Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Lê Quý Đôn (TP.HCM) có đáp án

Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) ta có:

Đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x = - 2\), do đó \(x = - 2\) là một điểm cực đại.

Đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm \(x = 0\), do đó \(x = 0\) là một điểm cực tiểu.

Đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x = 3\), do đó \(x = 3\) là một điểm cực đại.

Như vậy, hàm số có tất cả \(3\) điểm cực trị.

Chọn C.

Quan sát đồ thị, ta thấy khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to - \infty \), do đó hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) phải âm (\(a < 0\)). Loại đáp án A.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 1} \right)\), thay \(x = 0\) vào các hàm số còn lại:

Đáp án B: \(y = 1\) (Loại).

Đáp án C và D đều cho \(y = - 1\).

Đồ thị có điểm cực đại tại \(\left( {2;3} \right)\).

Thay \(x = 2\) vào hàm số ở đáp án D: \(y\left( 2 \right) = - {2^3} + 3 \cdot {2^2} - 1 = - 8 + 12 - 1 = 3\) (Thỏa mãn).

Thay \(x = 2\) vào hàm số ở đáp án C: \(y\left( 2 \right) = - {2^3} + 3 \cdot 2 - 1 = - 3 \ne 3\) (Loại).

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm \(\left( {1;1} \right)\), suy ra giá trị lớn nhất \(M = 1\).

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm \(\left( { - 1; - 3} \right)\), suy ra giá trị nhỏ nhất \(m = - 3\).

Giá trị của biểu thức cần tìm là: \(2M + 3m = 2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 2 - 9 = - 7\).

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) vì tại đó đạo hàm \(y' < 0\).

Xét các phương án:

Khoảng \(\left( {2;5} \right)\) là tập con của khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).

Chọn C.

Tiệm cận ngang:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1\), suy ra đường thẳng \(y = 1\) là một tiệm cận ngang.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\), vẫn là đường thẳng \(y = 1\).

Vậy đồ thị hàm số có \(1\) đường tiệm cận ngang là \(y = 1\).

Tiệm cận đứng:

Tại điểm \(x = 1\), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \), suy ra đường thẳng \(x = 1\) là một tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có \(1\) đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(1 + 1 = 2\).

Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} \).

Chọn B.

Hàm số phân thức hữu tỷ \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(c \ne 0,ad - bc \ne 0\):

Tiệm cận đứng là đường thẳng nghiệm của mẫu số: \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Tiệm cận ngang là đường thẳng: \(y = \frac{a}{c} = \frac{3}{1} = 3\).

Chọn D.

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) bằng tích độ dài của chúng nhân với côsin của góc xen giữa hai vectơ đó: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|\left| {\vec b} \right| \cdot \cos \varphi \).

Chọn A.

Xét hàm số \(y = 4{x^3} - 3{x^4}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = 12{x^2} - 12{x^3} = 12{x^2}\left( {1 - x} \right)\).

Giải phương trình \(y' = 0\): \(12{x^2}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]}\\{x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm nghiệm của đạo hàm:

\(y\left( { - 1} \right) = 4 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^4} = - 4 - 3 = - 7\); \(y\left( 0 \right) = 4 \cdot {0^3} - 3 \cdot {0^4} = 0\);

\(y\left( 1 \right) = 4 \cdot {1^3} - 3 \cdot {1^4} = 4 - 3 = 1\); \(y\left( 2 \right) = 4 \cdot {2^3} - 3 \cdot {2^4} = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 16 = 32 - 48 = - 16\).

So sánh các giá trị trên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 16\) tại \(x = 2\).

Chọn A.

Áp dụng quy tắc hình hộp cho ba vectơ chung gốc xuất phát từ đỉnh \(D\): \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {DB'} \).

Chọn C.

a) ĐÚNG. Thay \(x = 24\) vào hàm số: \(f\left( {24} \right) = \frac{{2 \cdot 24 - 3}}{{{{24}^2} + 4}} = \frac{{48 - 3}}{{576 + 4}} = \frac{{45}}{{580}} = \frac{9}{{116}}\).

b) SAI. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 3}}{{{x^2} + 4}} = 0\).

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) (trục hoành) làm tiệm cận ngang, không phải trục tung.

c) ĐÚNG. Tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\].

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 8 - 4{x^2} + 6x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 6x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\).

Giải \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên:

Tại \(x = 4\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 4\).

d) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên, tập giá trị của hàm số là đoạn \(\left[ {a;b} \right] = \left[ { - 1;\frac{1}{4}} \right]\).

Tính giá trị biểu thức \(3a + 4b = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 \cdot \left( {\frac{1}{4}} \right) = - 3 + 1 = - 2\).

a) ĐÚNG. Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} \).

Do đó: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} } \right) = - {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = - {6^2} = - 36\).

b) ĐÚNG. Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

Độ dài đường chéo hình vuông cạnh \(6\) là: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 6\sqrt 2 \).

c) ĐÚNG. Do \(CC'\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(CC' \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} = 0\).

d) ĐÚNG. Áp dụng quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh \(6\) là: \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} = 6\sqrt 3 \).

a) ĐÚNG. Giao điểm với trục tung (cho \(x = 0\)): \(y = \frac{{ - 2 \cdot 0 + 3}}{{0 + 1}} = 3\). Vậy đồ thị giao với trục tung tại \(\left( {0;3} \right)\).

b) ĐÚNG. Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot 1 - 3 \cdot 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1\).

Vì \(y' < 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Khoảng \(\left( {0;1} \right)\) nằm hoàn toàn trong khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\).

c) ĐÚNG. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 2 \Rightarrow y = - 2\) là tiệm cận ngang.

d) SAI. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không có điểm cực trị nào vì đạo hàm \(y'\) luôn âm (hoặc luôn dương) trên các khoảng xác định và không đổi dấu.

Gọi độ rộng của phần gấp lên ở mỗi bên là \(x{\rm{\;(cm)}}\) với điều kiện \(0 < 2x < 32 \Leftrightarrow 0 < x < 16\).

Khi đó, phần đáy của máng xối có chiều rộng là: \(32 - 2x{\rm{\;(cm)}}\).

Vì hai bên được gấp lên một góc vuông nên thiết diện mặt ngang của máng xối là một hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là \(x\) và \(32 - 2x\).

Diện tích của thiết diện là: \(S\left( x \right) = x\left( {32 - 2x} \right) = 32x - 2{x^2}\).

Đây là một hàm số bậc hai, ta có thể tìm giá trị lớn nhất bằng cách đưa về dạng bình thường hoặc dùng đạo hàm: \(S'\left( x \right) = 32 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 8\) (thỏa mãn).

Diện tích lớn nhất thu được là: \(S\left( 8 \right) = 8 \cdot \left( {32 - 2 \cdot 8} \right) = 8 \cdot 16 = 128{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Đáp án: 128.

Trọng lực tác dụng lên đĩa cân có độ lớn là: \(P = m \cdot g = 3 \cdot 10 = 30{\rm{\;(N)}}\).

Hệ ở trạng thái cân bằng nên hợp lực của \(4\) lực căng xích phải cân bằng với trọng lực \(\vec P\). Do tính chất đối xứng của hình chóp tứ giác đều, độ lớn lực căng trên mỗi sợi xích là như nhau (\(T = {T_{SA}} = {T_{SB}} = {T_{SC}} = {T_{SD}}\)) và hình chiếu của các lực này lên trục thẳng đứng (đường cao \(SO\) của hình chóp) đều bằng nhau.

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\), suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \), suy ra là tam giác vuông cân tại \(S\). Do đó góc giữa cạnh bên \(SA\) và đường cao \(SO\) là: \(\widehat {ASO} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Chiếu điều kiện cân bằng lực lên phương thẳng đứng \(SO\):

\(4 \cdot T \cdot \cos \widehat {ASO} = P \Leftrightarrow 4 \cdot T \cdot \cos 45^\circ = 30\)\( \Leftrightarrow 4 \cdot T \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 30 \Leftrightarrow T = \frac{{30\sqrt 2 }}{4}\).

Theo đề bài, độ lớn lực căng có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\), suy ra \(a = 30\).

Đáp án: 30.

Điều kiện xác định: \(4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{ - 2x}}{{4 - {x^2}}}\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn).

Qua điểm \(x = 0\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm (vì mẫu số luôn dương trên tập xác định, tử số \( - 2x > 0\) khi \(x < 0\) và \( - 2x < 0\) khi \(x > 0\)). Do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\).

Tọa độ điểm cực đại \(M\): \(a = 0\); \(b = y\left( 0 \right) = \ln \left( {4 - {0^2}} \right) = \ln 4\).

Giá trị biểu thức: \(2a + 3b = 2 \cdot 0 + 3\ln 4 = 3\ln 4 \approx 4,16\).

Đáp án: 4,16.

Điều kiện xác định: \(25 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5;5} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = 1 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {25 - {x^2}} }} = 1 - \frac{x}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\).

Giải phương trình \(y' = 0\):

\(1 - \frac{x}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {25 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{25 - {x^2} = {x^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{2{x^2} = 25}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Tính giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:

\(y\left( { - 5} \right) = - 5 + \sqrt {25 - {{\left( { - 5} \right)}^2}} = - 5\); \(y\left( 5 \right) = 5 + \sqrt {25 - {5^2}} = 5\);

\(y\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} + \sqrt {25 - \frac{{50}}{4}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = 5\sqrt 2 \).

So sánh các giá trị thu được: \( - 5 < 5 < 5\sqrt 2 \). Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \( - 5\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \( - 5\).

Đáp án: −5.