Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ phương sai của mẫu số liệu gốc và được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Chọn B.

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\). Chọn C.

Ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Ta có \(y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = \frac{7}{3};y\left( 3 \right) = 1;y\left( 4 \right) = \frac{7}{3}\).

Vậy \[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( 4 \right) = \frac{7}{3};m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 3 \right) = 1\].

Suy ra \(S = M + m = \frac{7}{3} + 1 = \frac{{10}}{3}\). Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0; - 1} \right) \Rightarrow A{B^2} = 2\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {x - 3;y - 1; - 1} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + 1} \).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \\AB = AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\A{B^2} = A{C^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {x - 3} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 1 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( {4;1; - 1} \right)\). Chọn B.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 5 + 1 = 6\\{y_H} = 2 + 5 = 7\\{z_H} = - 1 - 2 = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {6;7; - 3} \right)\). Chọn C.

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Có \(y' = f'\left( {x + 2} \right)\).

Hàm số đồng biến khi \(f'\left( {x + 2} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x + 2 < 0\\x + 2 > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 < x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).

Do đó hàm số \(y = f\left( {x + 2} \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

c) \(f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

d) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 60 - 35 = 25\).

b) Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{100}}\) là cân nặng của 100 học sinh lớp 12 được sắp theo thứ tự không giảm.

Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\) mà \({x_{25}};{x_{26}} \in \left[ {40;45} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có \({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 20}}{{40}}.5 = \frac{{325}}{8}\).

Ta có \({Q_3} = \frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2}\) mà \({x_{75}};{x_{76}} \in \left[ {45;50} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có \({Q_3} = 45 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 60}}{{25}}.5 = 48\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 48 - \frac{{325}}{8} = 7,375\).

c) Ta có

Cân nặng trung bình là \[\overline x = \frac{{20.37,5 + 40.42,5 + 25.47,5 + 10.52,5 + 5.57,5}}{{20 + 40 + 25 + 10 + 5}} = 44,5\].

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[{s^2} = \frac{{20.{{\left( {37,5 - 44,5} \right)}^2} + 40.{{\left( {42,5 - 44,5} \right)}^2} + 25.{{\left( {47,5 - 44,5} \right)}^2} + 10.{{\left( {52,5 - 44,5} \right)}^2} + 5.{{\left( {57,5 - 44,5} \right)}^2}}}{{20 + 40 + 25 + 10 + 5}} = 28,5\].

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {28,5} \approx 5,34\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \( \Rightarrow a = 0\).

\(x = 1\) là tệm cận đứng của đồ thị hàm số. Suy ra \(b = - 1\).

Do đó \(T = a + b = - 1\).

Trả lời: −1.

Ta có \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 15 - 5 = 10\).

Trả lời: 10.

Ta có \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = \left| {\overrightarrow {AG} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {AC} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 30^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ \)\( = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = - \frac{1}{8}{a^2}\).

Suy ra \(n = - 0,1\).

Trả lời: −0,1.

Có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;3; - 4} \right) \Rightarrow BA = \sqrt {26} \); \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 6;8;2} \right) \Rightarrow BC = 2\sqrt {26} \).

Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\), \(D \in AC\).

Theo tính chất tia phân giác ta có \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = \frac{1}{2}\left( { - 4 - a} \right)\\2 - b = \frac{1}{2}\left( {7 - b} \right)\\ - 1 - c = \frac{1}{2}\left( {5 - c} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 3\\c = - 7\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {6; - 3; - 7} \right)\).

Do đó \(a = 6;b = - 3;c = - 7\). Vậy \(T = a + b + c = - 4\).

Trả lời: −4.

Số cá còn sống trong ao lúc đó là \(\frac{{31}}{{31 + t}}.300\) (con).

Sản lượng cá X tại thời điểm đó là \(f\left( t \right) = \frac{{31}}{{31 + t}}.300.0,45\left( {0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}} \right)\)\( = 4185.\frac{{0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}}}{{31 + t}}\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 4185.\left[ {\frac{{\left( {\frac{{141}}{{155}} - 0,1t} \right)\left( {31 + t} \right) - \left( {0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}} \right)}}{{{{\left( {31 + t} \right)}^2}}}} \right]\)\( = 4185.\frac{{ - 0,05{t^2} - 3,1t + 28}}{{{{\left( {31 + t} \right)}^2}}}\);

Có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,05{t^2} - 3,1t + 28 = 0 \Leftrightarrow t = 8\) vì \(0 \le t \le 8\).

Có \(f\left( 0 \right) = 27;f\left( 8 \right) = 459;f\left( {10} \right) \approx 439\).

Vậy sản lượng lớn nhất có thể đạt được là 459 kg.

Giả sử sau 5 giây cabin di chuyển đến điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow u \) cùng hướng suy ra \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u = \left( {t;2t; - 2t} \right)\left( {t > 0} \right)\).

Mà quãng đường cabin đi được trong 5 giây là \(6.5 = 30\)(m).

Do đó \(AM = 30 \Leftrightarrow A{M^2} = 900 \Leftrightarrow {t^2} + 4{t^2} + 4{t^2} = 900 \Rightarrow t = 10\).

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {10;20; - 20} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 10\\y - 4 = 20\\z - 3 = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 24\\z = - 17\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {9;24; - 17} \right)\).

Khi đó khoảng cách giữa cabin và người quan sát là \(BM = \sqrt {{{\left( {9 - 2} \right)}^2} + {{\left( {24 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 17 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {881} \) m.

Gọi \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(f = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\).

Bài toán trở thành tìm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì \({z_I}.{z_D} > 0\) nên điểm \(I\) và \(D\) nằm cùng phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(I'\left( {1;1;1} \right)\) là điểm đối xứng với \(I\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI'} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) \ge 3I'D\).

Để \(f\) nhỏ nhất thì \(I';M;D\) thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {I'M} \) và \(\overrightarrow {I'D} \) cùng hướng

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 1}} = \frac{{b - 1}}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};0} \right)\).