Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Đào Sơn Tây (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Viết lại hàm số dưới dạng chuẩn: \(y = \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}}\).

Đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{{3 \cdot 1 - 1 \cdot \left( { - 1} \right)}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).

Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 1\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Tính đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x + 4 - {x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

Xét dấu \(y'\):

\(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

\(y' < 0\) khi \(x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right)\).

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 12\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow x = \pm 2\) (cả hai nghiệm đều thuộc đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm cực trị:

\(y\left( { - 3} \right) = {\left( { - 3} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 3} \right) + 6 = - 27 + 36 + 6 = 15\); \(y\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 2} \right) + 6 = - 8 + 24 + 6 = 22\);

\(y\left( 2 \right) = {2^3} - 12 \cdot 2 + 6 = 8 - 24 + 6 = - 10\); \(y\left( 3 \right) = {3^3} - 12 \cdot 3 + 6 = 27 - 36 + 6 = - 3\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) là \(22\) tại \(x = - 2\).

Chọn D.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 8x - 3\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).

Qua điểm \(x = - 3\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\).

Giá trị cực đại của hàm số là: $y_{\text{CĐ}}=y\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+4\cdot {\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)+4=-27+36+9+4=22$.

Chọn B.

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\) hoặc \(x = - 2\).

Trong đó:

\(x = 0\) là nghiệm đơn (bậc 1).

\(x = 1\) là nghiệm bội chẵn (bậc 2).

\(x = - 2\) là nghiệm bội chẵn (bậc 4).

Vì đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ, nên \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu khi đi qua điểm \(x = 0\). Vậy hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn A.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 5\) nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là \(y = 0\) và \(y = 5\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(2 + 1 = 3\).

Chọn B.

Phương trình vận tốc của chuyển động là đạo hàm bậc nhất của phương trình quãng đường theo thời gian: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 9{t^2} + 8t - 1\).

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 4{\rm{s}}\) là: \(v\left( 4 \right) = 9 \cdot {4^2} + 8 \cdot 4 - 1 = 144 + 32 - 1 = 175{\rm{\;(m/s)}}\).

Chọn A.

Xét các phương án, đường tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận ngang \(y = 1\) loại trừ phương án có mẫu số hoặc hệ số không phù hợp.

Xét hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\):

Tiệm cận đứng: \(x = 1\).

Tiệm cận ngang: \(y = \frac{1}{1} = 1\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{1 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), hoàn toàn phù hợp với bảng biến thiên.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\):

Với \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\), \(f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

Với \(x \in \left( { - 2;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến.

Xét các phương án: Phát biểu “Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)” là sai vì trên khoảng này \(f'\left( x \right) > 0\) nên hàm số phải đồng biến.

Chọn C.

Dạng đồ thị có nhánh cuối đi xuống khi \(x \to + \infty \) nên hệ số của \({x^3}\) phải âm (\(a < 0\)).

Xét hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\):

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 6x\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Tại \(x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow \) Điểm cực tiểu là \(\left( {0; - 2} \right)\).

Tại \(x = 2 \Rightarrow y = - {2^3} + 3 \cdot {2^2} - 2 = 2 \Rightarrow \) Điểm cực đại là \(\left( {2;2} \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua đúng các điểm cực trị đã cho.

Chọn C.

Sắp xếp lại công thức hàm số: \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\).

Ta có giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến ra vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = \frac{2}{2} = 1\).

Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là \(y = 1\).

Chọn C.

Xét hàm số ở phương án C: \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\).

Tách phân thức: \(y = \frac{{x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) + 4}}{{x - 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}\).

Khi \(x \to \pm \infty \), \(\lim \frac{4}{{x - 1}} = 0 \Rightarrow \) Tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).

Tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Tính đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3\).

Với \(x = 3 \Rightarrow y = 3 - 2 + \frac{4}{{3 - 1}} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow \) Điểm cực tiểu là \(\left( {3;3} \right)\).

Hàm số này thỏa mãn tất cả các đặc điểm hình học của đồ thị.

Chọn C.

a) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, tại \(x = 1\) hàm số không xác định. Vậy tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng. Tại \[x = - 1\], hàm số có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \[x = - 1\] và giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) = 2\).

c) Đúng. Đạo hàm \(y'\) đổi dấu 2 lần khi đi qua các điểm \(x = - 1\) và \(x = 3\).

d) Sai. Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đạo hàm mang dấu dương \(\left( - \right)\) nên hàm số nghịch biến. Vì \(4 < 10\) nên ta có \(f\left( 4 \right) > f\left( {10} \right)\).

a) Đúng. Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Xét dấu chỉ ra đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = 1\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu.

b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), nên không thể đồng biến trên cả khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\).

c) Sai. Điểm cực đại là \({x_1} = - 1\), điểm cực tiểu là \({x_2} = 1\). Khi đó: \(2{x_1} + {x_2} = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 = - 1 \ne 1\).

d) Đúng. Tọa độ các điểm cực trị:

Với \({x_1} = - 1 \Rightarrow {y_1} = 3 \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right)\).

Với \({x_2} = 1 \Rightarrow {y_2} = - 1 \Rightarrow B\left( {1; - 1} \right)\).

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị: \(AB = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).

a) Sai. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; - 1} \right)\), đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

b) Đúng. Điểm nhô lên cao của đồ thị ứng với \(x = - 3\) (cực đại) và điểm lõm xuống ứng với \(x = - 1\) (cực tiểu).

c) Sai. Đồ thị hàm số phân thức dạng này không có tiệm cận ngang mà có tiệm cận đứng \(x = - 2\) và một đường tiệm cận xiên.

d) Đúng. Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\):

Tiệm cận đứng: \(x = - 2\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = - 1\).

Tại \(x = - 3 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow \) Cực đại \(\left( { - 3; - 3} \right)\).

Tại \(x = - 1 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Cực tiểu \(\left( { - 1;1} \right)\). Công thức này hoàn toàn chính xác với đồ thị.

a) Đúng. Thay \(t = 12\) vào công thức hàm số:

\(P\left( {12} \right) = - {12^3} + 27 \cdot {12^2} + 262144 = - 1728 + 3888 + 262144 = 264304\) (tấn).

b) Đúng. Xét hàm số \(P\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;60} \right]\), ta tìm đạo hàm: \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 54t\).

Cho \(P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t\left( {t - 18} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 18\) (nhận) hoặc \(t = 0\) (loại).

Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {1;60} \right]\), ta thấy hàm số đồng biến từ \(t = 1\) đến \(t = 18\) và nghịch biến từ \(t = 18\) đến \(t = 60\). Do đó, lượng gạo xuất khẩu đạt cực đại và lớn nhất vào ngày thứ 18.

c) Sai. Ta tính giá trị tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ {1;60} \right]\) để so sánh:

\(P\left( 1 \right) = - {1^3} + 27 \cdot {1^2} + 262144 = 262170\);

\(P\left( {60} \right) = - {60^3} + 27 \cdot {60^2} + 262144 = - 216000 + 97200 + 262144 = 143344\).

Do \(P\left( {60} \right) < P\left( 1 \right)\) nên lượng gạo xuất khẩu đạt thấp nhất vào ngày thứ 60, không phải ngày thứ 1.

d) Đúng. Với mọi \(t \in \left( {18;60} \right)\), đạo hàm \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 54t = - 3t\left( {t - 18} \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến, tức là sản lượng xuất khẩu giảm liên tục trong giai đoạn này.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: \(y = \frac{{x\left( {x - 1} \right) + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\).

Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x\).

Suy ra các hệ số: \(a = 1\) và \(b = 0\).

Giá trị của biểu thức \(P\) là: \(P = 5 \cdot 1 + 2024 \cdot 0 = 5\).

Đáp số:\(5\).

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;9} \right]\). Tính đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24x = 4x\left( {{x^2} - 6} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).

Trong đoạn \(\left[ {0;9} \right]\), ta chỉ nhận hai giá trị nghiệm là \(x = 0\) và \(x = \sqrt 6 \).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và đầu mút:

\(f\left( 0 \right) = {0^4} - 12 \cdot {0^2} - 1 = - 1\);

\(f\left( {\sqrt 6 } \right) = {\left( {\sqrt 6 } \right)^4} - 12 \cdot {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} - 1 = 36 - 72 - 1 = - 37\);

\(f\left( 9 \right) = {9^4} - 12 \cdot {9^2} - 1 = 6561 - 972 - 1 = 5588\).

Từ các giá trị trên, ta xác định được: \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( x \right) = - 37\] tại \(x = \sqrt 6 \); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( x \right) = 5588\) tại \[x = 9\].

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng: \(S = \max f\left( x \right) + \min f\left( x \right) = 5588 + \left( { - 37} \right) = 5551\).

Đáp số:\(5551\).

Phương trình vận tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm của phương trình chuyển động:

                      \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 36t - 35\).

Xét hàm số vận tốc \(v\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;30} \right]\). Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Đạo hàm của vận tốc theo thời gian (gia tốc): \(v'\left( t \right) = - 2t + 36\).

Cho \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 18\) (thỏa mãn \(18 \in \left[ {0;30} \right]\)).

Giá trị vận tốc tại các mút và điểm đỉnh parabol:

\(v\left( 0 \right) = - 35{\rm{\;(m/s)}}\);

\(v\left( {30} \right) = - {30^2} + 36 \cdot 30 - 35 = - 900 + 1080 - 35 = 145{\rm{\;(m/s)}}\);

\(v\left( {18} \right) = - {18^2} + 36 \cdot 18 - 35 = - 324 + 648 - 35 = 289{\rm{\;(m/s)}}\).

Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 30 giây đầu tiên là \(289{\rm{\;m/s}}\) tại thời điểm \(t = 18{\rm{\;s}}\).

Đáp số:\(289\).

Số lượng hồ sơ nộp tăng lên tương ứng với khoảng đồng biến của hàm số \(P\left( t \right)\), tức là khoảng mà \(P'\left( t \right) > 0.\)

Tính đạo hàm: \(P'\left( t \right) = \frac{3}{{50}}{t^2} - 3t + 36\).

Cho \(P'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{50}}{t^2} - 3t + 36 > 0 \Leftrightarrow {t^2} - 50t + 600 > 0\).

Giải phương trình bậc hai \({t^2} - 50t + 600 = 0\) ta được các nghiệm \(t = 20\) và \(t = 30\).

Xét dấu tam thức bậc hai, ta có \(P'\left( t \right) > 0\) khi \(t < 20\) hoặc \(t > 30\).

Kết hợp điều kiện thực tế của đợt nộp hồ sơ \(1 \le t \le 30\), khoảng thời gian mà số lượng hồ sơ tăng lên là \(t \in \left( {1;20} \right)\).

Do đó, ta xác định được khoảng tăng có \(a = 1\) và \(b = 20\).

Giá trị của biểu thức \(P\) là: \(P = \frac{b}{{3a}} = \frac{{20}}{{3 \cdot 1}} = \frac{{20}}{3} \approx 6,67\).

Đáp số:\(6,67\).

Dựa vào các đường tiệm cận và điểm đặc biệt trên đồ thị:

Đường tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số: \(cx - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{c}\).

Theo đồ thị ta có tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1\).

Đường tiệm cận ngang có phương trình \(y = \frac{a}{c}\).

Theo đồ thị ta có tiệm cận ngang \(y = - 1 \Rightarrow \frac{a}{1} = - 1 \Rightarrow a = - 1\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\), tức là giao điểm \(\left( {0; - 2} \right)\). Thay \(x = 0,y = - 2\) vào công thức hàm số: \( - 2 = \frac{{a \cdot 0 + b}}{{c \cdot 0 - 1}} \Rightarrow - 2 = \frac{b}{{ - 1}} \Rightarrow b = 2\).

Thay các giá trị \(a = - 1,b = 2,c = 1\) tìm được vào biểu thức \(T\): \(T = a + 2b + c = - 1 + 2 \cdot 2 + 1 = 4\).

Đáp số:\(4\).

Gọi khoảng cách từ điểm hạ cánh \(D\) đến điểm \(C\) là \(CD = x{\rm{\;(km)}}\) với \(0 \le x \le 8\).

Khi đó, độ dài quãng đường chèo thuyền trên biển của anh An là đoạn thẳng \(AD\). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ACD\): \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} {\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chèo thuyền từ \(A\) đến \(D\) là: \({t_1} = \frac{{AD}}{6} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ).

Quãng đường còn lại anh An chạy bộ dọc theo bờ biển từ \(D\) đến \(B\) có độ dài là:

\(DB = BC - CD = 8 - x{\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chạy bộ từ \(D\) đến \(B\) là: \({t_2} = \frac{{DB}}{8} = \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).

Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) của anh An là một hàm số theo biến \(x\):

\(f\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8},\,\,\,x \in \left[ {0;8} \right]\).

Để tìm thời gian di chuyển ngắn nhất, ta tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\): \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\).

Cho đạo hàm bằng \(0\) để tìm điểm cực trị:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow 8x = 6\sqrt {9 + {x^2}} \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế với điều kiện \(x \ge 0\):

\(16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 + 9{x^2} \Leftrightarrow 7{x^2} = 81 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \approx 3,40{\rm{\;(km)}}\).

Giá trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;8} \right]\). Ta tính và so sánh giá trị thời gian tại các điểm biên và điểm cực trị:

Tại điểm đầu mút \(x = 0\): \(f\left( 0 \right) = \frac{3}{6} + \frac{8}{8} = 0,5 + 1 = 1,5\) giờ.

Tại điểm đầu mút \(x = 8\): \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {9 + 64} }}{6} + \frac{0}{8} = \frac{{\sqrt {73} }}{6} \approx 1,42\) giờ.

Tại điểm cực trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\): \(f\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{\sqrt {9 + \frac{{81}}{7}} }}{6} + \frac{{8 - \frac{9}{{\sqrt 7 }}}}{8} = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\) giờ.

So sánh ba giá trị trên, thời gian nhỏ nhất để anh An đến được điểm B là \(1,33\) giờ.

Đáp số:\(1,33\).