Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\). 

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\), giá trị cực đại ; đạt cực tiểu tại \(x = 3\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = 6\).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số \(y = x\ln x\) liên tục và xác định trên đoạn \(\left[ {1;\,\,e} \right]\).

Ta có: \(y' = \ln x + 1\). Trên khoảng \(\left( {0;e} \right)\), không tồn tại giá trị của \(x\) để \(y' = 0\).

Có \(y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( e \right) = e\).

Từ đó suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\,e} \right]} y = y\left( 1 \right) = 0\).

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 1}} = 2x - 11 + \frac{8}{{x + 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 11} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{8}{{x + 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {2x - 11} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{8}{{x + 1}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = 2x - 11\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\) nên ta loại phương án C.

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng đi xuống từ trái qua phải nên \(a,\,m\) trái dấu. Vậy phương án đúng là A.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ  = 5\).

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;\,0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\). Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho có \(3\) điểm cực trị: \(x =  - 1\) (điểm cực tiểu), \(x = 0\) (điểm cực đại) và \(x = 1\) (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có \(f\left( x \right) + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 3\).

Đường thẳng \(y =  - 3\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) không cắt nhau nên phương trình \(f\left( x \right) =  - 3\) không có nghiệm, tức là phương trình \(f\left( x \right) + 3 = 0\) vô nghiệm.

Vậy ý d) sai.

Xét hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 1\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2m\,\,\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) là: \(\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 2m\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m} \right) = x - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m + 3 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) khác \( - 1\) và \({x_1}{x_2} < 0\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array}\\{\frac{c}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 - 2m + 2m + 3 \ne 0\\2m + 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 3\end{array} \right.\\m <  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

Vì \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2\,024;\,2\,024} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2\,024;\, - 2\,023;\,...; - 2} \right\}\).

Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ,              b) S,       c) S,        d) S.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SC} \). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = SA = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt 2 \). Do đó, ý b) sai.

– Từ giả thiết, ta thấy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(SAB\) đều.

Do đó, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SAB} = 120^\circ \).

Ta có: \[\overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} \]

\( = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 120^\circ  =  - \frac{1}{2}\).

Do đó, ý c) sai.

– Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC}  \cdot \,\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 \cdot 1}} =  - \frac{1}{2}\). Vậy ý d) sai.

a) Đ,              b) S,       c) Đ,       d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {A'D'}  = \left( {1 - 1; - 1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {0; - 1;0} \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Gọi tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {3 - {x_B};5 - {y_B}; - 5 - {z_B}} \right)\).

Do đó, ý b) sai.

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A'D'} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3 - {x_B} = 0\\5 - {y_B} =  - 1\\ - 5 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 3\\{y_B} = 6\\{z_B} =  - 5\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {3;6; - 5} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {BB'} \). Khi đó, theo quy tắc hình hộp, ta có:

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \)\( = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

Vậy tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\). Do đó, ý d) đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m + 1\).

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \({\Delta _{y'}} > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( { - 3} \right)^2} - 3\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\).

Vì \(m \in \mathbb{Z},\,m > 0\) nên \(m = 1\). Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn. 

Đáp số: \(1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^3} + 30{t^2} + 1\,000\) với \(0 \le t \le 30\).

Ta có \(f'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 60t\).

Trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\), \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 20\).

\(f\left( 0 \right) = 1\,000;\,f\left( {20} \right) = 5\,000;\,f\left( {30} \right) = 1\,000\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;30} \right]} f\left( t \right) = 5\,000\) tại \(t = 20\).

Vậy sau \(20\) phút thì số vi khuẩn lớn nhất.

Đáp số: \(20\).

Ta có: \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DF} \)\( =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} \)

                \( =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

                \( = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

                \( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).

Khi đó, \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3};\,\,\frac{c}{d} = \frac{1}{3};\,\,\frac{r}{s} = \frac{2}{3}\).

Do đó, \(M = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{r}{s}\)\( = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Suy ra \(x = 4;y = 3\).

Vậy \(P = x + y = 4 + 3 = 7\).

Đáp số: \(7\).

Đặt \(\overrightarrow F  = \left( {x;y;z} \right)\), ta có:

\(x = 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  = 50\sqrt 2 \);

\(y =  - 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  =  - 50\sqrt 2 \);

\(z = 200 \cdot \sin 60^\circ  = 100\sqrt 3 \).

Do đó, \(\overrightarrow F  = \left( {50\sqrt 2 ; - 50\sqrt 2 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(a = 50,b = 50,c = 100\). Vậy \(K = a - 2b + c = 50 - 2 \cdot 50 + 100 = 50\).

Đáp số: \(50\).

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là \(x\) (nghìn đồng, \(x > 0\)).

Vì cứ tăng giá thêm \(1\,\) nghìn đồng thì số khăn bán ra mỗi tháng sẽ ít hơn \(100\) chiếc nên tăng \(x\) nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm \(100x\) chiếc.

Do đó, tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: \(3\,000 - 100x\) (chiếc).

Lúc đầu bán với giá \(30\) nghìn đồng, mỗi chiếc khăn có lãi \(12\) nghìn đồng. Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: \(12 + x\) (nghìn đồng).

Khi đó, lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

\(L\left( x \right) = \left( {3\,000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\)\( =  - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(L\left( x \right) =  - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(L'\left( x \right) =  - 200x + 1\,800\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 9\).

Bảng biến thiên của hàm số \(L\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy: trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số \(L\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 9\).

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất phải tăng giá bán mỗi chiếc khăn lên \(9\) nghìn đồng, tức là giá bán mới của mỗi chiếc khăn là \[39\] nghìn đồng.

Đáp số: \(39\).

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = SB = SC = SD\) và \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có: \(\widehat {ASC} = 60^\circ \), suy ra \(\widehat {ASO} = 30^\circ \).  

Hợp lực của bốn sợi xích là: 

\(\overrightarrow F  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {SO}  + 2\overrightarrow {SO}  = 4\overrightarrow {SO} \).

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực \(\overrightarrow P \), điều đó có nghĩa là \(4\overrightarrow {SO}  = \overrightarrow P \), suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|\), hay \(SO = \frac{P}{4}\).

Độ lớn của trọng lực tác động lên đèn chùm là: \(P = mg = 3 \cdot 9,8 = 29,4\) (N).

Do đó, \(SO = \frac{{29,4}}{4} = 7,35\).

Ta có: \(SA = \frac{{SO}}{{\cos \widehat {ASO}}} = \frac{{7,35}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{49\sqrt 3 }}{{10}} \approx 8,5\).

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng khoảng 8,5 N.

Đáp số: \(8,5\).