 \cdot 6}}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Biến cố \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6 và xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm". Khi đó, để có tổng số chấm bẳng 6 thì xúc xắc thứ hai phải xuất hiện mặt 2 chấm. Do đó, \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = \frac{1}{{36}}\).

Khi đó, ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{{36}}}}{{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{6}\).

Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6 , biết rằng xúc xă̆c thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm, là \(\frac{1}{6}\)

Gọi A là biến cố: "chiếc áo sơ mi trong lô hàng S được chọn qua được lần kiểm tra thứ nhất", B là biến cố: "chiếc áo sơ mi trong lô hàng S được chọn qua được lần kiểm tra thứ hai", C là biến cố: "chiếc áo sơ mi được chọn đủ tiêu chuẩn xuất khẩu".

Theo bài ra ta có: \(P(A) = 98\% = 0,98;P(B\mid A) = 95\% = 0,95\).

Một chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu khi cả hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm đều đạt. Xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là:

\(P(C) = P(A) \cdot P(B\mid A) = 0,98 \cdot 0,95 = 0,931.{\rm{ }}\)

Xét hai biến cố:

A: "Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp";

B: "Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp".

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\).

Nếu A xảy ra tức là sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp. Khi đó, trong lô sản phẩm còn lại 19 sản phẩm với 4 sản phẩm chất lượng thấp. Vậy \(P(B\mid A) = \frac{4}{{19}}\).

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\frac{4}{{19}}\)

a) Xét hai biến cố:

A: “Nhà được chọn có ô tô”;

B: "Nhà được chọn gắn biển số chẵn".

Khi đó, xác suất nhà được chọn có ô tô, biết rằng nhà đó gắn biển số chẵn, chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).

Theo bài ra, ta có: \(P(B) = \frac{{60}}{{100}} = 0,6;P(A \cap B) = \frac{{50}}{{100}} = 0,5\).

Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{0,5}}{{0,6}} = \frac{5}{6}\)