a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 4\,\,\,\,}\\{2x + 9y = 18}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 4y = 8\,\,\,\,}\\{2x + 9y = 18\,\,}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta được:

\(5y = 10\) suy ra \(y = 2\).

Thế \(y = 2\) vào phương trình thứ nhất ta được

\(x + 2.2 = 4\) suy ra \(x = 0\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {0;2} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} - \frac{2}{y} = 2}\\{\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 1}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(3\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 6}\\{\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 1}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta được:

\(\frac{7}{y} =  - 5\) suy ra \(y = \frac{{ - 7}}{5}\).

Thế \(y = \frac{{ - 7}}{5}\) vào phương trình thứ nhất ta được:

\(\frac{1}{x} - \frac{2}{{\frac{{ - 7}}{5}}} = 2\) hay \(\frac{1}{x} + \frac{{10}}{7} = 2\) suy ra \(x = \frac{7}{4}\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {\frac{7}{4};\frac{{ - 7}}{5}} \right)\).

a) \(\left( {x - 5} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\)

\(x - 5 = 0\) hoặc \(1 - 2x = 0\)

\(x = 5\) hoặc \(2x = 1\)

\(x = 5\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 5\) và \(x = \frac{1}{2}\).

b) \(\frac{{10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{3}{{x - 1}} = \frac{5}{{x + 5}}\)

Điều kiện xác định \(x \ne  - 5\) và \(x \ne 1\).

Quy đồng và khử mẫu, ta được phương trình:

\(\frac{{10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

Suy ra \(10 - 3x - 15 = 5x - 5\)

            \(5x + 3x = 10 - 15 + 5\)

            \(8x = 0\)

              \(x = 0\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0\).

c) \(2x + 4 \ge 0\)

    \(2x \ge  - 4\)

     \(x \ge  - 2\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge  - 2\).

d) \( - 5x - 11 < 13 - 3x\)

\( - 5x + 3x \le 13 + 11\)

\( - 2x \le 24\)

\(x \ge  - 12\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge  - 12\).

Gọi chiều dài và chiều rộng miếng đất lần lượt là \(a;b\) (m) (\(a > 5,b > 4\)).

Chiều dài lớn hơn chiều rộng 5 m nên ta có: \(a - b = 5\) (1)

Theo bài ra ta có:

\(\left( {a - 5} \right)\left( {b - 4} \right) = ab - 180\)

\(ab - 4a - 5b + 20 = ab - 180\)

\( - 4a - 5b =  - 200\)

\(4a + 5b = 200\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b = 5}\\{4a + 5b = 200}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a - 5b = 25}\\{4a + 5b = 200}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta được:

\(9a = 225\) hay \(a = 25\) (thoả mãn điều kiện).

Thế \(a = 25\) vào phương trình thứ (1) ta được \(b = 20\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy chiều dài miếng đất là \[25{\rm{ m}}\]và chiều rộng miếng đất là \[{\rm{20 m}}\].

Gọi số quyển vở Minh có thể mua là \(x\) (quyền) \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).

Số tiền Minh dùng để mua \(x\) quyển vở là \(9x\) (nghìn đồng).

Số tiền còn lại của Minh sau khi mua bút là: \(200 - 30 = 170\) (nghìn đồng).

Vì số tiền Minh dùng để mua vở không được vượt quá số tiền còn lại nên ta có bất phương trình sau:

\(9x \le 170\)

\(x \le \frac{{170}}{9}\)

\(x \le 18,\left( 8 \right)\)

Vì \(x\) là số quyển vở và phải là số nguyên dương đồng thời \(x \le 18,\left( 8 \right)\), nên giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn là \(x = 18\).

Vậy Minh có thể mua tối đa \(18\) quyển vở.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{4}\) (tỉ số lượng giác).

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\)

Suy ra \(BC = 5\) (cm).

Tính các góc: \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}{\rm{ = }}\frac{4}{5}\] suy ra \[\widehat B \approx 53^\circ \].

                       \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\) suy ra \(\widehat C \approx 37^\circ \).

b) Có \[AH \bot BC,{\rm{ }}HE \bot AB,{\rm{ }}HF \bot AC\] nên \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật.

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta HBE\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {HEB} = 90^\circ ,\,\,\widehat {HAE} = \widehat {BHE}\) (cùng phụ với \(\widehat {AHE})\)

Do đó  (g.g) nên \(\frac{{AE}}{{HE}} = \frac{{HE}}{{BE}}\) suy ra \[E{H^2} = AE.EB\].

Chứng minh tương tự, ta có \[H{F^2} = {\rm{ }}AF.FC\].

Lại có: \[E{F^2} = E{H^2} + H{F^2}\] (định lý Pythagore trong tam giác vuông \(EHF\))

Suy ra: \(AE.EB + AF.FC = E{F^2}\).

Vậy \(AE.EB + AF.FC = E{F^2}\).

c) Xét \(\Delta BEH\) vuông tại \(E\), ta có: \(\cos B = \frac{{BE}}{{BH}}\) (1)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\) (2)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \({\cos ^3}B = \frac{{BE}}{{BC}}\).

Vậy \(BE = BC.co{s^3}B\).

Ta có: \(\Delta AEH = \Delta BFE = \Delta CGF = \Delta DHG\)

Suy ra \(HE = FE = FG = GH\) và \(\widehat {AEH} = \widehat {BFE}\)

Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {FEB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AEH} + \widehat {FEB} = 90^\circ \)

Lại có \(\widehat {AEH} + \widehat {FEB} + \widehat {HEF} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {HEF} = 90^\circ \).

Tứ giác \(EFGH\) có \(HE = FE = FG = GH\) và \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) nên nó là hình vuông.

Chu vi tứ giác \(EFGH\) bằng \(4HE\). Chu vi tứ giác \(EFGH\) nhỏ nhất khi \(HE\) nhỏ nhất.

Đặt \(AE = x\) (m), điều kiện \(0 < x < 10\).

Suy ra \(AH = 10 - x\) (m).

Tam giác \(AHE\) là tam giác vuông tại \[A\] nên theo định lí Pythagore, ta có:

\(H{E^2} = A{H^2} + A{E^2}\) hay \(H{E^2} = {x^2} + {\left( {10 - x} \right)^2}\)

Suy ra \(H{E^2} = 2{x^2} - 20x + 100 = 2{\left( {x - 5} \right)^2} + 50 \ge 50\).

Do đó \(HE \ge \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 \).

\(HE\) nhỏ nhất khi \(HE = 5\sqrt 2 \) khi \(x = 5\).

Vậy chu vi tứ giác \(EFGH\) nhỏ nhất khi \(AE = 5\) m.