Đáp án đúng là: C

Ta có \(\int\limits_1^7 {{e^{3x + 1}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x + 1}}} \right|_1^7 = \frac{1}{3}{e^{22}} - \frac{1}{3}{e^4}\).

Đáp án đúng là: D

\(\int\limits_{ - 3}^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = - \int\limits_{ - 3}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = - 20 + 4 = - 16\).

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( { - 1;1; - 2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) là

\(\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 1 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác đều có cạnh \(\sqrt {3{x^2} + 1} \) là \(\frac{{{{\left( {\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 \left( {3{x^2} + 1} \right)}}{4}\).

Khi đó \(V = \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt 3 \left( {3{x^2} + 1} \right)}}{4}dx} \)\( = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_1^2\)\( = 2\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right) = 4\left( {0;2;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {2;4;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;2;3} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\(2\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0\).

Do đó \(a + b + c = 5\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt} = - 5{t^2} + 30t + C\).

Do \(s\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Vậy \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t\).

b) Ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là:

\(s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m).

d) Đổi 108 km/h = 30m/s.

Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện ra chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là \(30 + 45 = 75\) (m).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;3} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nhận \(\left( { - 2;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và nhận \(\left( { - 2;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;1;5} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) ta được:

\( - 2.3 + 1 + 5 = 0\) (đúng). Vậy điểm \(M \in \left( {ABC} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} .\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 2} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 1.2 = - 1 \ne 0\). Do đó mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) Có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \).

Trả lời: 56

Ta có \(M\left( t \right) = \int {\left( {800 - 2t} \right)dt} = 800t - {t^2} + C\).

Vì \(M\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\). Suy ra \(M\left( t \right) = 800t - {t^2}\).

Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là:

\(M\left( {400} \right) = 800.400 - {400^2} = 160000\) (ngày).

Cho phí công nhân lao động cho công trình đó là:

\(160000.350000 = 56000000000\) đồng = 56 tỉ đồng.

Trả lời: 5

\(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 3 + 2 = 5\).

Trả lời: 12

Quãng đường mà vật dịch chuyển được trong 4 giây đầu tiên bằng

\(\int\limits_0^4 {v\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_0^2 {2tdt}  + \int\limits_2^4 {4dt} \)\( = \left. {{t^2}} \right|_0^2 + \left. {4t} \right|_2^4\)\( = 4 + 16 - 8 = 12\) (m).

Trả lời: 5,66

Ta có \(\overrightarrow {ED} = \left( { - 6;0;0} \right),\overrightarrow {EM} = \left( {0;2;2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {EM} } \right] = \left( {0;12; - 12} \right) = 12\left( {0;1; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {DEMN} \right)\) đi qua \(D\left( {0;0;4} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;1; - 1} \right)\) có phương trình là: \(y - \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 4 = 0\).

Ta có \(B\left( {6;4;0} \right)\), suy ra \(d\left( {B,\left( {DEMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - 0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 \approx 5,66\).

Ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} = 6\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = 12\)

\( \Rightarrow F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 12 \Rightarrow F\left( 0 \right) - F\left( 2 \right) = - 12\).

Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\) có đỉnh \(C\left( {0;3} \right)\), đi qua hai điểm \(A\left( { - 3;0} \right)\) và \(B\left( {3;0} \right)\) nên có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0.a + 0.b + c = 3\\9a - 3b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{3}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(\left( P \right):\,\,y = - \frac{1}{3}{x^2} + 3\).

Diện tích mặt trước của lều trại là

\(S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left( {3 - \frac{1}{3}{x^2}} \right){\rm{d}}x} = 12\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

+) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ

Khi đó thể tích phần không gian bên trong lều trại là \(V = \int\limits_0^3 {12{\rm{d}}x} = 36\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(x - 2y + 2z + d = 0\left( {d \ne 2} \right)\).

Vì \(d\left( {A,\left( \beta \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2.2 + 2.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = 2\end{array} \right.\).

Vì \(d \ne 2\) nên mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có dạng \(x - 2y + 2z + 8 = 0\).