Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 4\).

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\) và \(\left( {1;4} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3\). Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;\,\,2} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\).

\(y\left( 0 \right) = 5;\,\,y\left( 1 \right) = 3;\,\,y\left( 2 \right) = 7\).

Từ đó suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 7\).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;d} \right)\) với \(d > 0\) nên ta loại đáp án C.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \), suy ra hệ số \(a > 0\) nên ta loại đáp án D.

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},\,{x_2}\), dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_1},\,{x_2}\) trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B và chọn A.

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có tiệm cận đứng: \(x =  - \frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang: \(y = \frac{a}{c}\), quan sát đồ thị ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{c} > 0\\\frac{a}{c} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}cd < 0\\ac > 0\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;\frac{b}{d}} \right)\) , quan sát đồ thị ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} > 0\\\frac{b}{d} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab < 0\\bd > 0\end{array} \right.\).

Với \(a > 0 \Rightarrow b < 0;c > 0;d < 0\).

Với \(a < 0 \Rightarrow b > 0;c < 0;d > 0\).

Do đó \(a > 0,\,b < 0,\,c > 0,\,d < 0\).

Vì \(M\), \(P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {AP}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array} \right.\).

Theo quy tắc hiệu, ta có:

\(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c  + \overrightarrow d  - \overrightarrow b } \right)\).

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1;\, + \infty } \right)\), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.  

Trên các khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;\, - 1} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.  

Vậy ý) a sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 3\); đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 2\), do đó ý c) sai.

– Vì \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng nên \(n = 2\). Khi đó, \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).

Ta có \(y' = \frac{{a{x^2} + 4ax + 2b - c}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow a{x^2} + 4ax + 2b - c = 0\) (*).

\(x =  - 1\) là một nghiệm của phương trình (*), do đó \( - 3a + 2b - c = 0\).

Các điểm \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( { - 3; - 3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 2b - c = 0\\a - b + c = 1\\ - 9a + 3b - c =  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 3\end{array} \right.\).

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\). Do đó, ý) d đúng.

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

– Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 3\), \({y_{CT}} =  - 22\); đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Với \(x = 0\) thì \(y = 5\); với \(x = 1\) thì \(y =  - 6\); với \(x =  - 1\) thì \(y = 10\).

Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm \(\left( {0;\,5} \right),\,\,\left( {1; - 6} \right),\,\left( { - 1;\,10} \right)\).

Do đó, ý c) sai.

– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng \(y =  - 22\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.

– Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 \) nên ý a) sai.

– Vì \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 ;\,\,\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy ý b) đúng.

– Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.\), do đó \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \) nên ý c) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {GS}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS}  + \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS}  + 4\overrightarrow {GO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS}  + 4\overrightarrow {GO}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS}  = 4\overrightarrow {OG} \).

Vậy ý d) sai.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {B'B}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D} \). Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'}  \ne \overrightarrow {BD} \). Vậy ý b) sai.

– Ta có: \(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {C'A}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {C'C} \).

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = CC' = a\). Vậy ý c) sai.

Vì \(AC'\) là đường chéo của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) nên \(AC' = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)^2}\)

                \( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BB'} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {AD} \)

                \( = {a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + 0 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}{a^2}\).

Do đó, \({\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{3}{2}{a^2}\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\).

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AC'}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)\( + \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BB'} \)

\( = {a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} = {a^2}\).

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {AC'} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\). Do đó, ý d) đúng.

Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 3a{x^2} + 2bx + c = 0\).

Vì \({\Delta '_y} = {b^2} - 3ac > 0\) nên phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\)). Khi đó, với cả hai trường hợp \(a > 0\) và \(a < 0\)  hàm số đã cho đều có 2 điểm cực trị.

Đáp số: \(2\).

Với mọi \(x \in \left[ {2;\,5} \right]\), ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{m}{{2\sqrt {x - 1} }}\).

Ta thấy dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) phụ thuộc vào dấu của tham số \(m\).

Với mọi \(m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {2;\,5} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;\,5} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right) = m + 2m = 3m\).

Theo bài ra, ta có: \({m^2} - 10 = 3m \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \)\(m =  - 2\) hoặc \(m = 5\).

Vậy \({m_1} + {m_2} = 3\).

Đáp số: \(3\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD'}  = \overrightarrow {AD'} \);

       \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {C'D}  = \overrightarrow {C'D}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {C'B}  = \overrightarrow {D'A}  =  - \overrightarrow {AD'} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + k\left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {C'D} } \right) = \overrightarrow 0 \)

       \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD'}  + k \cdot \left( { - \overrightarrow {AD'} } \right) = \overrightarrow 0 \)

       \( \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow k = 1\).

Đáp số: \(1\).

Đặt \(CD = x\) (km, \(x \ge 0\)). Quãng đường chạy bộ \(DB = 8 - x\) (km) và quãng đường chèo thuyền \[AD = \sqrt {9 + {x^2}} \] (km).

Rõ ràng \(x\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 8\).

Khi đó, thời gian chèo thuyền là \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ) và thời gian chạy bộ là \(\frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).

Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:

\(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\), \(x \in \left[ {0;\,8} \right]\).

Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\). Trên khoảng \(\left( {0;8} \right)\), \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).

\(T\left( 0 \right) = \frac{3}{2};\,T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8};\,\,T\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}\).

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} T\left( x \right) = T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\).

Vậy thời gian ngắn nhất mà người đàn ông cần dùng là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,3\) (giờ) và đi bằng cách chèo thuyền đến điểm \(D\) cách \(C\) một khoảng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}\)km rồi từ đó chạy bộ đến điểm \(B\).

Đáp số: \(1,3\).

Ta thấy độ dài \(x\) (cm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < 6\).

Khi đó, thể tích của khối hộp là:

\(V\left( x \right) = x{\left( {12 - 2x} \right)^2} = 4\left( {{x^3} - 12{x^2} + 36x} \right)\) với \(0 < x < 6\).

Ta có: \(V'\left( x \right) = 4\left( {3{x^2} - 24x + 36} \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 6\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \(\left( {0;\,6} \right)\), hàm số \(V\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(128\) tại \(x = 2\). Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì \(x = 2\) (cm).

Đáp số: \(2\).

Gọi \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} \). Lấy các điểm \({D_1},{A'_1},\,{B'_1},\,{D'_1}\) sao cho \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {O{{D'}_1}} \).

Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) nên hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) có ba cạnh \(O{A_1},\,O{B_1},\,O{C_1}\)  đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng \(15\sqrt 3 \).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \), ở đó \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3  \approx 26\) (N).

Đáp số: \(26\).