Đáp án đúng là: D

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\). 

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Đặt \(\cos x = t\). Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó, ta có hàm số \(y = f\left( t \right) = 2t - \frac{4}{3}{t^3}\). Ta có \(f'\left( t \right) = 2 - 4{t^2}\).

Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) hoặc \(t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\(f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 2}}{3};\,f\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3};\,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3};\,f\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,\pi } \right]} y = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x + 2}} = x - 5 + \frac{{16}}{{x + 2}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{16}}{{x + 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x - 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{16}}{{x + 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x - 5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y =  - 1\), suy ra \(a =  - 1 < 0\).

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên ta có: \(2a - b = 0\).

Khi đó, \(2 \cdot \left( { - 1} \right) - b = 0\), suy ra \(b =  - 2\).

Vậy \(b < a < 0\).

Đáp án đúng là: C

Vì \({G_0}\) là giao điểm của \(GA\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên ta suy ra được \({G_0}\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Do đó, \(\overrightarrow {{G_0}B}  + \overrightarrow {{G_0}C}  + \overrightarrow {{G_0}D}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra $\overrightarrow{GA}=-\left(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=-\left(3\overrightarrow{G{G}_0}+\overrightarrow{G_{0}B}+\overrightarrow{G_{0}C}+\overrightarrow{G_{0}D}\right)=-3\overrightarrow{G{G}_0}=3\overrightarrow{G_{0}G}$

Vậy \(\overrightarrow {GA}  = 3\overrightarrow {{G_0}G} \).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Vậy ý a) sai.

– Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị: \(x = 0\) (điểm cực đại) và \(x = 2\) (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có \(3f\left( x \right) - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\).

Đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm nên phương trình \(f\left( x \right) = 2\)có 2 nghiệm, tức là phương trình \(3f\left( x \right) - 6 = 0\) có 2 nghiệm.

Vậy ý d) sai.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 3\) hoặc \(x =  - 1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 3\), ; đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), \({y_{CT}} = 1\).

Suy ra . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 2\).

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = x + 1\).

Với \(x = 0\) thì \(y = 0 + 1 = 1\), do đó đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\). Vậy ý c) đúng.

– Đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}x - 2\) có hệ số góc \({k_1} = \frac{1}{3}\). Đường thẳng này vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho nên tiếp tuyến này có hệ số góc \({k_2} = \frac{{ - 1}}{{{k_1}}} =  - 3\).

Khi đó, với \({x_0}\) là hoành độ của tiếp điểm thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 2}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} =  - 3\).

Ta tìm được \({x_0} =  - \frac{5}{2}\) hoặc \({x_0} =  - \frac{3}{2}\).

+) Với \({x_0} =  - \frac{5}{2}\), ta có tiếp tuyến: \(y =  - 3x - 11\).

+) Với \({x_0} =  - \frac{3}{2}\), ta có tiếp tuyến: \(y =  - 3x - 3\), tiếp tuyến này đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'} \). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: \(A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}}  = \sqrt 2 \); \(A'C = \sqrt {A'{{C'}^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = A'C = \sqrt 3 \). Tương tự, \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt 3 \).

Vậy ý b) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} \).

Mà \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {D'D} \). Do đó, \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D'D} \).

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AD}}^2-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{AB}$

\( = 0 - {1^2} + {1^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\), do đó ý d) sai.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;0 - 3;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3;4} \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Gọi tọa độ của điểm \(D\) là \(\left( {{x_D};\,{y_D};{z_D}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {CD} \) là:

\(\left( {{x_D} - 2;{y_D} - 3;{z_D} - 6} \right)\).

Do đó, ý b) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \left( {2 - {x_D};3 - {y_D};6 - {z_D}} \right)\). Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_D} = 2\\3 - {y_D} =  - 3\\6 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 6\\{z_D} = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;6;2} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Khi đó, \(O\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} \).

Gọi tọa độ của \(O\) là \(\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AO}  = \left( {x - 1;y - 3;z + 1} \right)\), \(\overrightarrow {OC}  = \left( {2 - x;3 - y;6 - z} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2 - x\\y - 3 = 3 - y\\z + 1 = 6 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 3\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\). Suy ra \(O\left( {\frac{3}{2};3;\frac{5}{2}} \right)\).

Do đó, ý d) sai.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {7m - 3} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 7m - 3 = 0\).

Để hàm số đã cho không có cực trị thì \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {7m - 3} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 4\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên $S=\left\{1;2;3;4\right\}$. Vậy tập hợp \(S\) có 4 phần tử.

Đáp số: \(4\).

Ta có vận tốc tức thời là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 36t + 1\).

Xét hàm số \(v\left( t \right) =  - 3{t^2} + 36t + 1\) với \(t \in \left[ {0;18} \right]\).

Ta có \(v'\left( t \right) =  - 6t + 36\). Trên khoảng \(\left( {0;18} \right)\), \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6\).

\(v\left( 0 \right) = 1;\,v\left( 6 \right) = 109;\,v\left( {18} \right) =  - 323\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;18} \right]} v\left( t \right) = v\left( 6 \right) = 109\).

Vậy vận tốc tức thời đạt giá trị lớn nhất bằng \(109\) m/s.

Đáp số: \(109\).

Ta có 5 km = 5 000 m.

Áp dụng công thức tính công, ta có:

$A=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot \left|\overrightarrow{d}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)=3000\cdot 5000\cdot \cos 30°\approx 12990381$ (J)

Đáp số: \(12\,\,990\,\,381\).

Theo bài ra ta có: \(\overrightarrow {AB}  = 14\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  + 0\overrightarrow k \); \(\overrightarrow {AD}  = 0\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  + 0\overrightarrow k \); \(\overrightarrow {AA'}  = 0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  + 18\overrightarrow k \).

Vì \(M\) là trung điểm của \(C'D'\) nên

\(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {AD'} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\) (quy tắc hình hộp và quy tắc hình bình hành)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AA'} } \right)\)

$=\frac{1}{2}\left[14\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}+2\left(0\overrightarrow{i}+12\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\right)+2\left(0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+18\overrightarrow{k}\right)\right]$

\( = 7\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  + 18\overrightarrow k \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \left( {7;12;18} \right)\). Do đó, \(a = 7,b = 12,c = 18\).

Vậy \(a + b - c = 7 + 12 - 18 = 1\).

Đáp số: \(1\).

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là \(x\) (cm, \(x > 0\)) và chiều cao là \(h\) (cm, \(h > 0\)).

Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108\) cm2 nên \({x^2} + 4xh = 108\).

Suy ra \(h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\) (cm).

Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2} \cdot h = {x^2} \cdot \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) (cm3).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(V'\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:

Do đó, thể tích của hình hộp lớn nhất khi độ dài cạnh đáy là \(x = 6\) cm.

Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = \frac{{108 - {6^2}}}{{4 \cdot 6}} = 3\) (cm).

Vậy \({x_0} = 6,{h_0} = 3\) và \({x_0} + {h_0} = 9\).

Đáp số: \(9\).

Vẽ \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {{F_3}} \).

Dựng hình bình hành \(OADB\) và hình bình hành \(ODEC\).

Hợp lực tác động vào vật là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OE} \).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OBD\), ta có:

\(O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2BD \cdot OB \cdot \cos \widehat {OBD} = O{A^2} + O{B^2} + 2OA \cdot OB \cdot \cos 135^\circ \)

Vì \(OC \bot \left( {OADB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác \(ODE\) vuông tại \(D\).

Ta có \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2OA \cdot OB \cdot \cos 135^\circ \).

Suy ra \(O{E^2} = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2OA \cdot OB \cdot \cos 135^\circ } \)

\( = \sqrt {{{10}^2} + {{20}^2} + {{15}^2} + 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 135^\circ }  \approx 17,3\).

Vậy độ lớn của hợp lực là \(F = OE \approx 17,3\) N.

Đáp số: \(17,3\).