Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phan Đăng Lưu (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\), ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi qua các điểm \(x = - 1\), \(x = 2\) (từ dương sang âm) và \(x = 0\), \(x = 4\) (từ âm sang dương). Do đó, hàm số có 4 điểm cực trị.

Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\) (giá trị cực tiểu tương ứng là \(y = 0\)).

Chọn C.

Ta giải phương trình đạo hàm:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right){\left( {1 - x} \right)^3} \cdot 2\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 2} \right){\left( {1 - x} \right)^3} = 0\).

Phương trình có các nghiệm:

\(x = 2\) là nghiệm bội chẵn (bội 2), do đó \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu khi qua \(x = 2\).

\(x = - 2\) là nghiệm bội lẻ (bội 1).

\(x = 1\) là nghiệm bội lẻ (bội 3).

Vì \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm bội lẻ là \(x = - 2\) và \(x = 1\), hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Chọn D.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), đường cong đồ thị có hướng đi lên từ trái sang phải, chứng tỏ hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Chọn B.

Ta nhận thấy: \(\vec y = - 10\vec a + 2\vec b = - 2\left( {5\vec a - \vec b} \right) = - 2\vec x\).

Do \(\vec y = - 2\vec x\), hai vectơ \(\vec x\) và \(\vec y\) cùng phương với nhau. Từ đó suy ra ba vectơ \(\vec x,\vec y,\vec z\) đồng phẳng vì có hai vectơ cùng phương. Do đó câu B đúng, câu A sai.

Chọn B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 18x + 15\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 5}\end{array}} \right.\).

Lập bảng biến thiên, ta xác định được tại \(x = 5\) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 5 = \frac{{15}}{3}\).

Chọn A.

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), theo tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).

Chèn điểm \(S\) vào hệ thức:

\(\left( {\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {SA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {SB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {SC} } \right) = \vec 0\)\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \).

Chọn A.

Xét trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), các giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt và biên là:

\(f\left( 0 \right) = 5,\quad f\left( 2 \right) = 1,\quad f\left( 3 \right) = 4\).

So sánh các giá trị trên, ta tìm được:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\) là \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 5\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\) là \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1\).

Vậy \(M - m = 5 - 1 = 4\).

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm \(x = - 1\). Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\).

Chọn B.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số:

\(y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 2}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = x + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = x + 1 - \frac{3}{{x + 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{3}{{x + 2}}} \right) = 0\), đường thẳng \(y = x + 1\) chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Vì \(I\) đối xứng với \(M\) qua \(N\) nên \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MI\).

Ta có hệ thức tọa độ trung điểm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{{x_M} + {x_I}}}{2}}\\{{y_N} = \frac{{{y_M} + {y_I}}}{2}}\\{{z_N} = \frac{{{z_M} + {z_I}}}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = 2{x_N} - {x_M} = 2 \cdot 0 - 6 = - 6}\\{{y_I} = 2{y_N} - {y_M} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - 1 = - 7}\\{{z_I} = 2{z_N} - {z_M} = 2 \cdot \left( { - 5} \right) - \left( { - 3} \right) = - 7}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(I\) là \(I\left( { - 6; - 7; - 7} \right)\).

Chọn C.

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0\).

Xét bất phương trình: \( - {x^2} + 5x - 4 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 1}\\{x \ge 4}\end{array}} \right.\).

Như vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Xét các phương án lựa chọn, khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\) là tập con của \(\left( {4; + \infty } \right)\), do đó hàm số cũng nghịch biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\).

Chọn B.

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ý a): ĐÚNG.

Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Ý b): SAI.

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

Bảng xét dấu \(y'\) chỉ ra rằng \(y' < 0\) trên \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\). Vì hàm số không xác định tại \(x = 2\), hàm số không thể nghịch biến liên tục trên toàn khoảng \(\left( {1;3} \right)\).

Ý c): SAI.

Qua \(x = 1\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 1\) là điểm cực đại. Qua \(x = 3\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương nên \(x = 3\) là điểm cực tiểu. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\).

Ý d): ĐÚNG.

Ta phân tích: \(y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 2}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) + 1}}{{x - 2}} = x + 3 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\), đường tiệm cận xiên là \(y = x + 3\).

Lời giải

Ý a): ĐÚNG. Do tọa độ điểm \(A\left( {5; - 9;10} \right)\) nên vectơ \(\overrightarrow {OA} = 5\vec i - 9\vec j + 10\vec k\).

Ý b): SAI. Thứ tự các vectơ đơn vị trong đề bài bị đảo: \(\vec a = 2\vec i + 4\vec j - 3\vec k\). Do đó tọa độ đúng của \(\vec a\) phải là \(\left( {2;4; - 3} \right)\).

Ý c): SAI. Tọa độ \(\vec b = \left( {3; - 1;8} \right) \Rightarrow \vec b = 3\vec i - \vec j + 8\vec k\).

Ý d): SAI. Với \(\vec a = \left( {2;4; - 3} \right)\) và \(\vec b = \left( {3; - 1;8} \right)\) thì

\(\vec v = \vec a + 2\vec b = \left( {2 + 2 \cdot 3;4 + 2 \cdot \left( { - 1} \right); - 3 + 2 \cdot 8} \right) = \left( {8;2;13} \right)\).

Ta nhận thấy biểu thức cần tính chính là: \(S = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left| {\overrightarrow {AS} } \right|^2} = A{S^2}\).

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều, tất cả các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau:

\(AS = SB = SC = 3{\rm{\;cm}}\).

Do đó: \(S = A{S^2} = {3^2} = 9\).

Đáp số: 9.

Số năm tính từ năm 2024 đến năm 2039 là: .

Tốc độ tăng dân số là đạo hàm bậc nhất của hàm số dân số \(N\left( t \right)\): \(N'\left( t \right) = 100 \cdot 0,013 \cdot {e^{0,013t}} = 1,3{e^{0,013t}}\).

Tại thời điểm \(t = 15\): \(N'\left( {15} \right) = 1,3 \cdot {e^{0,013 \cdot 15}} \approx 1,5799\).

Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được kết quả là \(1,58\).

Đáp số: 1,58.

Gọi \(r\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao của bể hình trụ (\(r,h > 0\)).

Thể tích của bể nước là: \(V = \pi {r^2}h = 2\pi \Rightarrow h = \frac{2}{{{r^2}}}\).

Để chi phí nguyên vật liệu thấp nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ (gồm cả nắp) phải nhỏ nhất:

\({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r\left( {\frac{2}{{{r^2}}}} \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{4\pi }}{r}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho 3 số dương:

\({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2\pi }}{r} + \frac{{2\pi }}{r} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {r^2} \cdot \frac{{2\pi }}{r} \cdot \frac{{2\pi }}{r}}} = 3\sqrt[3]{{8{\pi ^3}}} = 3 \cdot 2\pi = 6\pi \).

Dấu "=" xảy ra khi \(2\pi {r^2} = \frac{{2\pi }}{r} \Leftrightarrow {r^3} = 1 \Leftrightarrow r = 1{\rm{\;m}}\).

Khi đó diện tích toàn phần tối thiểu là \({S_{tp}} = 6\pi {\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Chi phí nguyên vật liệu thấp nhất là: \({\rm{Chi\;ph\'i }} = 6\pi \cdot 506 \approx 9538\) (nghìn đồng).

Đáp số: 9538.