a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(A\left( { - 2;\,\,2} \right),\) \(B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(O\left( {0;\,\,0} \right),\) \(C\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(D\left( {2;\,\,2} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh \(O,\) đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thuộc \[\left( P \right)\] có tung độ bằng 2 lần hoành độ. Khi đó, \({y_0} = 2{x_0}.\)

Do đó \(M\left( {{x_0};\,\,2{x_0}} \right)\) thuộc \[\left( P \right)\]: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) nên ta có:

\(2{x_0} = \frac{1}{2}x_0^2\)

\(x_0^2 - 4{x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {{x_0} - 4} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 4\).

Với \({x_0} = 0\) ta có \({y_0} = 0,\) ta được điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right).\)

Với \({x_0} = 4\) ta có \({y_0} = 8,\) ta được điểm \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)

a) Phương trình \(2{x^2} + x - 1 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{1}{2}\\{x_1}{x_2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Do đó, \(M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.\)

Gọi \(x\) (m) là chiều rộng của mảnh đất \(\left( {x > 0} \right).\) Khi đó, chiều dài của mảnh đất là: \(\frac{{360}}{x}\) (m).

Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì mảnh đất có chiều rộng mới là \(x + 3\) (m) và chiều dài mới là \(\frac{{360}}{x} - 4\) (m).

Diện tích mảnh đất lúc này là \(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{360}}{x} - 4} \right)\) (m²).

Theo bài, ta có phương trình:

\(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{360}}{x} - 4} \right) = 360\)

\(x\left( {\frac{{360}}{x} - 4} \right) + 3\left( {\frac{{360}}{x} - 4} \right) = 360\)

\(360 - 4x + \frac{{1\,\,080}}{x} - 12 = 360\)

\(4x + 12 - \frac{{1\,\,080}}{x} = 0\)

\[4{x^2} + 12x - 1\,\,080 = 0\]

\(4\left( {x - 15} \right)\left( {x + 18} \right) = 0\)

\(x = 15\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 18\) (không thỏa mãn).

Vậy ban đầu mảnh đất có chiều rộng 15 m và có chiều dài \(\frac{{360}}{{15}} = 24\) (m).

a) Bán kính của khung tròn là: \(\frac{{3,29}}{{2\pi }} \approx 0,52\) (m).

b) Đặt các điểm như hình vẽ sau:

Khi đó, ta có \(\Delta ABC\) đều và \(OC \approx 0,52\) (m).

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}.\)

Khi đó, \(\Delta OHC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {OCH} = 30^\circ \) nên \(HC = OC \cdot \cos \widehat {OCH} \approx 0,52 \cdot \cos 30^\circ \approx 0,45\) (m).

Suy ra \(BC = 2HC \approx 0,9\) (m).

Vậy chu vi của khung tam giác đều là khoảng \(3 \cdot 0,9 = 2,7\) (m).

a) Xét \[\Delta BCD\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta BCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]

Suy ra \[B,\,\,C,\,\,D\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Chứng minh tương tự với \[\Delta BCE\] ta có \[B,\,\,C,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Như vậy, \[B,\,\,C,\,\,D,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\], suy ra tứ giác \(BDEC\) nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của \[BC\] và bán kính bằng \(\frac{{BC}}{2}.\)

b) Do tứ giác \(BDEC\) nội tiếp nên \(\widehat {DBC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {AED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {DBC} = \widehat {AED}.\)

Xét \[\Delta AED\] và \[\Delta ABC\] có:

\(\widehat A\) là góc chung và \(\widehat {ABC} = \widehat {AED}.\)

Do đó (g.g).

c) Do hay nên \(\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có \(\cos \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Như vậy, \[\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \cos \widehat {DAC} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.\]

Vậy \(DE = \frac{1}{2}BC.\)