ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
17 câu hỏi
Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng(P), trong đó \[a \bot (P)\] Mệnh đề nào sau đây là sai?
Nếu \[b \bot (P)\;\] thì \[b//a\].
Nếu \[b//(P)\;\] thì \[b \bot a\].
Nếu \[b//a\;\] thì \[b \bot (P)\]
Nếu \[b \bot a\;\] thì \[b//(P)\]
Các đáp án A, B, C đúng.
Đáp án D sai vì có thể xảy ra trường hợp b nằm trong (P).
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian cho đường thẳng \[\Delta \] và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với \[\Delta \] cho trước?
1.
2.
3.
Vô số
Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\], các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\].
Đáp án cần chọn là: D
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây sai ?
\[CH \bot AK.\]
\[CH \bot SB.\]
\[CH \bot SA.\]
\[AK \bot SB.\]
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân suy ra\[CH \bot AB.\]
Ta có\[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\] mà \[CH \bot AB\] suy ra\[CH \bot \left( {SAB} \right).\]Mặt khác\[AK \subset \left( {SAB} \right)\] ⇒CH vuông góc với các đường thẳng SA,SB,AK.
Và \[AK \bot SB\] chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
Đường thẳng qua A và vuông góc với AB.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian cho đường thẳng \[\Delta \] không nằm trong mp (P), đường thẳng \[\Delta \] được gọi là vuông góc với mp (P) nếu:
vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp (P).
vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mp (P)
vuông góc với đường thẳng a nằm trong mp (P).
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp (P).
Đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu \[{\rm{\Delta }}\] vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng (P).(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Đáp án cần chọn là: D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA=SC, SB=SD. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\[AB \bot \left( {SAC} \right).\]
\[CD \bot AC.\]
\[SO \bot \left( {ABCD} \right).\]
\[CD \bot \left( {SBD} \right).\]
Vì \[SA = SC\,\,\, \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAC\] cân tại S mà O là trung điểm \[AC\,\, \Rightarrow \,\,SO \bot AC.\]Tương tự, ta cũng có\[SO \bot BD\] mà \[AC \cap BD = O \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho tứ diện ABCD có AB,BC,CD đôi một vuông góc với nhau và AB=a, BC=b,CD=c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng
\[\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\]
\[\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} .\]
\[\sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} .\]
\[\sqrt { - \,{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\]
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot BC}\\{AB \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (BCD) \Rightarrow \) tam giác ABD vuông tại B.B.
Lại có\[BC \bot CD\] nên tam giác BCD vuông tại C.
Khi đó
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}}\\{B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}}\end{array}} \right. \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2}\)
\[ \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}.} \]
Đáp án cần chọn là: A
Cho tứ diện ABCD có AB,BC,CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây cách đều bốn đỉnh A,B,C,D của tứ diện ABCD ?
Trung điểm của cạnh BD.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trung điểm của cạnh AD.
Trọng tâm của tam giác ACD.
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot BC}\\{AB \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (BCD) \Rightarrow \) tam giác ABD vuông tại B.
Suy ra \[IA = IB = ID = \frac{{AD}}{2},\] với I là trung điểm của AD. (1)
Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot CD}\\{BC \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (ABC) \Rightarrow \) tam giác ACD vuông tại C.
Suy ra \[EA = EC = ED = \frac{{AD}}{2},\] với E là trung điểm của AD. (2)
Từ (1),(2) suy ra \[I \equiv E \equiv O\] nên trung điểm của cạnh AD cách đều A,B,C,D.
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ \[SH \bot (ABC),\;H \in (ABC).\] Khẳng định nào sau đây đúng?
H trùng với trọng tâm tam giác ABC.
H trùng với trực tâm tam giác ABC.
H trùng với trung điểm của AC.
H trùng với trung điểm của BC.
Do \[SA = SB = SC\] nên\[HA = HB = HC\] Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp\[{\rm{\Delta }}ABC\]
Mà \[{\rm{\Delta }}ABC\] vuông tại B nên H là trung điểm của AC.
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA=SB=SC. Tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
\[\left( {SBH} \right) \cap {\rm{\;}}\left( {SCH} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}SH\]
\[\left( {SAH} \right) \cap {\rm{\;}}\left( {SBH} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}SH\]
\[AB \bot SH\]
\[\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right) = SH\]
Do\[SH \bot \left( {ABC} \right)\] nên\[SH \bot HA,SH \bot HB,SH \bot HC\]
Xét các tam giác vuông SHA, SHB, SHC có:
SA=SB=SC
SH chung
Do đó \[{\rm{\Delta }}SAH = {\rm{\Delta }}SBH = {\rm{\Delta }}SCH\]
Suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC hay H là trung điểm của BC.
Do đó\[\left( {SBH} \right) \equiv \left( {SCH} \right)\] nên A sai.
Lại có\[\left( {SAH} \right) \cap {\rm{\;}}\left( {SBH} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}SH\] và\[\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right) = SH\] nên B và D đều đúng.
Vì \[SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB\] nên C đúng.
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA=SB=SC=SD. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
\[HA = HB = HC = HD\]
Tứ giác ABCD là hình bình hành
Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn
Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.
Vì hình chóp\[S.ABCD\] có\[SA = SB = SC = SD\] và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácABCD
Suy ra \[HA = HB = HC = HD\].
Nên đáp án B sai vì hình bình hành không nội tiếp được đường tròn.
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình chóp S.ABC có \[SA \bot (ABC)\;\] và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các tam giácABC và SBC. Các đường thẳng AH,SK,BC thỏa mãn:
Đồng quy.
Đôi một song song
Đôi một chéo nhau
Đáp án khác
Gọi AA′ là đường cao của tam giác \[ABC \Rightarrow AA' \bot BC\] mà\[BC \bot SA\] nên \[BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK\] (vì K là trực tâm của tam giác)
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S trên (ABC) là
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trọng tâm tam giác ABC.
Giao điểm hai đường thẳng AC và BD.
Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của S lên các cạnh AB,BC,AC
\[ \Rightarrow \widehat {SMH} = \widehat {SNH} = \widehat {SPH} \Rightarrow {\rm{\Delta }}SMH = {\rm{\Delta }}SNH = {\rm{\Delta }}SPH.\]
\[ \Rightarrow HM = HN = HP \Rightarrow H\] là tâm dường tròn nội tiếp của \[\Delta ABC.\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó
Tất cả các cạnh của hình chóp đều thì bằng nhau.
Đáy của hình chóp đều là các đa giác đều.
Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân
Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Đường thẳng AC′ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
(A′BD).
(A′DC′).
(A′CD′).
(A′B′CD).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\prime D \bot AD\prime (t/c{\rm{ }}h\`i nh{\rm{ }}vu\^o ng)}\\{A\prime D \bot C\prime D\prime (C\prime D\prime \bot (A\prime D\prime DA))}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow A\prime D \bot (AC\prime D\prime ) \Rightarrow A\prime D \bot AC\prime (1)\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\prime B \bot AB\prime (t/c{\rm{ }}h\`i nh{\rm{ }}vu\^o ng)}\\{A\prime B \bot B\prime C\prime (B\prime C\prime \bot (A\prime D\prime DA))}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow A\prime B \bot (AB\prime C\prime ) \Rightarrow A\prime B \bot AC\prime (2)\end{array}\)
Từ\[\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \[SA \bot (ABCD).\] Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD theo thứ tự tại H,M,K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
\[AK \bot HK\]
\[HK \bot AM\]
\[BD \bot AM\]
\[AH \bot SB\]
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC(t/cHV)}\\{BD \bot SA(gt)}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot AM\)
Gọi \[O = AC \cap BD,I = SO \cap HK\]
(P) là mặt phẳng A và vuông góc với SC
Qua I kẻ\[{\rm{\Delta }}\parallel BD \Rightarrow {\rm{\Delta }} \bot AM \Rightarrow {\rm{\Delta }} \subset \left( P \right)\]
Khi đó:\[K = {\rm{\Delta }} \cap SD,H = {\rm{\Delta }} \cap SB\]
Ta có:\[AK \bot \left( {SDC} \right)\] mà \[HK \cap \left( {SDC} \right) = K \Rightarrow AK\] không vuông góc với HK.
Đáp án cần chọn là A
Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, \[SA \bot (ABCD)\] Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông
\[{\rm{\Delta }}SBC\]
\[{\rm{\Delta }}SCD\]
\[{\rm{\Delta }}SAB\]
\[{\rm{\Delta }}SBD\]
Ta có :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot AD}\\{AB \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (SAD) \Rightarrow AB \bot SD\)
Giả sử\[SB \bot SD \Rightarrow SD \bot \left( {SAB} \right)\] (vô lý)
Rõ ràng SB và BD không vuông góc, SD,BD không vuông góc.
Hay \[{\rm{\Delta }}SBD\] không thể là tam giác vuông.
Đáp án cần chọn là: D
