Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Nguyễn Hữu Huân (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Đối chiếu với các phương án lựa chọn, khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) là phương án chính xác.

Chọn đáp án: C

Ta tính giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến ra vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\).

Theo định nghĩa, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án: C

Bộ ba số đứng trước các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ \(\vec a\).

Vì \(\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k\) nên tọa độ của \(\vec a\) là \(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Chọn đáp án: A

Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a\) nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Do đó, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Áp dụng công thức tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = {a^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Chọn đáp án: A

Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), mặt bên \(ABB'A'\) và các mặt đối diện có các cạnh song song và bằng nhau.

Cụ thể, tứ giác \(CDD'C'\) và \(ABCD\) là các hình chữ nhật, ta có cạnh \(AB\) song song và bằng cạnh \(D'C'\), đồng thời vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {D'C'} \). Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \).

Chọn đáp án: A

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy:

• Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), đạo hàm \(y' > 0\) và đi lên tới \(2\) (vị trí không xác định tại \(x = - 1\)).
• Trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 3\).

Do \(y'\) chỉ đổi dấu duy nhất một lần từ âm sang dương khi qua điểm \(x = 3\) (hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\)), nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn đáp án: D

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 4\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 10x\).

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {3x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{{10}}{3}\).

• Giá trị \(x = 0\) thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
• Giá trị \(x = \frac{{10}}{3} \approx 3,33\) không thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

• \(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 5 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 4 = - 1 - 5 + 4 = - 2\).
• \(f\left( 0 \right) = {0^3} - 5 \cdot {0^2} + 4 = 4\).
• \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 5 \cdot {3^2} + 4 = 27 - 45 + 4 = - 14\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \(4\) tại \(x = 0\).

Chọn đáp án: A

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 3\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

Xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm \(x = - 1\).

Vậy điểm cực đại của hàm số là \({x_0} = - 1\).

Chọn đáp án: B

Quan sát đồ thị chuyển động của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) thông qua bảng biến thiên:

• Tại \(x = - 3\), giá trị \(f\left( { - 3} \right) = - 2\).
• Hàm số tăng lên \(3\) tại \(x = - 1\), sau đó giảm xuống \(0\) tại \(x = 0\), rồi tăng lên \(2\) tại \(x = 1\) và giảm xuống \(1\) tại \(x = 2\).

Trong toàn bộ các giá trị của \(f\left( x \right)\) trên đoạn này, giá trị thấp nhất là \( - 2\).

Chọn đáp án: C

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy nét đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng của biến \(x\) từ \(1\) đến \(3\). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).

Xét các phương án bài cho, vì khoảng \(\left( {1;2} \right)\) là khoảng con của \(\left( {1;3} \right)\) nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

Chọn đáp án: A

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {4x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - 7x + 7} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} - 11x + 7 - 2{x^2} + 7x - 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Lập bảng xét dấu đạo hàm \(y'\), ta thấy qua điểm \(x = 2\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, \(x = 2\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Giá trị cực tiểu của hàm số là: \({y_{{\rm{ct}}}} = y\left( 2 \right) = \frac{{2 \cdot {2^2} - 7 \cdot 2 + 7}}{{2 - 1}} = \frac{{8 - 14 + 7}}{1} = 1\).

Chọn đáp án: D

Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) sẽ giữ nguyên hoành độ \(x\), tung độ \(y\) và đặt cao độ \(z = 0\).

Với \(A\left( { - 1;3;2} \right)\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm có tọa độ \(\left( { - 1;3;0} \right)\).

Chọn đáp án: C

Từ giả thiết hệ trục tọa độ đặt tại các cạnh của hình hộp chữ nhật:

• Điểm \(B \in Ox \Rightarrow B\left( {3;0;0} \right)\).
• Điểm \(D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;4;0} \right)\).
• Điểm \(O' \in Oz \Rightarrow O'\left( {0;0;5} \right)\).

Điểm \(C\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và là đỉnh đối diện với \(O\) trong hình chữ nhật \(OBCD\), do đó \(C\left( {3;4;0} \right)\).

Điểm \(C'\) thẳng đứng phía trên điểm \(C\) theo phương trục \(Oz\) với độ cao bằng \(OO' = 5\). Vậy tọa độ điểm \(C'\) là \(\left( {3;4;5} \right)\).

Chọn đáp án: C

• Với hàm số \(y = {x^2} - x\), đây là hàm số bậc hai (đồ thị là một parabol có đỉnh), đạo hàm \(y' = 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) và đổi dấu khi đi qua điểm này. Do đó hàm số này có 1 điểm cực trị.
• Các hàm số còn lại đều có đạo hàm luôn dương hoặc luôn âm trên các khoảng xác định nên không có cực trị.

Chọn đáp án: B

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\):

• Điểm cao nhất trên đồ thị có tung độ bằng \(4\) (đạt tại \(x = - 1\)), suy ra giá trị lớn nhất \(M = 4\).
• Điểm thấp nhất trên đồ thị có tung độ bằng \( - 3\) (đạt tại \(x = - 2\)), suy ra giá trị nhỏ nhất \(m = - 3\).

Thay vào biểu thức: \(2m - 3M = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - 3 \cdot 4 = - 6 - 12 = - 18\).

Chọn đáp án: C

a) SAI: Điểm \(H\) nằm trên trục \(Oy\), do đó vectơ \(\overrightarrow {OH} \) phải cùng phương với vectơ đơn vị \(\vec j\) chứ không phải \(\vec i\).

b) ĐÚNG: Điểm \(A\) nằm trên trục cao \(Oz\) và có độ cao cách gốc \(O\) là \(10{\rm{\;m}}\), do đó tọa độ của \(A\) là \(\left( {0;0;10} \right)\).

c) SAI: Xét điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có độ dài \(OB = 15{\rm{\;m}}\) và góc hợp bởi \(OB\) với trục \(Oy\) bằng \(30^\circ \).

Hoành độ của \(B\): \({x_B} = OB \cdot \sin 30^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = \frac{{15}}{2}\).

Tung độ của \(B\): \({y_B} = OB \cdot \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\overrightarrow {OB} = \frac{{15}}{2}\vec i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\vec j\).

d) ĐÚNG: Tọa độ điểm \(B\) là \(\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và điểm \(A\left( {0;0;10} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).

a) ĐÚNG: Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) nên có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).

b) SAI: Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Độ dài của vectơ này chính là độ dài đường chéo hình vuông \(AC = a\sqrt 2 \), không phải \(2a\sqrt 2 \).

c) ĐÚNG: Ta phân tích: \(\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} + {\overrightarrow {AD} ^2}\).

Vì \(SA \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\). Suy ra \(\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = A{D^2} = {a^2}\).

d) SAI: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa đặt gốc tại \(A\) và \(B,D,S\) lần lượt thuộc các tia \(Ox,Oy,Oz\) khi đó ta xác định được: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {SO} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; - a\sqrt 3 } \right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(M\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SO} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SO} \cdot \overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {SO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + 3{a^2}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = - \frac{{2\sqrt {70} }}{{35}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {35} }}\).

a) ĐÚNG: Điều kiện xác định là mẫu số \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\).

b) ĐÚNG: Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty \).

c) SAI: Ta có \(y = x - 1 - \frac{2}{{x + 1}}\). Khi \(x \to \pm \infty \), thành phần \(\frac{2}{{x + 1}} \to 0\). Do đó đường tiệm cận xiên phải có phương trình là \(y = x - 1\).

d) SAI: Tìm giao điểm của tiệm cận đứng \(x = - 1\) và tiệm cận xiên \(y = x - 1\). Thay \(x = - 1\) vào phương trình tiệm cận xiên ta được \(y = - 1 - 1 = - 2\). Giao điểm đúng phải là \(I\left( { - 1; - 2} \right)\).

Theo bài ra, trọng lực \(\vec P\) tác dụng lên máy quay được phân bố thành ba lực \({\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}\) dọc theo ba chân của giá đỡ, do đó ta có mối quan hệ vectơ: \(\vec P = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}\).

Do tính chất đối xứng và độ lớn của ba lực bằng nhau (\(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = F\)), góc giữa các cặp lực này đều bằng nhau và bằng góc giữa các chân của giá đỡ: \(\left( {{{\vec F}_1},{{\vec F}_2}} \right) = \left( {{{\vec F}_2},{{\vec F}_3}} \right) = \left( {{{\vec F}_3},{{\vec F}_1}} \right) = 60^\circ \).

Khi đó tích vô hướng giữa các cặp vectơ lực: \({\vec F_1} \cdot {\vec F_2} = {\vec F_2} \cdot {\vec F_3} = {\vec F_3} \cdot {\vec F_1} = F \cdot F \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}{F^2}\).

Bình phương độ lớn của tổng ba lực:

\({\left| {\vec P} \right|^2} = {\left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2} + {{\vec F}_3}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {P^2} = \vec F_1^2 + \vec F_2^2 + \vec F_3^2 + 2\left( {{{\vec F}_1} \cdot {{\vec F}_2} + {{\vec F}_2} \cdot {{\vec F}_3} + {{\vec F}_3} \cdot {{\vec F}_1}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {200^2} = {F^2} + {F^2} + {F^2} + 2\left( {\frac{1}{2}{F^2} + \frac{1}{2}{F^2} + \frac{1}{2}{F^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {F^2} = \frac{{20000}}{3}\).

Vậy độ lớn của lực \({F_1}\): \({F_1} = F = \sqrt {\frac{{20000}}{3}} = \frac{{100\sqrt 6 }}{3} \approx 81,6{\rm{\;}}\left( {\rm{N}} \right)\).

Đáp án: 81,6.

Gọi \(P\) là điểm trên bờ sông mà anh Ba chèo thuyền cập bến, đặt \(OP = x{\rm{\;km}}\) với \(0 \le x \le 8\).

• Quãng đường chèo thuyền dưới nước: \(AP = \sqrt {O{A^2} + O{P^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 9} \).
• Quãng đường chạy bộ trên bờ: \(PB = 8 - x\).

Tổng thời gian di chuyển (tính bằng giờ) là: \(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{{10}}\).

Lấy đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{{10}}\).

Giải phương trình \(T'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 10x = 6\sqrt {{x^2} + 9} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 9} \).

Bình phương hai vế: \(25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 9} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2,25{\rm{\;km}}\).

Thay \(x = 2,25\) vào hàm thời gian: \(T\left( {2,25} \right) = \frac{{\sqrt {2,{{25}^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - 2,25}}{{10}} = 1,2\) (giờ).

Đổi ra phút: \(1,2 \times 60 = 72{\rm{\;phút}}\).

Đáp án: 72.

Tàu lượn đi xuống khi hàm số độ cao nghịch biến, tức là đạo hàm \(h'\left( t \right) < 0\).

Ta tính đạo hàm: \(h'\left( t \right) = - \frac{{12}}{{255}}{t^2} + \frac{{98}}{{85}}t - \frac{{98}}{{17}} = - \frac{4}{{85}}{t^2} + \frac{{98}}{{85}}t - \frac{{490}}{{85}}\).

Do đó \(h'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 4{t^2} + 98t - 490 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 7\\t > \frac{{35}}{2} = 17,5\end{array} \right.{\rm{\;}}\).

Kết hợp với điều kiện \(0 \le t \le 20\) ta được các khoảng tàu lượn đi xuống là \(\left( {0;7} \right)\) và \(\left( {17,5;20} \right)\).

Tổng thu được: \(a + b + c + d = 0 + 7 + 17,5 + 20 = 44,5\).

Đáp án: 44,5.

Ta tính đạo hàm của hàm hợp \(g\left( x \right)\): \(g'\left( x \right) = 4 \cdot f'\left( {3 + 4x} \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại các điểm mà đạo hàm \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương.

Dựa vào đồ thị đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bài cho, ta thấy \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành và đổi dấu từ âm sang dương tại hai điểm là \(x = - 3\) và \(x = 2\).

Do đó, để \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu thì:

• Trường hợp 1: \(3 + 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = - 6 \Leftrightarrow = - 1,5\).
• Trường hợp 2: \(3 + 4x = 2 \Leftrightarrow 4x = - 1 \Leftrightarrow x = - 0,25\).

Theo giả thiết \(a < b\), suy ra \(a = - 1,5\) và \(b = - 0,25\).

Hiệu cần tính là: \(a - b = - 1,5 - \left( { - 0,25} \right) = - 1,25 \approx - 1,3\).

Đáp án: -1,3.