Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Thủ Khoa Huân (TP.HCM) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN 1: (3 điểm) Câu trắc nghiệm 4 phương án. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) như hình vẽ bên.
![Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị trên đoạn [[- 2;4] như hình vẽ bên.Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1783439894/image1.png)
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) bằng
5.
3.
0.
−2.
Chọn B.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(m = \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = - 4\), \(M = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = 7\).
Khi đó \(M + m = 3\).
Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.
Hàm số đó là hàm số nào?
\(y = - {x^3} + 3x + 2\).
\(y = {x^4} - {x^2} + 1\).
\(y = {x^4} + {x^2} + 1\).
\(y = {x^3} - 3x + 2\).
Chọn D.
Đồ thị hình vẽ là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số \(a > 0\) nên chỉ có hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) thỏa mãn điều kiện trên.
Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = {x^4} + 2{x^2} + 3\).
Chọn B.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tọa độ \(\left( {0;1} \right)\) nên chọn phương án B.
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khác vectơ không, thỏa mãn \(\left| {\vec a} \right| = 3;\left| {\vec b} \right| = 4\), góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là \(60^\circ \). Khi đó \(\vec a.\vec b\) bằng.
12.
\(6\sqrt 3 \).
\(12\sqrt 3 \).
6.
Chọn D.
Ta có: \(\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.{\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 3.4.{\rm{cos}}60^\circ = 3.4.\frac{1}{2} = 6\).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1}}{{x + 1}}\) là.
\(x = - 1\).
\(x = 5\).
\(y = - 1\).
\(y = 5\).
Chọn D.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \frac{5}{1} = 5\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 5\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là.
4.
1.
3.
2.
Chọn D.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên không tồn tại tiệm cận ngang khi \(x \to + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tiệm cận ngang \(y = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tiệm cận đứng \(x = 0\).
Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 2.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x + \frac{2}{3}\). Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là.
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( {3;\frac{2}{3}} \right)\).
\(\left( {1; - 2} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Chọn D.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Tính \(y' = {x^2} - 4x + 3\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {1;2} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec a\) thỏa mãn \(\vec a = - \vec i + 3\vec j\), (\(\vec i,\vec j\) lần lượt là vectơ đơn vị của các trục \(Ox,Oy\)). Tọa độ của vectơ \(\vec a\) là.
\(\left( { - 1;3;0} \right)\).
\(\left( {3; - 1;0} \right)\).
\(\left( {0; - 1;3} \right)\).
\(\left( {3;0; - 1} \right)\).
Chọn A.
Vì \(\vec a = - \vec i + 3\vec j + 0\vec k\) nên \(\vec a\left( { - 1;3;0} \right)\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).
\(y = {x^3} + 2x\).
\(y = - {x^3} - 3x\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).
Chọn B.
Hàm số \(y = {x^3} + 2x\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) là.
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = \frac{{13}}{2}\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = \frac{{25}}{4}\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = - 6\).
Chọn A.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có \(y' = 1 - \frac{9}{{{x^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{x = - 3\left( l \right)}\end{array}} \right.\).
\(y\left( 2 \right) = \frac{{13}}{2},y\left( 4 \right) = \frac{{25}}{4},y\left( 3 \right) = 6\).
Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Chọn C.
Ta có \(g'\left( x \right) = - \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}\).
Dựa vào BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\), lập bảng xét dấu của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\):
Ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2; - 1} \right),\left( {1;3} \right)\).
Mà \(\left( {1;2} \right) \subset \left( {1;3} \right)\) nên C đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec a = 2\vec i - m\vec j + \left( {4n - 1} \right)\vec k\) và \(\vec b = 2\vec i + 5\vec j + 3\vec k\), với \(m,n \in \mathbb{R}\). Khi \(\vec a = \vec b\) thì \(m + n\) có giá trị bằng.
\(m + n = - 4\).
\(m + n = 4\).
\(m + n = 2\).
\(m + n = - 2\).
Chọn A.
Ta có \(\vec a = \left( {2; - m;4n - 1} \right)\); \(\vec b = \left( {2;5;3} \right)\). Để \(\vec a = \vec b\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = 2}\\{ - m = 5}\\{4n - 1 = 3}\end{array}} \right.\) suy ra \(m = - 5\) và \(n = 1\).
Vậy \(m + n = - 4\).
PHẦN 2: (4 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc chọn sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1, đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \) theo thứ tự cùng hướng với \(\vec i,\vec j,\vec k\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Tọa độ điểm \(B\left( {1;0;0} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) biểu diễn theo ba vectơ \(\vec i,\vec j,\vec k\) là \(\overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j\).
Gọi G là trọng tâm của tam giác \(CB'D'\), khi đó vectơ \(\overrightarrow {AG} \) biểu diễn theo ba vectơ \(\vec i,\vec j,\vec k\) là \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\vec i + \frac{1}{3}\vec j + \frac{1}{3}\vec k\).
Gọi M là trung điểm của \(B'C'\), khi đó tọa độ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\).
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \vec i\) nên \(B\left( {1;0;0} \right)\).
b) Sai. Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \vec i + \vec j + \vec k\) nên \(\overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j + \vec k\).
c) Đúng. Vì G là trọng tâm của tam giác \(CB'D'\) nên
\(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} = \left( {\vec i + \vec j} \right) + \left( {\vec i + \vec k} \right) + \left( {\vec j + \vec k} \right) = 2\vec i + 2\vec j + 2\vec k\)
Suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\vec i + \frac{2}{3}\vec j + \frac{2}{3}\vec k\).
d) Sai. Vì M là trung điểm của \(B'C'\) nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} = \frac{1}{2}\left( {\vec i + \vec k} \right) + \frac{1}{2}\left( {\vec i + \vec j + \vec k} \right) = \vec i + \frac{1}{2}\vec j + \vec k\) do đó \(M\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\).
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 2\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hàm số có đạo hàm là \(y' = 4{x^3} - 4x\).
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng 2.
a) Đúng. Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x\).
b) Sai. Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
c) Đúng. Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
d) Đúng. Đồ thị hàm số có 2 điểm cực tiểu là \(A\left( { - 1; - 3} \right);B\left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;0} \right) \Rightarrow AB = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a;BC = 2a\). Cạnh bên \(SA = 3a\) và vuông góc với mặt đáy. Gọi \(O\) là tâm của đáy. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {SC} \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).
Tích vô hướng của 2 vecto \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng \(3{a^2}\).
Độ dài \(\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = a\sqrt 5 \).
a) Sai. Trong hình chóp \(S.ABCD\) có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SB} \).
b) Đúng. Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) (1).
Tương tự \(O\) cũng là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).
c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SD} = SA.SD.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SD} } \right) = 3a.a\sqrt {10} .\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} = 9{a^2}\).
d) Sai. Ta có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = SC = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {14} \).
Chi phí xuất bản \(x\) cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi \(C\left( x \right) = {x^2} - 2000x + {10^8}\) đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng.
\(M\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x}\) với \(T\left( x \right)\) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho \(x\) cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho \(x\) cuốn tạp chí là \(T\left( x \right) = {x^2} + 2000x + {10^8}\).
Chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn là \(M\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = x + \frac{{{{10}^8}}}{x} - 2000\).
Chi phí trung bình thấp nhất cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn là 18000.
Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn thì chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí \(M\left( x \right)\) sẽ tiệm cận với đường thẳng \(y = x + 2000\).
a) Đúng. Theo giả thiết, ta có: \(T\left( x \right) = C\left( x \right) + 4000x = {x^2} + 2000x + {10^8}\).
b) Sai. Chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn là \(M\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = x + \frac{{{{10}^8}}}{x} + 2000\).
c) Sai. Ta có: \(M\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = x + \frac{{{{10}^8}}}{x} + 2000 \ge 2\sqrt {x.\frac{{{{10}^8}}}{x}} + 2000 = 22000\).
Chi phí trung bình thấp nhất cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn là 22000.
d) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {M\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \frac{{{{10}^8}}}{x} + 2000 - \left( {x + 2000} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{{10}^8}}}{x}} \right] = 0\).
Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên \(y = x + 2000\). Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn thì chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí \(M\left( x \right)\) sẽ tiệm cận với đường \(y = x + 2000\).
PHẦN 3: (3 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ \(mg/l\) của thuốc trong máu sau \(x\) phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức \(C\left( x \right) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\).
(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning)
Để đưa ra những lời khuyên và cách xử lí phù hợp cho bệnh nhân, ta cần tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng. Em hãy cho biết hàm nồng độ thuốc trong máu \(C\left( x \right)\) đạt giá trị cực đại là bao nhiêu \(mg/l\) trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 10,6.
Xét hàm số \(y = C\left( x \right) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\) trên khoảng \(x \in \left( {0;6} \right)\).
Ta có: \(y' = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 }\\{x = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) do \(x \in \left( {0;6} \right) \Rightarrow x = \sqrt 2 \).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: nồng độ thuốc trong máu \(C\left( x \right)\) đạt giá trị cực đại là \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {mg/l} \right) \approx 10,6\left( {mg/l} \right)\) trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm.
Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả ở hình dưới. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.
Gọi \(S\) là diện tích mặt cắt. Với \(x\) đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em.
Trả lời: 20.
Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: \(2x + y = 80 \Leftrightarrow y = 80 - 2x\).
Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y > 0 \Leftrightarrow 80 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 40\). Suy ra \(0 < x < 40\).
Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S = xy = x\left( {80 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 80x\).
Ta có: \(S\left( x \right) = - 2{x^2} + 80x\) với \(x \in \left( {0;40} \right)\);
\(S'\left( x \right) = - 4x + 80;\,\,S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 80 = 0 \Leftrightarrow x = 20\).
Bảng biến thiên của hàm số \(S\left( x \right)\) như sau:
Do đó, hàm số \(S\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 20\) và \({S_{CD}} = 800\).
Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì \(x = 20\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Người ta thống kê được chi phí sửa chữa, vận hành máy móc trong một năm của một xưởng sản xuất được tính bởi công thức \(f\left( x \right) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}\) (triệu đồng). Biết \(x\) là số năm kể từ lúc máy móc vận hành lần đầu tiên, số năm càng nhiều thì chi phí càng cao. Khi số năm \(x\) đủ lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm gần với số nào? (làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
Đáp án: 57,1.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \frac{{2000}}{{35}} = \frac{{400}}{7}\).
Do đó đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = \frac{{400}}{7}\) làm tiệm cận ngang, tức là khi số năm \(x\) càng lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm càng tiến gần đến \(\frac{{400}}{7} \approx 57,1\) (triệu đồng).
Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phí mua vào một chiếc là 28 triệu đồng và bán ra với giá 34 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 400 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe X đang bán, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 100 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu thì lợi nhuận thu được cao nhất.
Đáp án: 33.
Gọi giá bán mới là \(x\) (triệu đồng) với \(x \in \left[ {28;34} \right]\).
Khi đó số xe bán ra là \(400 + \left( {34 - x} \right)100\).
Lợi nhuận thu được là:
\(f\left( x \right) = \left[ {400 + \left( {34 - x} \right)100} \right].\left( {x - 28} \right)\)\( = - 100{x^2} + 6600x - 106400 = - 100{\left( {x - 33} \right)^2} + 2500 \le 2500\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 33\).
Vậy giá bán mới là 33 triệu đồng thì lợi nhuận thu được cao nhất.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một ô tô tại điểm \(M\) và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(25{\rm{N}}\) và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Khi đó cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Đáp án: 43,3.
- Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \) (Với \(D\) là điểm sao cho \(AMBD\) là hình bình hành).
- Ta có: \(MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25{\rm{N}};MB = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25{\rm{N}}\).
- Do \(\widehat {AMB} = 60^\circ \) nên \(\Delta MAB\) là tam giác đều. Khi đó: \(MD = 2.\frac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \).
- Do ô tô đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec 0\).
Suy ra: \(\overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {DM} } \right| = MD = 25\sqrt 3 \left( {\rm{N}} \right)\).
Vậy cường độ của \(\overrightarrow {{F_3}} \) là \(25\sqrt 3 \approx 43,3\left( {\rm{N}} \right)\).
Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc \(30\left( {{\rm{km}}} \right)\) và phía Tây \(40\left( {{\rm{km}}} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1,5\left( {{\rm{km}}} \right)\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng \(Oxy\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát gần nhất với giá trị nào dưới đây (đơn vị km), (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 50.
Với cách chọn hệ trục tọa độ như trên ta có khoảng cách so với vị trí xuất phát của máy bay là
\(\sqrt {{{40}^2} + {{30}^2} + 1,{5^2}} \approx 50\).
