Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án
25 câu hỏi
PHẦN I. (3 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), đạo hàm \(y' > 0\) và mũi tên của biến thiên \(y\) đi lên từ \(1\) đến \(3\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
Chọn C.
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {0;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( {1;3} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 3\).
Xét \(y' < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
\(M\left( { - 1;3} \right)\).
\(y = 3\).
\(x = - 1\).
\(x = 1\).
Điểm cực đại của hàm số là giá trị của biến số \(x\) tại vị trí đồ thị đạt đỉnh lồi lên.
Từ đồ thị, ta thấy điểm cao nhất cục bộ của đồ thị có tọa độ là \(\left( { - 1;3} \right)\).
Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
Chọn C.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\). Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
\(1\).
\( - 2\).
\(4\).
\(3\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = {x^2} - 4x + 3\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Xét dấu \(y'\):
\(y' > 0\) trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(y' < 0\) trên \(\left( {1;3} \right)\).
Điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 3\).
Giá trị cực tiểu tương ứng: \(y\left( 3 \right) = \frac{1}{3} \cdot {3^3} - 2 \cdot {3^2} + 3 \cdot 3 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1\).
Chọn A.
\(M + m = \frac{1}{5}\).
\(M + m = - \frac{1}{5}\).
\(M + m = - \frac{4}{5}\).
\(M + m = - 1\).
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) vì mẫu số \(2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \frac{1}{2}\) không thuộc \(\left[ {0;2} \right]\).
Đạo hàm: \(y' = \frac{{1 \cdot 1 - \left( { - 1} \right) \cdot 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\).
Vì \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Giá trị nhỏ nhất: \(m = y\left( 0 \right) = \frac{{0 - 1}}{{2 \cdot 0 + 1}} = - 1\).
Giá trị lớn nhất: \(M = y\left( 2 \right) = \frac{{2 - 1}}{{2 \cdot 2 + 1}} = \frac{1}{5}\).
Tính tổng: \(M + m = \frac{1}{5} + \left( { - 1} \right) = - \frac{4}{5}\).
Chọn C.
\(2\).
\(3\).
\(1\).
\(0\).
Phương trình mẫu số: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 1\).
Tại \(x = 1\), tử số bằng \(4 \ne 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} = + \infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tại \(x = - 1\), tử số bằng \( - 4 \ne 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} = + \infty \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng.
Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?
\(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\).
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\).
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 1\) (vị trí hai vạch song song), loại đáp án D.
Khi \(x \to \pm \infty \), giá trị của \(y \to - 1\). Do đó đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\).
Xét đáp án B: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = 1 \ne - 1\) (Loại).
Xét đáp án C: \(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\). Đạo hàm \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\), phù hợp với dấu \( - \) trong bảng biến thiên.
Chọn C.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:
\(0\).
\( - 1\).
\(1\).
\(2\).
Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ \(x = 0\).
Thay \(x = 0\) vào phương trình hàm số: \(y = - 1\).
Chọn B.
Cho lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (hình minh họa).
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {DA} \).
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AD'} \).
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AA'} \).
Trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), ta có vectơ \(\overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD} \).
Thay vào biểu thức: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm).
Chọn C.
\(\left( {0;5;0} \right)\).
\(\left( { - 2; - 5;1} \right)\).
\(\left( {2;5;1} \right)\).
\(\left( { - 2;0;1} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) lên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) sẽ giữ nguyên hoành độ \(x\), cao độ \(z\) và cho tung độ \(y = 0\).
Vậy tọa độ hình chiếu cần tìm là \(\left( { - 2;0;1} \right)\).
Chọn D.
\(\vec x = \left( {0;0; - 8} \right)\).
\(\vec x = \left( {0;0;6} \right)\).
\(\vec x = \left( {4;6; - 8} \right)\).
\(\vec x = \left( {0;0; - 6} \right)\).
Biểu diễn tọa độ các vectơ: \(\vec a = \left( {2;3; - 1} \right)\) và \(\vec b = \left( {2;3; - 7} \right)\).
Tọa độ của vectơ hiệu: \(\vec x = \vec a - \vec b = \left( {2 - 2;3 - 3; - 1 - \left( { - 7} \right)} \right) = \left( {0;0;6} \right)\).
Chọn B.
\(P = 2\).
\(P = 2\sqrt 3 \).
\(P = 8\).
\(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Theo công thức tích vô hướng của hai vectơ: \(P = \vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).
Thay số: \(P = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\).
Chọn A.
PHẦN II. (4 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = - x + 2\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là \(y = - x + 1\).
a) ĐÚNG: \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} + x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - 2x + x + 1 + {x^2} - x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
b) SAI: Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\).
Xét dấu \(f'\left( x \right)\) cho thấy trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến.
c) ĐÚNG: Thực hiện phép chia tử cho mẫu: \(f\left( x \right) = - x + 2 - \frac{4}{{x + 1}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right] = 0\) nên tiệm cận xiên là \(y = - x + 2\).
d) SAI: Đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất \(y = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\) có dạng \(y = \frac{{u'\left( x \right)}}{{v'\left( x \right)}}\).
Ta có \(u'\left( x \right) = - 2x + 1\) và \(v'\left( x \right) = 1\). Do đó đường thẳng cực trị là \(y = - 2x + 1\).
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 6 \).
Tọa độ của \(\vec u = - 2\vec a + 3\vec b\) là \(\left( {10; - 5;4} \right)\).
Vectơ \(\vec c\) cùng phương với vectơ \(\vec b\) thì \(x + y = 3\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Khi đó \(\cos \varphi = - \frac{2}{3}\).
a) ĐÚNG:\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {4 + 1 + 1} = \sqrt 6 \).
b) SAI:\( - 2\vec a = \left( {4; - 2; - 2} \right)\) và \(3\vec b = \left( {6; - 3;3} \right)\).
\(\vec u = - 2\vec a + 3\vec b = \left( {4 + 6; - 2 - 3; - 2 + 3} \right) = \left( {10; - 5;1} \right) \ne \left( {10; - 5;4} \right)\).
c) SAI:\(\vec c\) cùng phương với \(\vec b \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{{ - 1}} = \frac{y}{1} \Leftrightarrow x = - 2\) và \(y = - 1\).
Khi đó \(x + y = - 2 + \left( { - 1} \right) = - 3 \ne 3\).
d) ĐÚNG: \(\vec a \cdot \vec b = \left( { - 2} \right) \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 1 = - 4 - 1 + 1 = - 4\); \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \).
Do đó, \(\cos \varphi = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;1} \right)\).
Độ dài cạnh \(BC\) bằng \(\sqrt {86} \).
Tọa độ trọng tâm \(G\) của \({\rm{\Delta }}ABC\) là \(G\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên trục hoành và cách đều 2 điểm \(A,B\). Khi đó \(a + b + c = - 1\).
a) SAI:\(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 3;3 - 0; - 2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 2;3; - 1} \right)\).
b) ĐÚNG:\(\overrightarrow {BC} = \left( {2 - 1; - 6 - 3;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1; - 9;2} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {1 + 81 + 4} = \sqrt {86} \).
c) ĐÚNG: \({x_G} = \frac{{3 + 1 + 2}}{3} = 2,\quad {y_G} = \frac{{0 + 3 - 6}}{3} = - 1,\quad {z_G} = \frac{{ - 1 - 2 + 0}}{3} = - 1 \Rightarrow G\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
d) ĐÚNG:\(M \in Ox \Rightarrow M\left( {a;0;0} \right)\) nên \(b = 0,c = 0\).
\(M{A^2} = M{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {0 - 3} \right)^2} + {\left( {0 - \left( { - 2} \right)} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 + 1 = {a^2} - 2a + 1 + 9 + 4 \Leftrightarrow - 4a = 4 \Leftrightarrow a = - 1\).
Do đó \(a + b + c = - 1\).
Thể tích nước của một bể bơi sau \(t\) phút bơm được tính theo công thức
\(V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5{t^3} + 90{t^2}} \right){\rm{,\;}}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) với \(0 \le t \le 120\).
Tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\) được tính bởi \(v\left( t \right) = V'\left( t \right)\).
Thể tích nước sau \(10\) phút là \(80{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t = 20\) phút là \(30{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}}} \right)\).
Trong \(30\) phút đầu thể tích nước lớn nhất trong bể là \(675{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Tốc độ bơm nước cao nhất là \(60{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}}} \right)\).
a) SAI:\(V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5 \cdot {{10}^3} + 90 \cdot {{10}^2}} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 500 + 9000} \right) = 85{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
b) ĐÚNG: Hàm tốc độ: \(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5{t^2} + 180t} \right)\).
Tại \(t = 20\): \(v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5 \cdot 400 + 180 \cdot 20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 600 + 3600} \right) = 30{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}}\).
c) ĐÚNG: Xét hàm \(V\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;30} \right]\). Vì \(V'\left( t \right) = v\left( t \right) > 0\) với mọi \(t \in \left( {0;30} \right)\) nên hàm số đồng biến.
Thể tích lớn nhất trong 30 phút đầu là \(V\left( {30} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0,5 \cdot {{30}^3} + 90 \cdot {{30}^2}} \right) = 675{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
d) SAI: Tìm giá trị lớn nhất của \(v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5{t^2} + 180t} \right)\).
Đây là hàm bậc hai có đỉnh tại \(t = \frac{{ - 180}}{{2 \cdot \left( { - 1,5} \right)}} = 60\).
Tốc độ cực đại đạt được tại \(t = 60\): \(v\left( {60} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1,5 \cdot {{60}^2} + 180 \cdot 60} \right) = 54{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}} \ne 60\).
PHẦN III. (3 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời các câu hỏi từ 1 đến 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng bao nhiêu?
__
Giá trị cực đại của hàm số là (tại \(x = - 1\)).
Giá trị cực tiểu của hàm số là \({y_{CT}} = 1\) (tại \(x = 3\)).
Tổng cần tìm: .
Đáp số: 6.
Giả sử độ giảm đau của một bệnh nhân khi dùng một loại thuốc được mô tả bởi hàm
\(R\left( x \right) = {x^2}\left( {60 - x} \right)\), với \(0 \le x \le 60\),
trong đó \(x\) là liều lượng thuốc (đơn vị: mg). Hỏi nên tiêm cho bệnh nhân liều lượng thuốc bao nhiêu để độ giảm đau đạt giá trị lớn nhất?
___
Xét hàm số \(R\left( x \right) = 60{x^2} - {x^3}\) trên đoạn \(\left[ {0;60} \right]\).
Đạo hàm: \(R'\left( x \right) = 120x - 3{x^2}\).
Cho \(R'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {40 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 40\).
Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ {0;60} \right]\):
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 40\).
Kết luận: Để độ giảm đau đạt giá trị lớn nhất theo mô hình đã cho, nên tiêm liều 40 mg.
Đáp số: 40.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới.
Tính giá trị của biểu thức \(T = f\left( {20} \right) - f\left( 0 \right)\).
_____
Từ đồ thị ta thấy hai điểm cực trị của hàm số có hoành độ lần lượt là \(x = - 1\) và \(x = 2\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\). Do đó, \(x = - 1\) và \(x = 2\) là hai nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).
Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 + 2 = - \frac{{2b}}{3} \Rightarrow b = \frac{{ - 3}}{2}}\\{ - 1 \cdot 2 = \frac{c}{3} \Rightarrow c = - 6}\end{array}} \right.\).
Biểu thức cần tính: \(T = f\left( {20} \right) - f\left( 0 \right) = \left( {{{20}^3} + b \cdot {{20}^2} + c \cdot 20 + d} \right) - d = 8000 + 400b + 20c\)\( = 7280\).
Đáp số: 7280.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 10\), \(AD = 16\), \(AA' = 8\) (xem hình minh họa bên dưới). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với \(A\), các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \) lần lượt cùng hướng với \(\vec i,\vec j,\vec k\). Gọi \(G\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(A'BD\). Tính \(T = x + 2y + 3z\).
___
Xác định tọa độ các đỉnh từ giả thiết của hệ trục tọa độ: \(A\left( {0;0;0} \right)\); \(B\left( {10;0;0} \right)\) (do \(AB = 10\)); \(D\left( {0;16;0} \right)\) (do \(AD = 16\)); \(A'\left( {0;0;8} \right)\) (do \(AA' = 8\)).
Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(A'BD\):
\(x = \frac{{0 + 10 + 0}}{3} = \frac{{10}}{3}\); \(y = \frac{{0 + 0 + 16}}{3} = \frac{{16}}{3}\); \(z = \frac{{8 + 0 + 0}}{3} = \frac{8}{3}\).
Tính giá trị \(T\): \(T = x + 2y + 3z = \frac{{10}}{3} + 2 \cdot \left( {\frac{{16}}{3}} \right) + 3 \cdot \left( {\frac{8}{3}} \right) = \frac{{10 + 32 + 24}}{3} = \frac{{66}}{3} = 22\).
Đáp số: 22.
Một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 4000} \right)\). Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm
\(G\left( x \right) = 2x + 270\).
Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức
\(F\left( x \right) = {x^3} - 10554{x^2} + 37137870x - 43545500000\).
Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được \( \ge 100\) triệu đồng?
_____
Tổng chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là: \(C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x\) (nghìn đồng).
Đổi \(100\) triệu đồng = \(100\,000\) nghìn đồng.
Hàm lợi nhuận thu được: \(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = {x^3} - 10556{x^2} + 37137600x - 43545500000\) (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được \( \ge 100000\) nghìn đồng thì \[P\left( x \right) \ge 100\,000\]
\( \Leftrightarrow {x^3} - 10556{x^2} + 37137600x - 43\,545\,600000 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3456} \right)\left( {x - 3500} \right)\left( {x - 3600} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3456 \le x \le 3500\\x \ge 3600\end{array} \right.\).
Giao với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 4000\) nên \({x_{\min }} = 3456\) (sản phẩm).
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 3456 sản phẩm.
Đáp số: 3456.
Một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 5000} \right)\). Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm
\(G\left( x \right) = 2x + 270\).
Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức
\(F\left( x \right) = {x^3} - 13865{x^2} + 64093370x - 98738640000\).
Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được \( \ge 100\) triệu đồng?
_____
Tổng chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là: \(C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x\) (nghìn đồng).
Đổi \(100\) triệu đồng = \(100\,000\) nghìn đồng.
Hàm lợi nhuận thu được: \(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = {x^3} - 13867{x^2} + 64093100x - 98738640000\) (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được \( \ge 100000\) nghìn đồng thì \[P\left( x \right) \ge 100\,000\]
\( \Leftrightarrow {x^3} - 13867{x^2} + 64093100x - 98738740000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \ge 4713\).
Giao với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 5000\) nên \({x_{\min }} = 4713\) (sản phẩm).
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 4713 sản phẩm.
Đáp số: 4713.
Một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 6000} \right)\). Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm
\(G\left( x \right) = 2x + 270\).
Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức
\(F\left( x \right) = {x^3} - 17176{x^2} + 98357270x - 187714580000\).
Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được \( \ge 100\) triệu đồng?
_____
Tổng chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là: \(C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x\) (nghìn đồng).
Đổi \(100\) triệu đồng = \(100\,000\) nghìn đồng.
Hàm lợi nhuận thu được: \(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = {x^3} - 17178{x^2} + 98357000x - 187714580000\) (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được \( \ge 100000\) nghìn đồng thì \[P\left( x \right) \ge 100\,000\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} - 17178{x^2} + 98357000x - 187714680000 \ge 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {x - 5678} \right)\left( {x - 5700} \right)\left( {x - 5800} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5678 \le x \le 5700\\x \ge 5800\end{array} \right.\).
Giao với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 6000\) nên \({x_{\min }} = 5678\) (sản phẩm).
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 5678 sản phẩm.
Đáp số: 5678.
Một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 7000} \right)\). Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm
\(G\left( x \right) = 2x + 270\).
Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức
\(F\left( x \right) = {x^3} - 20487{x^2} + 139929570x - 318539780000\).
Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được \( \ge 100\) triệu đồng?
_____
Tổng chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là: \(C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x\) (nghìn đồng).
Đổi \(100\) triệu đồng = \(100\,000\) nghìn đồng.
Hàm lợi nhuận thu được: \(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = {x^3} - 20489{x^2} + 139929300x - 318539780000\) (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được \( \ge 100000\) nghìn đồng thì \[P\left( x \right) \ge 100\,000\]
\( \Leftrightarrow {x^3} - 20489{x^2} + 139929300x - 318539880000 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 6789} \right)\left( {x - 6800} \right)\left( {x - 6900} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6789 \le x \le 6800\\x \ge 6900\end{array} \right.\)
Giao với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 7000\) nên \({x_{\min }} = 6789\) (sản phẩm).
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 6789 sản phẩm.
Đáp số: 6789.
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ \(A\left( {507;525;502} \right)\), \(B\left( {500;501;502} \right)\), \(C\left( {520;516;502} \right)\). Tính độ dài \(HK\) với \(H\) là tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\), \(K\) là tọa độ chân đường phân giác trong của góc \(B\) (\(K \in AC\)). (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).
____
Nhận thấy cả ba điểm \(A,B,C\) đều có cao độ bằng nhau (\(z = 502\)). Do đó, tam giác \(ABC\) nằm hoàn toàn trong mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Để đơn giản hóa tính toán, ta có thể bỏ qua cao độ \(z\) trong các bước trung gian và xét bài toán trên mặt phẳng với tọa độ các đỉnh:
\(A\left( {507;525} \right),\quad B\left( {500;501} \right),\quad C\left( {520;516} \right)\).
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc \(H\) của \(A\) lên \(BC\)
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {520 - 500;516 - 501} \right) = \left( {20;15} \right) = 5\left( {4;3} \right)\).
Vì điểm \(H\) thuộc đường thẳng \(BC\), ta biểu diễn tọa độ của \(H\) theo tham số \(t\): \(H\left( {500 + 4t;501 + 3t} \right)\).
Suy ra vectơ \(\overrightarrow {AH} = \left( {500 + 4t - 507;501 + 3t - 525} \right) = \left( {4t - 7;3t - 24} \right)\).
Vì \(AH \bot BC\), tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(0\):
\(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {4t - 7} \right) + 3\left( {3t - 24} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 16t - 28 + 9t - 72 = 0 \Leftrightarrow 25t = 100 \Leftrightarrow t = 4\).
Thay \(t = 4\) ngược lại tọa độ điểm \(H\) (và thêm cao độ \(z = 502\)): \(H\left( {516;513;502} \right)\).
Tìm tọa độ chân đường phân giác trong \(K\) của góc \(B\)
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ: \(\frac{{KA}}{{KC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\).
Ta tính độ dài các cạnh \(BA\) và \(BC\):
\(BA = \sqrt {{{\left( {507 - 500} \right)}^2} + {{\left( {525 - 501} \right)}^2}} = \sqrt {{7^2} + {{24}^2}} = \sqrt {625} = 25\);
\(BC = \sqrt {{{\left( {520 - 500} \right)}^2} + {{\left( {516 - 501} \right)}^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = \sqrt {625} = 25\).
Do \(BA = BC = 25\), tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\).
Suy ra \(\frac{{KA}}{{KC}} = 1\), nghĩa là \(K\) chính là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
Tọa độ điểm \(K\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ của \(A\) và \(C\):
\({x_K} = \frac{{507 + 520}}{2} = \frac{{1027}}{2}\); \({y_K} = \frac{{525 + 516}}{2} = \frac{{1041}}{2}\); \({z_K} = 502\).
Vậy tọa độ điểm \(K\) là: \(K\left( {\frac{{1027}}{2};\frac{{1041}}{2};502} \right)\).
Như vậy \(H\left( {516;513;502} \right)\),\(K\left( {\frac{{1027}}{2};\frac{{1041}}{2};502} \right)\).
Tính độ dài đoạn thẳng \(HK\)
Độ dài đoạn thẳng \(HK\): \(HK = \sqrt {{{\left( {\frac{{1027}}{2} - 516} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1041}}{2} - 513} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{5\sqrt {10} }}{2}\).
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \(HK = \frac{{5\sqrt {10} }}{2} \approx 7,9\).
Đáp số: 7,9.
