a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(M\left( { - 2;\,\,8} \right),\) \(N\left( { - 1;\,\,2} \right),\) \(O\left( {0;\,\,0} \right),\) \(C\left( {1;\,\,2} \right),\) \(D\left( {2;\,\,8} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}\) là một đường parabol đỉnh \(O,\) đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Xét hàm số \(y = 2{x^2}\).

Thay \(x = - 4\) vào hàm số, ta được: \(y = 2 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} = 32\). Do đó, điểm \(A\left( { - 4;32} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

Thay \(x = 3\) vào hàm số, ta được: \(y = 2 \cdot {3^2} = 18\). Do đó, điểm \(B\left( {3; - 18} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

Giải phương trình:

\(x\left( {2x + 3} \right) - 4 = 5\)

\(2{x^2} + 3x - 9 = 0\).

Phương trình trên có \[\Delta = {3^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 9} \right) = 81 > 0.\]

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - 3 + 9}}{{2 \cdot 2}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\,\,{x_2} = \frac{{ - 3 - 9}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{ - 12}}{4} = - 3.\]

a) Phương trình \({x^2} - 5x + 2 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 17 > 0\).

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.\).

c) Ta có:

\(A = 2x_1^2.x_2^2 + x_1^2 + x_2^2\)

\[ = 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\]

\[ = 2 \cdot {2^2} + {5^2} - 2 \cdot 2 = 29.\]

Gọi \[x\] (km/h) là tốc độ chạy xe của bạn Tí \[\left( {x > 0} \right).\]

Khi đó, tốc độ chạy xe của bạn Tèo là \[x + 5\] (km/h).

Thời gian bạn Tí chạy xe là: \[\frac{{10}}{x}\] (giờ), thời gian bạn Tèo chạy xe là: \[\frac{{10}}{{x + 5}}\] (giờ).

Theo bài, Tèo đến nơi trước Tí 6 phút \[ = \frac{1}{{10}}\] giờ nên ta có phương trình:

\[\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{{x + 5}} = \frac{1}{{10}}\]

\[\frac{{10\left( {x + 5} \right) - 10x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{1}{{10}}\]

\[x\left( {x + 5} \right) = 10 \cdot \left( {10x + 50 - 10x} \right)\]

\[{x^2} + 5x - 500 = 0\]

\[\left( {x - 20} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\]

\[x = 20\] (thỏa mãn) hoặc \[x = - 25\] (không thỏa mãn).

Vậy bạn Tí chạy xe với tốc độ 20 km/h, bạn Tèo chạy xe với tốc độ 25 km/h.

a) Thể tích của lọ thủy tinh chứa nước là: \(V = \pi \cdot {15^2} \cdot 20 = 4\,\,500\pi \) (cm³).

Thể tích của lọ thủy tinh không chứa nước là: \(V = \pi \cdot {20^2} \cdot 12 = 4\,\,800\pi \) (cm³).

b) Do thể tích của lọ thủy tinh thứ nhất nhỏ hơn thể tích lọ thủy tinh thứ hai nên khi đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai, nước không bị tràn ra ngoài.

a) \[\Delta BEF\] vuông tại \[B\] nên ba điểm \[B,\,\,E,\,\,F\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[EF.\]

\[\Delta CEF\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[C,\,\,E,\,\,F\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[EF.\]

Do đó, bốn điểm \[B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[EF.\]

Vậy \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\widehat {DFI} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta DFI\) vuông tại \(F\).

Xét \(\Delta DEA\) và \(\Delta DIF\) có:

\(\widehat {DAE} = \widehat {DFI} = 90^\circ \) và \(\widehat {DEA} = \widehat {DIF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF)\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{DE}}{{DI}} = \frac{{DA}}{{DF}}\) nên \(DE.DF = DA.DI\).

c) Do nên \(\widehat {EDA} = \widehat {IDF}\) (hai góc tương ứng).

Do đó \(\widehat {EDA} + \widehat {ADO} = \widehat {IDF} + \widehat {ADO}\) hay \(\widehat {EDO} = \widehat {FDA}\).

Do \(DM\) là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\) nên \(\widehat {EDM} = \widehat {FDM}\).

Mà \(\widehat {EDA} = \widehat {IDF}\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {IDM}\).

Lại có, \(\widehat {ADM} + \widehat {AMD} = 90^\circ \) và \(\widehat {QDM} + \widehat {IDM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AMD} = \widehat {QDM}\) nên \(\Delta QDM\) cân tại \(Q.\)