Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2026-2027 THPT Thăng Long (Hà Nội) có đáp án
22 câu hỏi
\(18\).
\(10\).
\(15\).
\(12\).
Chọn D.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;\,\,9;\,\,12} \right)\).
Drone bay thẳng đều nên sau \(20\)giây, tức \(\frac{{20}}{{60}} = \frac{1}{3}\)thời gian, thì \(\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,3;\,\,4} \right)\).
Suy ra \(C\left( {3;\,\,4;\,\,5} \right)\), do đó \(a + b + c = 12\).
\(5\) m/s.
\(3\) m/s.
\(2\) m/s.
\(1\) m/s.
Chọn C.
Vận tốc \[v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\], dấu bằng xảy ra khi \(t = 1 \in \left( {0;\,\,5} \right]\).
Vậy vận tốc nhỏ nhất là \(2{\rm{\;m/s}}\).
Giá trị cực đại của hàm số bằng
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\( - 1\).
Chọn A.
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và giá trị cực đại bằng \(3\).
\(x = 2\).
\(x = 0\).
\(y = 2\).
\(y = 0\).
Chọn B.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \) nên đường tiệm cận đứng là \(x = 0\).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D{D_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} \).
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {DC} \).
Chọn A.
Theo quy tắc hình hộp, \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}} \), nên B đúng.
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {{B_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} \), nên C đúng.
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), nên D đúng.
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D{D_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B_1}} } \right) = \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {B{B_1}} \ne \overrightarrow {BC} \), nên A sai.
\(\left( {3;\,\, - 4;\,\,2} \right)\).
\(\left( {3;\,\,2;\,\, - 4} \right)\).
\(\left( { - 4;\,\,2;\,\,3} \right)\).
\(\left( { - 4;\,\,3;\,\,2} \right)\).
Chọn D.
Ta có \(\vec u = - 4\vec i + 3\vec j + 2\vec k\) nên \(\vec u = \left( { - 4;\,\,3;\,\,2} \right)\).
\(y = 2\).
\(y = {\log _2}x\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
\(y = {2^x}\).
Chọn D.
Hàm số \(y = {2^x}\) có cơ số \(2 > 1\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
\(0\).
\( - {a^2}\).
\({a^2}\).
Chọn B.
Gọi \(O = AC \cap BD\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC\). Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) nên \(SO \bot AC\). \(ABCD\) là hình thoi nên \(OB \bot AC\).
Do đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {AC} \cdot \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {OB} = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 2\).
\(x = - 1\).
Chọn A.
Từ đồ thị, \(f'\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x < 2\) (chỉ bằng \(0\) tại \(x = - 1\)) và \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 2\). Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,2} \right)\), đồng biến trên \(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\), nên đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 2\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Tăng rồi giảm.
Giảm rồi tăng.
Tăng.
Giảm.
Chọn C.
\(h'\left( t \right) = 18{t^2} - 162t + 324 = 18\left( {t - 3} \right)\left( {t - 6} \right)\). Với \(t \in \left( {0;3} \right)\) thì \(t - 3 < 0\) và \(t - 6 < 0\) nên
\(h'\left( t \right) > 0\).
Vậy trong \(3\) phút đầu tiên, độ cao của khinh khí cầu tăng.
\(2\).
\(\sqrt 7 \).
\(\sqrt {10} \).
\(3\).
Chọn C.
Hình chiếu của \(M\) lên trục \(Oy\) là \(H\left( {0;\,\, - 2;\,\,0} \right)\).
Suy ra \(d\left( {M,\,\,Oy} \right) = MH = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \).
\(y = - 2\).
\(y = 4\).
\(y = 2\).
\(y = 3\).
Chọn B.
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\) (trường hợp \(x \to - \infty \) tương tự).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {3f\left( x \right) - 2} \right] = 3 \cdot 2 - 2 = 4\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = 3f\left( x \right) - 2\) có tiệm cận ngang \(y = 4\).
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\).
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 1\). Giao điểm của đường thẳng \(d\) với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(M\left( {3;\,\,3} \right)\).
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là \(y = 2x - 1\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có \(y = x + \frac{1}{{x + 1}}\) và \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).
\(y' < 0\) trên các khoảng \(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\), nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng đó.
Vì hàm số không xác định tại \(x = - 1 \in \left( { - 2;\,\,0} \right)\) nên không nói hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\).
b) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\) nên tiệm cận xiên là \(y = x\).
c) Đúng. \(y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}\), \(y'\left( 1 \right) = \frac{3}{4}\), nên \(d:y = \frac{3}{4}\left( {x - 1} \right) + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}\).
Giải \(\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} = x \Leftrightarrow x = 3\), suy ra giao điểm là \(M\left( {3;\,\,3} \right)\).
d) Sai. Hai điểm cực trị là \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\). Đường thẳng đi qua hai điểm này có hệ số góc \(\frac{{1 - \left( { - 3} \right)}}{{0 - \left( { - 2} \right)}} = 2\), nên có phương trình \(y = 2x + 1\).
Hai địa điểm cần cứu hộ cách nhau xấp xỉ \(102\) m.
Drone chỉ có thể vận chuyển nhu yếu phẩm đến từng địa điểm, nên người ở trạm cứu hộ quyết định dựng thêm một trạm cứu hộ cho riêng hai tòa nhà, mà tổng khoảng cách từ trạm cứu hộ đó đến nóc hai tòa nhà là ngắn nhất. Trạm cứu hộ mới có tọa độ \(\left( {45;\,\,60;\,\,0} \right)\).
Vị trí drone hết pin cách mặt đất \(20\) m.
Giả sử drone bay với tốc độ không đổi là \(10\) m/s. Drone sẽ báo sắp hết pin khoảng \(3\) giây trước khi pin hết hẳn. Sau \(22\) giây kể từ lúc xuất phát từ trạm, drone sẽ báo sắp hết pin.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 80;\,\, - 60;\,\, - 20} \right)\) nên \(AB = \sqrt {10400} = 20\sqrt {26} \approx 102\) m.
b) Sai. \(A\) và \(B\) cùng nằm phía trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(B'\left( {40;\,\,30;\,\, - 10} \right)\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(\left( {Oxy} \right)\).
Với \(M\left( {x;\,\,y;\,\,0} \right)\) ta có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\), dấu bằng xảy ra khi \(M\) thuộc đoạn \(AB'\), tức là \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow {AB'} \).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 120;\,\,y - 90;\,\, - 30} \right)\) và \(\overrightarrow {AB'} = \left( { - 80;\,\, - 60;\,\, - 40} \right)\).
So sánh thành phần thứ ba: \( - 30 = - 40t\), suy ra \(t = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(x = 60\), \(y = 45\), tức \(M\left( {60;\,\,45;\,\,0} \right)\).
c) Sai. Gọi \(P\) là vị trí drone hết pin.
Ta có \(\overrightarrow {AP} = 0,4\overrightarrow {AB} = \left( { - 32;\,\, - 24;\,\, - 8} \right)\) nên \(P\left( {88;\,\,66;\,\,22} \right)\).
Vậy vị trí drone hết pin cách mặt đất 22 m.
d) Sai. \(OA = \sqrt {{{120}^2} + {{90}^2} + {{30}^2}} = 30\sqrt {26} \) và \(AP = 0,4AB = 8\sqrt {26} \).
Tổng quãng đường drone bay được là \(38\sqrt {26} \approx 193,76\) m, ứng với thời gian \(\frac{{38\sqrt {26} }}{{10}} \approx 19,38\) giây.
Drone báo sắp hết pin sau khoảng \(19,38 - 3 \approx 16\) giây kể từ lúc xuất phát.
Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm \(t = 9\) giờ sau khi tiêm.
Giá trị nồng độ thuốc trong máu cao nhất là \(2,5\) mg/l.
Trong \(3\) giờ đầu tiên, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng.
Tại thời điểm \(t = 1\) giờ, tốc độ tăng của nồng độ thuốc là \(1,2\) mg/l/giờ.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
\(C'\left( t \right) = \frac{{15\left( {{t^2} + 9} \right) - 15t \cdot 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = \frac{{15\left( {9 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\).
Với \(t \ge 0\), \(C'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3\). \(C'\left( t \right) > 0\) trên \(\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(C'\left( t \right) < 0\) trên \(\left( {3;\,\, + \infty } \right)\), nên \(C\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = 3\), với \(C\left( 3 \right) = \frac{{45}}{{18}} = 2,5\).
a) Sai. Nồng độ đạt lớn nhất tại \(t = 3\) giờ, không phải \(t = 9\) giờ.
b) Đúng. Giá trị nồng độ cao nhất là \(2,5{\rm{\;mg/l}}\).
c) Đúng. \(C'\left( t \right) > 0\) trên \(\left( {0;\,\,3} \right)\) nên nồng độ thuốc tăng trong \(3\) giờ đầu.
d) Đúng. \(C'\left( 1 \right) = \frac{{15 \cdot 8}}{{{{10}^2}}} = 1,2\) mg/l/giờ.
\(\sin \widehat {BAC} = \sqrt {\frac{{37}}{{551}}} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 32\).
Để tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành thì tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {8;\,\,4;\,\,4} \right)\).
Gọi \(H\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\). Khi đó \(2a - 5b + c = - 8.\)
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\, - 1;\,\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;\,\,0;\,\,2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\).
a) Sai. \(AB = \sqrt {38} \), \(AC = \sqrt {29} \), \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 30 + 0 + 2 = 32\).
\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{32}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{{32}}{{\sqrt {1102} }}\), suy ra \({\sin ^2}\widehat {BAC} = 1 - \frac{{1024}}{{1102}} = \frac{{39}}{{551}}\), nên \(\sin \widehat {BAC} = \sqrt {\frac{{39}}{{551}}} .\)
b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 32\).
c) Sai.
\(ABDC\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \), suy ra \(D\left( {2 - 6;\,\,3 - 1;\,\,5 + 1} \right)\), tức \(D\left( { - 4;\,\,2;\,\,6} \right)\).
d) Đúng. \(H\) thuộc đường thẳng \(BC\) nên \(\overrightarrow {BH} = t\overrightarrow {BC} \), suy ra \(H\left( {1 + t;2 + t;4 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {AH} = \left( {t - 6;t - 1;t + 1} \right)\). \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2\), suy ra \(H\left( {3;4;6} \right)\).
Khi đó \(2a - 5b + c = 6 - 20 + 6 = - 8\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {12;\,\,0;\,\,0} \right)\).
\(M\) thuộc đoạn \(AB\) nên \(M\left( {m;\,\,6;\,\,8} \right)\) với \(0 \le m \le 12\), và \(AM = m\).
\(C{M^2} = {\left( {m - 6} \right)^2} + {6^2} + {8^2} = {\left( {m - 6} \right)^2} + 100 \ge 100\), dấu bằng xảy ra khi \(m = 6\).
Vậy khoảng cách \(CM\) nhỏ nhất khi \(AM = 6\).
Đáp án: 6.
\(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu khi \(x\) đi qua các nghiệm \(x = k\) có số mũ \(k\) lẻ, tức \(k \in \left\{ {1;\,\,3;\,\,5; \ldots ;\,\,2025} \right\}.\)
Với \(x < 1\), cả 1013 thừa số có số mũ lẻ đều âm, nên \(f'\left( x \right) < 0\).
Do đó, khi \(x\) tăng dần, \(f'\left( x \right)\) đổi dấu xen kẽ: \(x = 1\) là điểm cực tiểu, \(x = 3\) là điểm cực đại, \(x = 5\) là điểm cực tiểu, và cứ thế tiếp tục.
Các điểm cực đại là \(x = 3;\,\,7;\,\,11; \ldots ;\,\,2023\), gồm \(\frac{{2023 - 3}}{4} + 1 = 506\) điểm.
Đáp án: 506.
Trọng lượng của kiện hàng và tấm ván là \(P = \left( {50 + 10} \right) \cdot 10 = 600{\rm{\;N}}\).
Gọi \(T\) là lực căng của mỗi sợi dây. Mỗi dây hợp với mặt phẳng nằm ngang của tấm ván góc \(60^\circ \), nên thành phần thẳng đứng của mỗi lực căng là \(T\sin 60^\circ \).
Các thành phần nằm ngang triệt tiêu nhau do tính đối xứng.
Do đó:
\(4T\sin 60^\circ = 600 \Leftrightarrow 2\sqrt 3 T = 600 \Leftrightarrow T = 100\sqrt 3 \approx 173{\rm{\;N}}\).
Đáp án: 173.
Gọi \(B'\) là vị trí của đỉnh \(B\) sau khi gấp, \(B' \in CD\).
Đặt \(CB' = t\), \(BN = NB' = y\), \(BM = MB' = x\).
Tam giác \(NCB'\) vuông tại \(C\): \({y^2} = {\left( {10 - y} \right)^2} + {t^2}\), suy ra \(y = \frac{{{t^2} + 100}}{{20}}\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(M\) lên \(CD\).
Ta có \(MK = 10\) và \(KB' = \left| {x - t} \right|\), nên \({x^2} = 100 + {\left( {x - t} \right)^2}\), suy ra \(x = \frac{{{t^2} + 100}}{{2t}}\).
Điều kiện: \(y \le 10 \Leftrightarrow t \le 10\); \(x \le 15 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 100 \le 0 \Leftrightarrow 15 - 5\sqrt 5 \le t \le 15 + 5\sqrt 5 \).
Kết hợp lại được \(t \in \left[ {15 - 5\sqrt 5 ;\,\,10} \right]\).
Khi đó \(M{N^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {{t^2} + 100} \right)^2}\left( {\frac{1}{{4{t^2}}} + \frac{1}{{400}}} \right) = \frac{{{{\left( {{t^2} + 100} \right)}^3}}}{{400{t^2}}}\).
Đặt \(s = {t^2}\), \(s \in \left[ {{{\left( {15 - 5\sqrt 5 } \right)}^2};100} \right]\), và xét \(g\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^3}}}{s}\).
Ta có \(g'\left( s \right) = \frac{{{{\left( {s + 100} \right)}^2}\left( {2s - 100} \right)}}{{{s^2}}}\), và \(g'\left( s \right) = 0 \Leftrightarrow s = 50\), thuộc đoạn đang xét.
\(g\) nghịch biến trước \(s = 50\) và đồng biến sau \(s = 50\), nên \(g\) nhỏ nhất tại \(s = 50\).
Suy ra \(MN_{{\rm{min}}}^2 = \frac{{{{150}^3}}}{{400 \cdot 50}} = \frac{{675}}{4}\), tức \(M{N_{{\rm{min}}}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(a = 15\), \(b = 3\), \(c = 2\) và \(a + b + c = 20\).
Đáp án: 20.
\(y' = {x^2} + 2mx - \left( {m + 7} \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) thì \(y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 4 + 4m - m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Thử lại: với \(m = 1\), \(y' = {x^2} + 2x - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) đi qua \(2\), nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
Vậy \(m = 1\).
Đáp án: 1.
Giá bán là hàm bậc nhất của số lượng: cứ bán thêm 100 chiếc thì giá giảm 30 nghìn đồng, và tại \(x = 500\) thì giá là 300 nghìn đồng.
Do đó \(p\left( x \right) = 300 - 0,3\left( {x - 500} \right) = 450 - 0,3x\) (nghìn đồng), tức \(p\left( x \right) = 0,45 - 0,0003x\) (triệu đồng).
Lợi nhuận \(L\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0,0003{x^2} + 0,33x - 50\) (triệu đồng).
\(L\left( x \right)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a < 0\), nên đạt giá trị lớn nhất tại \(x = - \frac{{0,33}}{{2 \cdot \left( { - 0,0003} \right)}} = 550\).
Khi đó giá bán là \(p\left( {550} \right) = 450 - 165 = 285\) nghìn đồng.
Đáp án: 285.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
