Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai (Hà Nội) có đáp án

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)\). Ta xét sự đổi dấu của \(f'\left( x \right)\) khi qua các nghiệm:

\(x = - 1\) là nghiệm bội chẵn, đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm này.

\(x = 1\) và \(x = 4\) là các nghiệm bội lẻ.

Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\): Trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\), đạo hàm mang dấu âm (\( - \)). Trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\), đạo hàm mang dấu dương (\( + \)).

Vì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = 4\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4\).

Chọn C.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 2}}{{x + 1}} = - x + 4 - \frac{6}{{x + 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\), nên đường thẳng \(y = - x + 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn A.

Xét hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 5\) trên \(\left[ { - 2;3} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right)\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( { \in {\rm{\;}}\left[ { - 2;3} \right]} \right)\)

Tính giá trị tại các điểm biên và các điểm cực trị:

\(y\left( { - 2} \right) = 5\); \(y\left( 3 \right) = 50\); \(y\left( 0 \right) = 5\); \(y\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = 1\).

So sánh các giá trị, ta được giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 2;3} \right]\) là \(M = 50\).

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị có tung độ là \(M = 3\) (tại \(x = 3\)).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ là \(m = - 2\) (tại \(x = 2\)).

Tính giá trị biểu thức: \(M - 2m = 3 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 7\).

Chọn D.

Xét hàm lợi nhuận \(y = - {x^3} + 150{x^2}\) với \(0 \le x \le 200\).

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 300x = - 3x\left( {x - 100} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 100\).

Lập bảng biến thiên trên \(\left[ {0;200} \right]\), ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;100} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {100;200} \right)\). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 100\). Doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm.

Chọn B.

Từ bảng biến thiên, tại điểm \(x = - 7\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương, đồ thị đi xuống rồi đi lên. Do đó giá trị cực tiểu của hàm số thu được tại đây bằng \( - 12\).

Chọn B.

Hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{5x - 1}}\) có nghiệm của mẫu số là \(5x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^ + }} y = - \infty \) nên đường thẳng \(x = \frac{1}{5}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào phương trình hàm số ta được: \(y = {0^3} + 6 \cdot 0 - 7 = - 7\). Tung độ giao điểm bằng \( - 7\).

Chọn C.

Xét \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2024 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\).

Xét dấu đạo hàm: \(y' > 0 \Leftrightarrow x < 0\) hoặc \(x > 2\).

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy \(f'\left( x \right) \le 0\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Vì khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) là tập con của \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\).

Hàm số đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right]\) nên giá trị nhỏ nhất đạt được tại đầu mút \(x = 2\):

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{{2 - 3}}{{2 - 1}} = - 1\).

Chọn D.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Nhánh cuối của đồ thị (bên phải ngoài cùng) đi lên phía trên chứng tỏ hệ số \(a > 0\). Đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và có 2 điểm cực trị đối xứng qua \(O\). Đối chiếu với các phương án, chỉ có hàm số \(y = {x^3} - 3x\) ở phương án A là thỏa mãn.

Chọn A.

a) Sai. Vì đạo hàm chuẩn phải là \(y' = - 3{x^2} + 6x\).

b) Đúng. Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) thì \(y' = - 3x\left( {x - 2} \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến.

c) Sai. Điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 0\) (tại đó \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương).

d) Đúng. Đồ thị hàm số bậc ba có hệ số \(a < 0\), có hai điểm cực trị là \(\left( {0; - 2} \right)\) và \(\left( {2;2} \right)\), đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( {1;0} \right)\), hoàn toàn khớp với hình đã cho.

a) Đúng. Điều kiện xác định là \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Sai. Đạo hàm của hàm số là \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

c) Đúng. Đạo hàm bằng 0 tại \(x = 0\) và \(x = 2\). Qua điểm \(x = 0\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 0\) là điểm cực đại.

d) Đúng. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng, \(y = x + 2\) làm tiệm cận xiên, tọa độ các điểm cực trị khớp hoàn toàn với hình vẽ.

a) Sai. Hàm số không xác định tại điểm \(x = - \frac{1}{2}\) nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

b) Sai. Khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) chứa điểm không xác định \(x = - \frac{1}{2}\) nên hàm số không liên tục và không đồng biến trên toàn khoảng này.

c) Sai. Hàm số đổi dấu qua cực trị duy nhất là điểm cực đại \(x = 3\).

d) Đúng. Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm cực đại \(x = 3\) với giá trị tương ứng bằng \(4\).

a) Đúng. Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 8t + 9\).

b) Sai. Vận tốc tại thời điểm \(t = 3\) giây là: \(v\left( 3 \right) = - {3^2} + 8 \cdot 3 + 9 = 24{\rm{\;m/s}}\).

c) Đúng. Vật đứng yên khi vận tốc bằng 0: \( - {t^2} + 8t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 9\) (s) (do \(t \ge 0\)).

Quãng đường vật đi được từ lúc khởi hành là: \(s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3} \cdot {9^3} + 4 \cdot {9^2} + 9 \cdot 9 = 162{\rm{\;m}}\).

d) Đúng. Vật tăng tốc khi gia tốc lớn hơn 0: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 2t + 8 > 0 \Leftrightarrow t < 4\). Vậy trong 9 giây đầu, vật tăng tốc khi \(t \in \left[ {0;4} \right]\).

Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số bậc ba, vị trí đỉnh lồi cao lên tương ứng với hoành độ cực đại \(x = 1\) và tung độ cực đại bằng \(3\). Vậy giá trị cực đại của hàm số là \(3\).

Đáp số: 3.

Xét \(y = {x^3} - 3x + 4\) trên \(\left[ {0;2} \right]\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\).

Tính các giá trị: \(y\left( 0 \right) = 4\), \(y\left( 1 \right) = 2\), \(y\left( 2 \right) = 6\). Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\).

Đáp số: 2.

Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang \(y = 3\). Tâm đối xứng (giao điểm của hai đường tiệm cận) là \(I\left( { - 1;3} \right) \Rightarrow a = - 1,b = 3\). Do đó, biểu thức \(a + b = - 1 + 3 = 2\).

Đáp số: 2.

Hàm lợi nhuận thu được là \(L\left( x \right) = 200x - C\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} + 288x - 592\) trên \(\left[ {1;20} \right]\).

Đạo hàm \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x + 288 = 0 \Leftrightarrow x = 12 \in \left[ {1;20} \right]\).

Lập bảng biến thiên, giá trị lợi nhuận tối đa đạt được tại \(x = 12\): \(L\left( {12} \right) = 2000\) (nghìn đồng).

Đáp số: 2000.

Quần thể vi khuẩn giảm dần khi đạo hàm \(P'\left( t \right) < 0\).

Ta tính đạo hàm: \(P'\left( t \right) = 2000 \cdot \frac{{4\left( {49 + {t^2}} \right) - 4t\left( {2t} \right)}}{{{{\left( {49 + {t^2}} \right)}^2}}} = 2000 \cdot \frac{{196 - 4{t^2}}}{{{{\left( {49 + {t^2}} \right)}^2}}}\).

Để \(P'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 196 - 4{t^2} < 0 \Leftrightarrow {t^2} > 49 \Leftrightarrow t > 7\) (vì \(t \ge 0\)). Vậy từ thời điểm \(7\) giờ thì số lượng vi khuẩn bắt đầu giảm dần.

Đáp số: 7.

Đổi các kích thước sang đơn vị dm: tấm tôn rộng \(45{\rm{\;cm}} = 4,5{\rm{\;dm}}\), chiều dài \(60{\rm{\;cm}} = 6{\rm{\;dm}}\). Khi gập thành 3 phần bằng nhau, đáy và hai cạnh bên của mặt cắt hình thang cân đều dài \(1,5{\rm{\;dm}}\).

Chiều cao của hình thang cân: \(h = 1,5\sin x\).

Diện tích mặt cắt ngang của máng: \(S = \frac{{\left[ {1,5 + \left( {1,5 + 2 \cdot 1,5\cos x} \right)} \right] \cdot 1,5\sin x}}{2} = 2,25\sin x\left( {1 + \cos x} \right)\).

Thể tích máng nước: \(V = S \cdot 6 = 13,5\sin x\left( {1 + \cos x} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\left( {1 + \cos x} \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{\pi }{3}\) với \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Dung tích tối đa bằng: \({V_{{\rm{max}}}} = 13,5 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 17,537{\rm{\;d}}{{\rm{m}}^3}\). Làm tròn đến hàng phần chục ta được kết quả là \(17,5\).

Đáp số: 17,5.