Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2026-2027 THPT Xuân Phương (Hà Nội) có đáp án
22 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\).
\(\left( {0;\,\,1} \right)\).
\(\left( {1;\,\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;\,\,0} \right)\).
Chọn B.
Từ bảng biến thiên, \(f'\left( x \right) < 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,\, - 1} \right)\) và \(\left( {0;\,\,1} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên trên \(\left[ { - 5;\,\,7} \right)\) như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\,\,7} \right]} f\left( x \right) = 6\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\,\,7} \right]} f\left( x \right) = 9\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;\,\,7} \right]} f\left( x \right) = 6\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;\,\,7} \right]} f\left( x \right) = 2\).
Chọn D.
Từ bảng biến thiên, hàm số giảm trên \(\left( { - 5;\,\,1} \right)\), tăng trên \(\left( {1;\,\,7} \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;\,\,7} \right]} f\left( x \right) = 2\).
Mặt khác \(f\left( x \right) < 9\) với mọi \(x \in \left[ { - 5;\,\,7} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ - }} f\left( x \right) = 9\) nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 5;\,\,7} \right)\).
\(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\).
Chọn A.
Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\) nên loại C.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên \(y' > 0\).
Với \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\), phù hợp hình vẽ.
Hai hàm số ở B và D có \(y' < 0\).
\(x = - 1\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 2\).
Chọn D.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng là \(x = - 2\).
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0,\,\,d > 0\).
\(a < 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0,\,\,d > 0\).
\(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0,\,\,d > 0\).
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0,\,\,d > 0\).
Chọn A.
Khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to - \infty \) nên \(a < 0\).
Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ dương nên \(d > 0\).
Hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) đều dương nên ta có:
\({x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b > 0\) và \({x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \Rightarrow c < 0\).
\(\left( {2;\,\, - 3;\,\, - 1} \right)\).
\(\left( {2;\,\, - 1;\,\, - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;\,\,2;\,\, - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;\,\,2;\,\, - 3} \right)\).
Chọn D.
\(\vec a = - \vec i + 2\vec j - 3\vec k\) nên \(\vec a = \left( { - 1;\,\,2;\,\, - 3} \right)\).
\(\vec a \cdot \vec b = 0\).
\(\vec a \cdot \vec b = - 1\).
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|\).
\(\vec a \cdot \vec b = - \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|\).
Chọn C.
Hai vectơ cùng hướng nên \(\left( {\vec a,\,\,\vec b} \right) = 0^\circ \), suy ra \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot \cos 0^\circ = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|\).
\(\left( {1;\,\,0;\,\,1} \right)\).
\(\left( {0;\,\,1;\,\,1} \right)\).
\(\left( {1;\,\,1;\,\,0} \right)\).
\(\left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)\).
Chọn A.
Hình chiếu vuông góc của \(A\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(\left( {1;\,\,0;\,\,1} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;\,\,2} \right)\).
\(\left( {0;\,\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;\,\,1} \right)\).
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\).
Chọn B.
Từ đồ thị, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,\, - 2} \right)\) và \(\left( {0;\,\, + \infty } \right)\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right)\).
\(\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).
\(\left( {0;\,\,0;\,\,5} \right)\).
\(\left( {0;\,\,2;\,\,5} \right)\).
Chọn B.
Hình chiếu vuông góc của \(A\left( {1;\,\,2;\,\,5} \right)\) lên trục \(Ox\) là \(\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).
\(\vec a + \vec c = \vec b + \vec d\).
\(\vec a + \vec b + \vec c + \vec d = \vec 0\).
\(\vec a + \vec d = \vec b + \vec c\).
\(\vec a + \vec b = \vec c + \vec d\).
Chọn A.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).
Ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \) nên \(\vec a + \vec c = \vec b + \vec d\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
\(3\).
\( - 1\).
\(4\).
\( - 2\).
Chọn B.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\), giá trị cực tiểu là \(f\left( 3 \right) = - 1\).
Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(400\) triệu đồng.
Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là \(600\) triệu đồng.
Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm (\(0 \le x \le 100\)) cho \(B\) được biểu diễn bởi công thức \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
Bên \(A\) bán cho \(B\) là \(70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. (Làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).
b) Sai. Số tiền thu được là \(10 \cdot P\left( {10} \right) = 10 \cdot \left( {45 - 0,001 \cdot {{10}^2}} \right) = 449\) (triệu đồng).
c) Đúng. \(H\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) - C\left( x \right) = 45x - 0,001{x^3} - 100 - 30x = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
d) Đúng. \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \) (vì \(0 \le x \le 100\)).
\(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 50\sqrt 2 \) nên \(H\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 50\sqrt 2 \approx 70,7\) (tấn).
Tọa độ của điểm \(M,N\) lần lượt là \(M\left( {2;\,\,3;\,\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 1;\,\,1;\,\,1} \right)\).
Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( { - 2;\,\,3;\,\,1} \right)\).
Gọi \(E\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(N\). Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( { - 4;\,\, - 1;\,\,3} \right)\).
Tọa độ đỉnh \(D\left( {3;\,\,2;\,\, - 2} \right)\) sao cho tứ giác \(OMND\) là hình bình hành.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\overrightarrow {OM} = \left( {2;\,\,3;\,\, - 1} \right) \Rightarrow M\left( {2;\,\,3;\,\, - 1} \right)\), \(\overrightarrow {ON} = \left( { - 1;\,\,1;\,\,1} \right) \Rightarrow N\left( { - 1;\,\,1;\,\,1} \right)\).
b) Sai. Hình chiếu của \(M\) trên trục \(Oy\) là \(\left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\).
c) Đúng. \(N\) là trung điểm của \(ME\) nên
\(E = \left( {2{x_N} - {x_M};\,\,2{y_N} - {y_M};\,\,2{z_N} - {z_M}} \right) = \left( { - 4;\,\, - 1;\,\,3} \right).\)
d) Sai. \(OMND\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {DN} \Leftrightarrow D = \left( { - 1 - 2;\,\,1 - 3;\,\,1 + 1} \right) = \left( { - 3;\,\, - 2;\,\,2} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \(y = 1\).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là điểm \(I\left( {1;\,\,2} \right)\).
Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(y = 2x + 5\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Hàm số xác định khi \(x \ne 1\) nên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) Sai. Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 1\).
c) Sai. Ta có \(f\left( x \right) = x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}\) nên tiệm cận xiên là \(y = x + 5\).
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: \(I\left( {1;\,\,6} \right)\).
d) Sai. Tiệm cận xiên là \(y = x + 5\).
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là \(x = 7\).
\(f\left( 7 \right)\) là giá trị cực đại của hàm số đã cho.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {7;\,\, + \infty } \right)\).
\(f\left( {11} \right) > f\left( 7 \right)\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = 7\) nên \(x = 7\) là điểm cực tiểu.
b) Sai. \(f\left( 7 \right)\) là giá trị cực tiểu của hàm số.
c) Sai. \(f'\left( x \right) < 0\) trên \(\left( {11;\,\, + \infty } \right)\) nên hàm số không đồng biến trên \(\left( {7;\,\, + \infty } \right)\).
d) Đúng. Hàm số đồng biến trên \(\left( {7;\,\,11} \right)\) nên \(f\left( {11} \right) > f\left( 7 \right)\).
Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 0\) nên \(x = 1\) không là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = - \infty \) nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng. Suy ra \(a = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 3\) nên đồ thị có hai tiệm cận ngang \(y = 3\), \(y = - 3\). Suy ra \(b = 2\).
Vậy \(20a + 10{b^2} = 20 + 40 = 60\).
Đáp án: 60.
Gọi chiều rộng đáy là \(x\) \(\left( {x > 0} \right)\), chiều dài là \(\frac{{4x}}{3}\), chiều cao là \(h\) (đơn vị: m).
\(V = \frac{{4{x^2}}}{3} \cdot h = 8 \Rightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\).
Diện tích đáy bằng \(\frac{{4{x^2}}}{3}\), diện tích phần nắp cần đổ là \(\frac{7}{9} \cdot \frac{{4{x^2}}}{3} = \frac{{28{x^2}}}{{27}}\), diện tích xung quanh là:
\(2h\left( {x + \frac{{4x}}{3}} \right) = \frac{{14xh}}{3} = \frac{{28}}{x}\) (m2).
Tổng diện tích cần xây: \(S\left( x \right) = \frac{{4{x^2}}}{3} + \frac{{28{x^2}}}{{27}} + \frac{{28}}{x} = \frac{{64{x^2}}}{{27}} + \frac{{28}}{x}\) (m2).
\(S'\left( x \right) = \frac{{128x}}{{27}} - \frac{{28}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{{189}}{{32}}\).
Lập bảng biến thiên, \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0} = \sqrt[3]{{\frac{{189}}{{32}}}}\). Khi đó \(\frac{{64x_0^3}}{{27}} = 14\) nên
\({S_{{\rm{min}}}} = \frac{1}{{{x_0}}}\left( {\frac{{64x_0^3}}{{27}} + 28} \right) = \frac{{42}}{{{x_0}}} \approx 23,235\;\) (m2).
Chi phí thấp nhất là \(23,235 \cdot 0,99 \approx 23\) (triệu đồng).
Đáp án: 23.
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\), \(M\) là trung điểm \(FG\) thì \(M\) thuộc đoạn \(OC\).
Đặt \(FG = x\) \[\left( {0 < x < 5\sqrt 2 } \right)\].
Khi đó \(OM = \frac{x}{2}\), \(CM = OC - OM = 5\sqrt 2 - \frac{x}{2}\) là đường cao của tam giác cân \(CFG\), cũng là trung đoạn của khối chóp.
Chiều cao khối chóp: \(h = \sqrt {C{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 - \frac{x}{2}} \right)}^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} \).
\(V = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}\left( {50 - 5\sqrt 2 x} \right)} \).
Xét \(f\left( x \right) = 50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}\) trên \(\left( {0;5\sqrt 2 } \right)\), \(f'\left( x \right) = 200{x^3} - 25\sqrt 2 {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 2 \).
Lập bảng biến thiên, \(f\left( x \right)\) lớn nhất tại \(x = 4\sqrt 2 \), khi đó \(h = \sqrt {10} \) và \({V_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \sqrt {10} = \frac{{32\sqrt {10} }}{3}\;\) (cm3).
Viết ở dạng tối giản (\(\frac{{a\sqrt b }}{c}\) tối giản, \(b\) không chứa thừa số chính phương lớn hơn 1) ta được \(a = 32\), \(b = 10\), \(c = 3\).
Vậy \(P = a + b + c = 45\).
Đáp án: 45.
Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\), suy ra
\(M{A^2} + M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} = 2M{O^2} + O{A^2} + O{C^2}\).
Tương tự \(M{B^2} + M{D^2} = 2M{O^2} + O{B^2} + O{D^2}\).
Suy ra \(P = M{S^2} + 4M{O^2} + O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2}\), trong đó \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2}\)không đổi.
Đặt \(SO = h\), \(SM = t\) \(\left( {0 \le t \le h} \right)\), ta có \(M{S^2} + 4M{O^2} = {t^2} + 4{\left( {h - t} \right)^2} = 5{t^2} - 8ht + 4{h^2}\), nhỏ nhất khi \(t = \frac{{4h}}{5}\).
Vậy \(\frac{{SM}}{{SO}} = \frac{4}{5} = 0,8\).
Đáp án: \(0,8\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 13} \right\}\).
\(y' = \frac{{\left( {4x + 26} \right)\left( {x + 13} \right) - \left( {2{x^2} + 26x + 18} \right)}}{{{{\left( {x + 13} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 52x + 320}}{{{{\left( {x + 13} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 26x + 160 = 0 \Leftrightarrow x = - 10\) hoặc \(x = - 16\).
\(y'\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = - 16\) và từ âm sang dương khi qua \(x = - 10\) nên \({x_1} = - 10\) là điểm cực tiểu, \({x_2} = - 16\) là điểm cực đại.
Vậy \(P = - 2{x_1} + {x_2} = 20 - 16 = 4\).
Đáp án: 4.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + ax + b}}{{x + c}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ
Tính \(a + b + c\).
Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 2\) nên \(c = - 2\).
\(y\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow \frac{b}{c} = 2 \Rightarrow b = - 4\).
\(y' = \frac{{\left( { - 2x + a} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + ax + b} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 2a - b}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow - 2a - b = 0 \Rightarrow a = 2\).
Thử lại: \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\) có \(y' = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\), \(y\left( 4 \right) = - 6\), phù hợp bảng biến thiên.
Vậy \(a + b + c = 2 - 4 - 2 = - 4\).
Đáp án: –4.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
