ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
13 câu hỏi
\[\sqrt 2 .\]
\[\sqrt 3 .\]
2
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Do\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA \bot AB}\\{SA \bot BC}\end{array}} \right.\) nên\[SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC\]
Như vậy \[SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt 3 \]
Đáp án cần chọn là: B
\[a\sqrt {\frac{7}{5}} .\]
\[a\sqrt {\frac{4}{7}} .\]
\[a\sqrt {\frac{6}{{11}}} .\]
\[a\sqrt {\frac{2}{3}} .\]
Dựng hình chiếu H của C trên AM
Do \[\Delta BCD\] đều cạnh aa nên đường cao \[MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
\[d\left( {C,AM} \right) = CH = \frac{{AC.MC}}{{\sqrt {A{C^2} + M{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\]
Đáp án cần chọn là: C
2a.
\[a\sqrt 3 .\]
a.
\[a\sqrt 5 .\]
Gọi O là chân đường cao của hình chóp nên O là tâm tam giác đáy.
Do đó O là trọng tâm tam giác ABC hay\[O \in AH\]
Ta có \[AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
\[{\rm{d}}\left( {S,AH} \right) = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a\]Đáp án cần chọn là: C
\[\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]
\[\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\]
\[\frac{{4a\sqrt 5 }}{3}\]
\[\frac{{a\sqrt {11} }}{2}\]
Gọi M là trung điểm của BD.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD}\\{CM \bot BD}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot AM\) (Định lý 3 đường vuông góc)
\[ \Rightarrow d\left( {A;BD} \right) = AM\]
\[CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (vì tam giác BCD đều).
Ta có: \[AM = \sqrt {A{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
\[\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]
\[\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\]
\[\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]
\[\frac{{5a\sqrt 6 }}{2}\]
Kẻ \[AH \bot SC\] khi đó \[d\left( {A,SC} \right) = AH\]
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và\[\hat B = {60^ \circ } \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\] đều nên\[AC = a\]
Trong tam giác vuông SAC ta có:
\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\]
\[ \Rightarrow AH = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
\[a\sqrt 2 \]
\[\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
\[\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB′.
Dễ thấy \[AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow {\rm{\Delta }}ADB'\] vuông đỉnh A.
Lại có\[AD = a;AB' = a\sqrt 2 \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^{\prime 2}}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]
Đáp án cần chọn là: D
\[\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]
\[2a\sqrt 5 \]
\[a\sqrt 2 \]
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Ta có:\[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot MA\] hay A là hình chiếu của M trên SASA.
Khi đó\[d\left( {M,SA} \right) = MA = \sqrt {A{D^2} + D{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\]
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\]
Kẻ\[OH \bot SC\] khi đó\[d\left( {O,SC} \right) = OH\] Ta có:\[{\rm{\Delta }}SAC \sim {\rm{\Delta }}OHC(g - g)\] nên\[\frac{{OH}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA\]
Mà: \[OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 6 \]
Vậy\[OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Đáp án cần chọn là: A
\[a\sqrt 2 \cot \alpha \]
\[a\sqrt 2 \tan \alpha \]
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}{\rm{cos}}\alpha \]
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha \]
\[SO \bot (ABCD),\;\]O là tâm của hình vuông ABCD.
Kẻ \[OH \bot SD\], khi đó\[d\left( {O;SD} \right) = OH,\alpha = \widehat {SDO}\]
\[OD = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow OH = OD\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 2 \sin \alpha }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 13 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
2a
\[\sqrt 3 a\]
0
\(\sqrt 2 a\)
Bước 1:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
S.ABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu của S lên (ABCD).
\[d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\]
Bước 2:
ABCD là hình vuông nên
\[\begin{array}{*{20}{l}}{AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a = > AO = a}\\{ = > S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = 2{a^2} - {a^2} = {a^2}}\\{ = > SO = a}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
\[\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]
\[\frac{{7a\sqrt 5 }}{5}\]
\[\frac{{8a\sqrt 3 }}{3}\]
\[\frac{{5a\sqrt 6 }}{6}\]
+ Dựng\[AH \bot BC \Rightarrow d\left( {A,BC} \right) = AH\]
+ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AS \bot (SBC) \supset BC \Rightarrow AS \bot BC}\\{AH \bot BC}\end{array}} \right.\),AHcắt AS cùng nằm trong (SAH).
\[ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \supset SH \Rightarrow BC \bot SH\]
Xét trong \[{\rm{\Delta }}SBC\] vuông tại S có SH là đường cao ta có:
\[\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow S{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5} \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]
+ Ta dễ chứng minh được\[AS \bot \left( {SBC} \right) \supset SH \Rightarrow AS \bot SH \Rightarrow {\rm{\Delta }}ASH\] vuông tại S.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \[{\rm{\Delta }}ASH\] vuông tại S ta có:
\[A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5} = \frac{{49{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{7a\sqrt 5 }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: B
\[a\sqrt 2 \]
\[2a\]
\[2a\sqrt 3 \]
\[a\sqrt 3 \]
Vì SA,AB,BC vuông góc với nhau từng đôi một nên\[CB \bot SB\]
Kẻ \[BH \bot SC\], khi đó\[d\left( {B;SC} \right) = BH\]
Ta có:\[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} + 3{a^2}} = 2\sqrt 3 a\]
Trong tam giác vuông SBC ta có:
\[\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }} = 2a\]
Đáp án cần chọn là: B
A′,B,C′.
B,C,D.
B′,C′,D′.
A,A′,D′.
Dễ thấy các tam giác \[ABC',C'CA,ADC'\] là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền cũng bằng nhau.
Vậy:\[d\left( {B,AC'} \right) = d\left( {C,AC'} \right) = d\left( {D,AC'} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
Học liệu phổ biến ĐHQG Hà Nội
ĐHQG Hà Nội
Thêm cảm hứng cho môn học
Biến kiến thức quen thuộc thành hoạt động học tập thú vị.
