Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 18x - 24\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 4\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(y' = \frac{{ - 3x}}{{\sqrt {7 - 6x} }}\). Khi đó, trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { - 1} \right) = \sqrt {13} ;\,\,y\left( 0 \right) = \sqrt 7 ;\,\,y\left( 1 \right) = 1\).

Từ đó suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} y = y\left( 1 \right) = 1\).

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x =  - 2\) và tiệm cận ngang là \(y = 2\) nên ta loại phương án C và D.

Mặt khác, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

Xét hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\), ta có \(y' = \frac{7}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó, do đó ta loại phương án B.

Xét hàm số \(y = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}}\), ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó, do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận ngang là \(y = 2\). Khi đó, \(\frac{{ - c}}{b} = 1\) và \(\frac{a}{b} = 2\), tức là \(b =  - c\) và \(b = \frac{a}{2}\), suy ra \(c = \frac{{ - a}}{2}\). Vậy trong các phương án đã cho, chỉ có phương án A thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'} \).

Do đó, \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 180^\circ  - \widehat {B'C'A'}\).

Mà tam giác \(A'B'C'\) đều nên \(\widehat {B'C'A'} = 60^\circ \). Vậy \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 120^\circ \).

– Từ bảng biến thiên, ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( { - \infty ; - 4} \right)\] và \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), vậy ý a) đúng.

– Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 4\), ; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), \({y_{CT}} = 2\), do đó ý b) sai.

– Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) nên ý c) sai.

– Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}\), ta có:

+ Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

+ Có \(y' = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 4\) hoặc \(x = 0\).

+ Trên các khoảng \[\left( { - \infty ; - 4} \right)\] và \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), \(y' > 0\).

   Trên các khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\), \(y' < 0\).

+ Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 4\), ; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), \({y_{CT}} = 2\).

+ Đường thẳng \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy bảng biến thiên đã cho là bảng biến thiên của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}\) nên ý d) đúng.

a) Đ,              b) S,       c) Đ,       d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x - \frac{3}{{x - 2}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

– Ta có \(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 2\).

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - \frac{3}{{x - 2}}} \right) =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - \frac{3}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \);

                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\). Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm \(I\left( {2;\,2} \right)\) của hai đường tiệm cận nên ý c) đúng.

– Với \(x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ 2 \right\}\) thì \(y \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(\frac{3}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\), tức là \(x - 2 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\).

Ta có:

Vậy có 4 điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên nên ý d) sai.

Hướng dẫn giải

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'DCB'\) là hình bình hành.

Do đó, \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {B'C} \).

Mà hai vectơ \(\overrightarrow {B'C} \) và \(\overrightarrow {BC'} \) không cùng phương nên hai vectơ \(\overrightarrow {A'D} \) và \(\overrightarrow {BC'} \) cũng không cùng phương. Vậy ý a) sai.

– Theo quy tắc ba điểm, ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow {DA} \) nên ý b) sai.

– Do  \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {C'C} \).

Áp dụng quy tắc hình hộp cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), ta có:

\(\overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {C'D'}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {C'D'}  + \overrightarrow {A'A} \). Vậy ý c) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {A'D'} \) nên \(\left( {\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {A'B'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'D'} ,\,\overrightarrow {A'B'} } \right) = \widehat {B'A'D'} = 90^\circ \). Vậy ý d) sai.

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên đáy \(ABCD\) là hình vuông.

Suy ra tâm \(O\) là trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Do đó, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) nên ý a) sai.

Với điểm \(S\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.\). Suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) nên ý b) đúng.

Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là \(a\) nên độ dài đường chéo \(AC\) là \(a\sqrt 2 \). Tam giác \(SAC\) có \(SA = SC = a\) và \(AC = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(\widehat {SAC} = 45^\circ \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SAC} = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos 135^\circ  = a \cdot a\sqrt 2  \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) =  - {a^2}\).

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.

Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1\); \(g'\left( x \right) = 0\) khi \(f'\left( x \right) = 1\).

Số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Căn cứ vào đồ thị hàm số, ta thấy phương trình \(f'\left( x \right) = 1\) hay \(g'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. Gọi 4 nghiệm đó theo thứ tự từ bé đến lớn là \(a,\,b,\,c,\,d\).

Dựa vào vị trí của đồ thị hàm số  \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\), ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau:

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\) có 4 điểm cực trị.

Đáp số: 4.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì \(m > 1\) nên \(1 - m < 0\), suy ra \(y' = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Khi đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,\,4} \right]} y = y\left( 1 \right) = \frac{{1 + m}}{2}\).

Theo đề ra, ta có \(\frac{{1 + m}}{2} = 3 \Leftrightarrow m = 5\).

Đáp số: 5.

Ta có: \(\left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right)\)

\( = {\overrightarrow a ^2} - 6{\overrightarrow b ^2} + \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \)

\( = {1^2} - 6 \cdot {1^2} + 1 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ \)

\[ =  - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx  - 4,3\].

Đáp số: \( - 4,3\).

Gọi độ dài cạnh đáy của thùng chứa gạo là \(x\) (m, \(x > 0\)) và chiều cao của thùng chứa gạo là \(h\) (m, \(h > 0\)).

Thể tích của thùng là \(V = {x^2} \cdot h = 2\), suy ra \(h = \frac{2}{{{x^2}}}\) (m).

Khi đó, diện tích tôn cần sử dụng là: \[S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{8}{x}\] (m2).

Chi phí để mua nguyên liệu là: \(T = 100{x^2} + 50 \cdot \frac{8}{x} = 100{x^2} + \frac{{400}}{x}\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(T\left( x \right) = 100{x^2} + \frac{{400}}{x}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(T'\left( x \right) = 200x - \frac{{400}}{{{x^2}}} = \frac{{200{x^3} - 400}}{{{x^2}}}\); \(T'\left( x \right) = 0\) khi \(x = \sqrt[3]{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(T\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(x = \sqrt[3]{2}\).

Vậy ông Hùng cần đóng thùng chứa gạo với cạnh đáy bằng \(\sqrt[3]{2} \approx 1,3\) m để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất.

Đáp số: \(1,3\).

Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là độ dài một cạnh của tấm giấy hình chữ nhật được cắt ra (cạnh thuộc đường kính) và \(y\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là độ dài cạnh còn lại \((0 < x < 16,\,\,0 < y < 8)\). Ta có:

\({\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {y^2} = {8^2} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{4}\left( {256 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\sqrt {256 - {x^2}} \).

Diện tích của tấm giấy hình chữ nhật đó là:

\(S = xy = x \cdot \frac{1}{2}\sqrt {256 - {x^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2}\left( {256 - {x^2}} \right)} \) (cm2).

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {256 - {x^2}} \right)\) với \(0 < x < 16\), có \(f'\left( x \right) = 512x - 4{x^3}\) nên \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 8\sqrt 2 \).

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) bằng \(\frac{1}{2}\sqrt {f\left( {8\sqrt 2 } \right)}  = 64\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp số: \(64\).

Ta có \(AC = BD = \sqrt {{8^2} + {{12}^2}}  = 4\sqrt {13} \), \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{{12}^2} - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {23} \),

\(\sin \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{SC}} = \frac{{2\sqrt {23} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {23} }}{6}\).

Gọi \(P\) là độ lớn của trọng lực xe và khung sắt nâng.

Ta có \(P = \left( {1\,500 + 300} \right) \cdot 9,8 = 17\,640\) (N).

Gọi \(F\) là độ lớn của lực căng trên mỗi sợi cáp.

Ta chứng minh được \(F\sin \widehat {SCO} = \frac{P}{4}\), suy ra \(F = \frac{P}{{4\sin \widehat {SCO}}} = \frac{{17\,640}}{{4 \cdot \frac{{\sqrt {23} }}{6}}} \approx 5\,517\) (N).

Đáp số: \(5\,517\).