1) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 19\\2x - y = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}5x = 20\\2x - y = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\2.4 - y = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\8 - y = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {4;\,7} \right)\).

2) \(\left( {3x - 6} \right).\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(3x - 6 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(3x = 6\) hoặc \(x =  - 1\)

\(x = 2\) hoặc \(x =  - 1\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x \in \left\{ {2;\,\, - 1} \right\}.\)

3) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {y + 5} \right) = xy - 2\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = xy - 20\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}xy + 5x - 3y - 15 = xy - 2\\xy - 4x - 2y + 8 = xy - 20\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 3y =  - 2 + 15\\ - 4x - 2y =  - 20 - 8\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 3y = 13\\4x + 2y = 28\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}10x - 6y = 26\\12x + 6y = 84\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}22x = 110\\4x + 2y = 28\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\4.5 + 2y = 28\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\2y = 20\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {5;\,4} \right)\).

4) \(\frac{1}{{x - 3}} + \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{2 - 5x}}{{{x^2} - 9}}\)   (ĐK: \(x \ne 3;\,x \ne  - 3\))

 \(\frac{1}{{x - 3}} + \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{2 - 5x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\(\frac{{x + 3 + 3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2 - 5x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\(x + 3 + 3x - 9 = 2 - 5x\)

\(x + 3x + 5x = 2 - 3 + 9\)

\(9x = 8\)

\(x = \frac{8}{9}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{8}{9}\).

Gọi giá niêm yết của thiết bị A và thiết bị B lần lượt là \(x\) và \(y\) (triệu đồng) \(\left( {0 < x,\,y < 150} \right)\)

Công ty mua hai thiết bị A và B với tổng chi phí ban đầu là \(150\) triệu đồng theo giá niêm yết nên ta có phương trình \(x + y = 150\) (1)

Thiết bị A được giảm giá \(10\% \) nên giá của thiết bị A là: \(x - 10\% x = 0,9x\)

Thiết bị B được giảm giá \(15\% \) \(10\% \) nên giá của thiết bị B là: \(y - 15\% y = 0,85y\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(0,9x + 0,85y = 131\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

        \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\0,9x + 0,85y = 131\end{array} \right.\)

        \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\90x + 85y = 13100\end{array} \right.\)

        \(\left\{ \begin{array}{l}85x + 85y = 12750\\90x + 85y = 13100\end{array} \right.\)

        \(\left\{ \begin{array}{l}5x = 350\\x + y = 150\end{array} \right.\)

        \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\x + 70 = 150\end{array} \right.\)

        \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = 80\end{array} \right.\)

Vậy giá niêm yết của thiết bị A là 70 triệu đồng, giá niêm yết của thiết bị B là 80 triệu đồng.

a) \(5x - 1 > 3x + 7\)

\(\begin{array}{l}5x - 3x > 7 + 1\\2x > 8\\x > 4\end{array}\)  

Vậy \(x > 4\).

b) \(\frac{{x + 1}}{5} - \frac{{x - 4}}{{10}} \ge \frac{{x - 5}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)}}{{10}} \ge \frac{{5\left( {x - 5} \right)}}{{10}}\\2x + 2 - x + 4 \ge 5x - 25\\2x - x - 5x \ge  - 25 - 2 - 4\\ - 4x \ge  - 31\\x \le \frac{{31}}{4}\end{array}\)

Vậy \(x \le \frac{{31}}{4}\).

Gọi \[x\] là số câu trả lời chính xác (câu) (\(x \in \mathbb{N},x < 25\))

Số câu trả lời sai là: \(25 - x\) (câu)

Vì người ứng tuyển chọn đáp án đúng sẽ được cộng thêm 3 điểm, chọn đáp án sai bị trừ 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, ban tổ chức tặng mỗi người dự thi 5 điểm và theo quy định người ứng tuyển phải trả lời hết 25 câu hỏi, người nào có số điểm từ \(58\) trở lên mới được thi vòng tiếp theo nên ta có:

\(\begin{array}{l}5 + 3x - 1.\left( {25 - x} \right) \ge 58\\5 + 3x - 25 + x \ge 58\\4x \ge 78\\x \ge \frac{{78}}{4} = 19,5\end{array}\)

Vậy cần trả lời đúng ít nhất 20 câu.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:

\[\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\] hay \[BC = AB \cdot \sin 42^\circ  = 25 \cdot \sin 42^\circ  \approx 16,73\] (m).

a) \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] nên ta có:

⦁ \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] (định lí Pythagore)

Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {8^2} - {4^2} = 48\]

Do đó \[AC = 4\sqrt 3 \] (cm).

⦁ \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{8} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\] suy ra \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] nên \[\widehat {ACB} = 30^\circ \]

b)    Ta có: \[AB.\cos \widehat {ABC} + AC.\cos \widehat {ACB}\]

              \[ = AB.\frac{{AB}}{{BC}} + AC.\frac{{AC}}{{BC}}\]

              \[ = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} + \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{B{C^2}}}{{BC}} = BC\]

c) Xét \[\Delta BNC\] có: \[CA \bot NB,\,\,BM \bot CN\]  và \[BM\] cắt \[CA\] tại \[H\]

Suy ra \[H\] là trực tâm của \[\Delta BNC\] nên \[NK \bot BC.\]

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta KBN\] có:

\[\widehat {BAC} = \widehat {BKN} = 90^\circ \] và \[\widehat {ABK}\] là góc chung

Do đó $\Delta ABC\backsim \Delta KBN$ (g.g).

a)Vì $\Delta ABC\backsim \Delta KBN$  nên \[\frac{{AB}}{{KB}} = \frac{{BC}}{{BN}}\] suy ra \[\frac{4}{{KB}} = \frac{8}{6}\] do đó \[KB = 3{\rm{\;cm}}\].

Kẻ đường cao \[AF\] của \[\Delta ABK\].

Khi đó \[\Delta ABF\] vuông tại \[F\], ta có \[AF = AB \cdot \sin \widehat {ABF}\].

Xét \[\Delta ABK\] có \[{S_{ABK}} = \frac{1}{2}.AF.BK = \frac{1}{2}.AB.\sin \widehat {ABF}.BK\]

                                 \[ = \frac{1}{2}.4.\sin 60^\circ .3 = 3\sqrt 3 \] (cm²).

Đổi: \(3\) triệu đồng = 3000 nghìn đồng.

Gọi \(x\) là số lần giảm 100 nghìn đồng/1tour (\(x > 0\), lần).

Số tiền 1 tour sau \(x\) lần giảm là: \(3000 - 100.x\) (nghìn đồng).

Số người tham gia tour sau \(x\) lần giảm là: \(200 + 20x\) (người).

Doanh thu từ tour là:

\(\left( {3000 - 100x} \right)\left( {200 + 20x} \right)\)

\( =  - 2000{x^2} + 40000x + 600000\)

\( =  - 2000\left( {{x^2} - 20x} \right) + 600000\)

\( =  - 2000\left( {{x^2} - 2.10x + {{10}^2} - {{10}^2}} \right) + 600000\)

\( =  - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} + {2000.10^2} + 600000\)

\( =  - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} + 800000\).

Ta có: \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0\) mọi \(x\) suy ra \( - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0\) mọi \(x\) nên \( - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} + 800000 \le 800000\).

Do đó doanh thu lớn nhất là \(800\,\,000\). Dấu  xảy ra khi \(x - 10 = 0\) tức là \(x = 10\).

Vậy công ty phải giảm giá: \(10.100 = 1000\) (nghìn đồng) = 1 triệu đồng.