Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 15)

Cách 1. $y^{\text{'}}=-4{\text{x}}^3-8\text{x}\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff x=0$

 "Hàm số có ba điểm cực trị" là sai.

Cách 2. Thấy tích hệ số của $x^4$  và hệ số của $x^2$  là dương nên hàm số không có 3 cực trị

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $[-2;3]$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3}{{(x+3)}^2}>0,\forall x\in [-2;3]\text{. }$

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên đoạn $[-2;3]$

Vậy ${\max }_{[-2;3]}f\left(x\right)=f\left(3\right)=\frac{1}{2}\text{. }$

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của $y=x^2$  và $y=x+2$

$x^2=x+2\iff x^2-x-2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Diện tích hình (H):

$S={\int }_{-1}^2\left|x^2-(x+2)\right|dx={\int }_{-1}^2\left|x^2-x-2\right|dx=\frac{9}{2}$

Chọn A

Ta có $V=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx={\left.\frac{e^{2x}}{2}\right|}_0^1=\frac{1}{2}\cdot \left(e^2-1\right)$

Ta có $2z_1+3z_2-z_1{z}_2=2(1+2i)+3(3-4i)-(1+2i)(3-4i)=11-8i-(11+2i)=-10i$

Chọn D

Ta có $\overline{z}=-2-i\text{. }$. Do đó điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ là $N(-2;-1)\text{. }$

Chọn D

Ta có $z=-7-24i\Rightarrow \overline{z+7i}=-7+17i$

Chọn C

Khi quay tam giác theo trục AH ta thu được hai khối nón có cùng chiều cao là AH và bán kính đáy lần lượt là BH, CH

=>  Tỉ số thể tích hai khối nón là ${\left(\frac{BH}{CH}\right)}^2\text{, mà }\frac{BH}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{1}{2}\Rightarrow {\left(\frac{BH}{CH}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Chọn B

 Khi trải phẳng ống trụ tròn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy còn chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vòng quấn của dây dài 5cm là đường chéo của hình chữ nhật có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ và $\frac{1}{10}$  chiều dài trụ.

Gọi chiều dài trụ là l (cm), theo định lí Pitago ta có

$\sqrt{5^2-{\left(2\cdot \frac{2}{\pi }\pi \right)}^2}=\frac{l}{10}\iff l=30.$

Vậy diện tích xung quanh của trụ là: $S_{xq}=2\cdot \frac{2}{\pi }\cdot \pi \cdot 30=120\left( {\text{cm}}^2\right)$.

Chọn C

+ Ta có đường thẳng d có VTCP là $\overrightarrow{a}=(-1;2;0)$

+ Vì $\left(P\right)\perp d$  nên $\text{mp}\left(P\right)$  nhận $\overrightarrow{a}=(-1;2;0)$  làm VTPT và đi qua điểm $A(-2;0;1)$  .

+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

$-1(x+2)+2(y-0)+0(z-1)=0\iff -x+2y-2=0.$

+ Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $-x+2y-2=0$

Chọn A

Vì M, N, P là hình chiếu của $A(3;1;-2)$  lên các trục Ox, Oy, Oz nên

$\begin{array}{l}M(3;0;0),N(0;1;0),P(0;0;-2)\\ \Rightarrow \left(MNP\right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1\iff 2x+6y-3z-6=0\end{array}$

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I (2;0;1). Ta thấy $I(2;0;1)\in d$ . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 0.

Chọn B

- Bước 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh còn lại chọn tùy ý từ 25 học sinh (thuộc khối A và B) có $C_5^2\cdot C_{25}^{13}$ cách.

- Bước 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh còn lại chọn tùy ý từ 25 học sinh (thuộc khối A và B) không thỏa mãn yêu cầu đề bài, có 2 trường hợp:

+ Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 4 học sinh khối A, 9 học sinh khối B có $C_5^2,C_{15}^4\cdot C_{10}^9$ cách.

+ Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 3 học sinh khối A, 10 học sinh khối B có $C_5^2,C_{15}^3.C_{10}^{10}$ cách.

(Chú ý: các trường hợp 2 học sinh khối A, 11 học sinh khối B không tồn tại vì $11>10,\dots )$

Vậy có tất cà số cách chọn thỏa mãn đề bài là

$C_5^2\cdot C_{25}^{13}-\left(C_5^2\cdot C_{15}^4\cdot C_{10}^9+C_5^2\cdot C_{15}^3\cdot C_{10}^{10}\right)=51861950\text{ cách. }$

Chọn C

Độ phóng xạ ban đầu là a (Bq) có trong khúc gỗ, T (năm) là chu kì bán rã của C14.

Độ phóng xạ sau T là $\frac{a}{2}$, lượng phóng xạ sau 2T là $\frac{a}{2^2}$, độ phóng xạ sau 3T là $\frac{a}{2^3}$

Độ phóng xạ sau nT là $\frac{a}{2^n}$.

Vì tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt nên $\frac{a}{2^n}=0,77a\Rightarrow 2^n=\frac{1}{0,77}\iff n={\log }_2\left(\frac{1}{0,77}\right)$

Vậy tuổi tượng gỗ là $nT={\log }_2\left(\frac{1}{0,77}\right)\cdot 5600=2111,59\approx 2112$ (năm).

Chọn A

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\frac{d\text{x}}{{\sin }^{2}x}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=d\text{x}\\ v=-\cot \mathbf{x}\end{array}\right.\right.$

Khi đó $I=-x\cot x\left|\frac{\frac{2\pi }{3}}{\frac{\pi }{3}}+{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2\pi }{3}}\cot \text{xdx}=\frac{\pi }{\sqrt{3}}+\ln \right|\sin x\mid \frac{\frac{2\pi }{3}}{\frac{\pi }{3}}=\frac{\pi }{\sqrt{3}}\Rightarrow a=3\Rightarrow P=71$

Chọn C

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \{\pm 1\}$.

Ta có:

$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-2}{x+1}$

Nên hàm số có một tiệm cận đứng x = -1, và một tiệm cận ngang  y = 1

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$ là 2 .

$y=f\left(x\right)=x^3+x^2+2x+3;f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x+2$(Cho $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 3x^2+2x+2=0\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm, mà a = 3 > 0 suy ra $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\forall x\in ℝ$ nên f(x) luôn tăng trên $ℝ\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn tăng trên $[-1;2]$.

Từ đó, $n=f(-1)=1,m=f\left(2\right)=19$.

Vậy $m^2+n^2={19}^2+1=362$.

Ta có: $z^2-4z+8=0\iff \left[\begin{array}{c}{z}_1=2-2i\\ z_2=2+2i\end{array}\Rightarrow z_0=2+2i\right.$.

Suy ra $z_0+(1+2i)=2+2i+(1+2i)=3+4i$.

Môđun của số phức $z_0+(1+2i)$ bằng $\sqrt{3^2+4^2}=5$.

TH1: Châu ngồi đối diện Anh

Chọn 1 ghế cho Châu có: 8 cách.

Xếp cho Anh ngồi đối diện Châu có: 1 cách.

Xếp các ghế còn lại có: $\mathrm{6.3.4.2.2.1}=288$ cách.

Vậy TH1 có 2304 cách.

TH2: Anh ngồi cạnh Châu và Châu ngồi ờ các vị trí đầu hoặc cuối hàng ghế.

Chọn 1 ghế cho Châu có: 4 cách.

Xếp cho Anh ngồi cạnh Châu có: 1 cách.

Xếp các bạn nữ ngồi đối diện Châu có 3 cách.

Xếp các bạn nam ngồi đối diện Anh có 3 cách.

Xếp các ghế còn lại có: $\mathrm{4.2.2.1}=16$ cách.

Số cách xếp trong trường hợp này là 576 cách.

TH3: Anh ngồi cạnh Châu và Châu ngồi ờ các vị trí giữa hàng ghế.

Chọn 1 ghế cho Châu có: 4 cách.

Xếp cho Anh ngồi cạnh Châu có: 2 cách.

Xếp các bạn nữ ngồi đối diện Châu có 3 cách.

Xếp các bạn nam ngồi đối diện Châu có 3 cách.

Xếp các ghế còn lại có: 4.2.2.1 = 16 cách.

Số cách xếp trong trường hợp này là 1152 cách.

Vậy tổng cộng có: $2304+576+1152=4032$ cách xếp.

\

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I( 0;1;1) và bán kính $R=\sqrt{0^2+1^2+1^2-(-2)}=2$ 

Do $\left(Q\right)//\left(P\right)\Rightarrow \left(Q\right):x+2y+2z+d=0(d\ne 2)$ và mp (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có $d(I,(Q\left)\right)=R\Rightarrow \frac{\left|0+2.1+2.1++d^{\text{'}}\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=2\iff \left|d^{\text{'}}+4\right|=6\iff \left[\begin{array}{l}{d}^{\text{'}}+4=6\\ d^{\text{'}}+4=-6\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{1^2+2^2+2}=2\left(l\right)\\ d^{\text{'}}=-10\end{array}\right.\right.$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):x+2y+2z-10=0$. Vậy $a+b-d=1+2+10=13$.