Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Dữ liệu về tốc độ của 100 xe ô tô lưu thông trên một đoạn đường cao tốc vào giờ cao điểm được trích xuất từ camera của cơ quan cảnh sát giao thông cho bởi mẫu số liệu ghép nhóm:
Tốc độ (km/h) | \(\left[ {60;70} \right)\) | \(\left[ {70;80} \right)\) | \(\left[ {80;90} \right)\) | \(\left[ {90;100} \right)\) | \(\left[ {100;110} \right)\) |
Số xe | 10 | 20 | 20 | 35 | 15 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào dưới đây?
\(\left[ {90;100} \right)\).
\(\left[ {80;90} \right)\).
\(\left[ {70;80} \right)\).
\(\left[ {60;70} \right)\).
Ta có \(\frac{N}{4} = \frac{{100}}{4} = 25\).
Nhóm thứ nhất \(\left[ {60;70} \right)\) có tần số tích lũy là \(c{f_1} = 10\).
Nhóm thứ hai \(\left[ {70;80} \right)\) có tần số tích lũy là \(c{f_2} = 10 + 20 = 30\).
Vì \(10 < 25 \le 30\) nên giá trị tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) thuộc vào nhóm \(\left[ {70;80} \right)\).
Đáp án đúng: C
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - \infty \), tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
\(y = 1\).
\(y = - 2\).
\(x = - 2\).
\(x = 1\).
Theo định nghĩa về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\):
Nếu hoặc thì đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ở đây ta có , do đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đáp án đúng: C
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 5}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \( - 7\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(m=3\).
\(m=\frac{5}{7}\).
\(m=2\).
\(m=-2\).
Điều kiện xác định của hàm số là \(x \ne m\). Để hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì giá trị \(m\) không được thuộc vào đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) (tức là \(m \notin \left[ {0;1} \right]\)).
Đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định là: \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 5}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).
Vì \( - {m^2} - 5 < 0\) với mọi số thực \(m\), nên \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \ne m\).
Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).
Vì hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này sẽ đạt tại điểm \(x = 1\):
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m \cdot 1 + 5}}{{1 - m}} = \frac{{m + 5}}{{1 - m}}\).
Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất này bằng \( - 7\):
\(\frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \Leftrightarrow m + 5 = - 7\left( {1 - m} \right) \Leftrightarrow m + 5 = - 7 + 7m \Leftrightarrow 6m = 12 \Leftrightarrow m = 2\).
Kiểm tra điều kiện: \(m = 2 \notin \left[ {0;1} \right]\) (thỏa mãn điều kiện hàm số liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\)).
Đáp án đúng: C
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
\(M\left( { - 1; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;3} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đã cho, ta thấy:
+ Điểm cực tiểu của đồ thị là \(M\left( { - 1; - 1} \right)\).
+ Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {1;3} \right)\).
Đáp án đúng: C
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\). Tìm điểm \(M' \in Oy\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(MM'\) ngắn nhất.
A. \(M'\left( {1;0;3} \right)\). B. \(M'\left( {1; - 2;0} \right)\). C. \(M'\left( {0; - 2;0} \right)\). D. \[M'\left( {0;2;0} \right)\].
Đoạn thẳng \(MM'\) có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi điểm \(M'\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) lên trục tung \(Oy\).
Theo quy tắc tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) lên trục \(Oy\):
Ta giữ nguyên tung độ \(y\).
Cho hoành độ \(x\) và cao độ \(z\) bằng \(0\).
Áp dụng cho điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\), ta được tọa độ hình chiếu \(M'\) là: \(M'\left( {0; - 2;0} \right)\).
Đáp án đúng: C
Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào thì đạo hàm \(f'\left( x \right) \ge 0\) trên khoảng đó.
Nhìn vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\):
Đồ thị nằm phía trên trục hoành \(Ox\) (tương ứng \(f'\left( x \right) > 0\)) trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với \(f'\left( x \right) \le 0\).
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
Đáp án đúng: C
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) như hình vẽ.
Gọi \(m,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\). Tính \(m - n\).
\(5\).
\(3\).
\(11\).
\( - 2\).
Dựa vào đồ thị của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\):
Điểm cao nhất của đồ thị là điểm có tọa độ \(\left( { - 2;7} \right)\), suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này là:
\(m = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 7\).
Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm có tọa độ \(\left( {4; - 4} \right)\), suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này là:
\(n = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = - 4\).
Vậy \(m - n = 7 - \left( { - 4} \right) = 11\).
Đáp án đúng: C
Khi điều tra cân nặng của 50 bé trai 6 tuổi ở một địa phương, người ta thống kê được kết quả như sau:
Cân nặng (kg) | [18; 20) | [20; 22) | [22; 24) | [24; 26) |
Tần số | 6 | 23 | 12 | 9 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:
\(8\).
\(18\).
\(26\).
\(2\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (ký hiệu là \(R\)) được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: \(R = 26 - 18 = 8{\rm{\;(kg)}}\).
Đáp án đúng: A
Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Phát biểu nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
Phát biểu A đúng vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), theo tính chất trọng tâm ta có \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
Phát biểu C đúng vì theo quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: \(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AB} \).
Phát biểu D đúng vì khi ta chèn điểm \(G\) vào vế trái:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG} \).
Phát biểu B sai vì đẳng thức \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\) chỉ xảy ra khi \(G\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) (không phải trọng tâm của tam giác đáy \(BCD\)).
Đáp án đúng: B
Cho hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) thỏa mãn \(\left| {\vec u} \right| = 5\), \(\left| {\vec v} \right| = 8\) và \(\left( {\vec u,\vec v} \right) = 60^\circ \). Tính tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v\).
\(\vec u \cdot \vec v = 20\).
\(\vec u \cdot \vec v = 20\sqrt 3 \).
\(\vec u \cdot \vec v = - 20\).
\(\vec u \cdot \vec v = 40\).
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: \(\vec u \cdot \vec v = 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20\).
Đáp án đúng: A
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình bên?
\(y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{ - {x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}\).
Nhìn vào đồ thị hàm số phân tích các đường tiệm cận và giao điểm:
Tiệm cận đứng: Đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x = 2\). Điều này loại phương án C (có tiệm cận đứng là \(x = - 2\)).
Giao điểm với trục hoành \(Ox\): Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \(x = 1\) và \(x = 3\).
Xét hàm số ở phương án A: \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\) (Thỏa mãn).
Xét hàm số ở phương án B: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 2}}\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\) (Không thỏa mãn).
Xét hàm số ở phương án D: \(y = \frac{{ - {x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \pm \sqrt 7 \) (Không thỏa mãn).
Tiệm cận xiên: Xét hàm số phương án A: \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}} = x - 2 - \frac{1}{{x - 2}}\).
Tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 2\) đi qua điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0; - 2} \right)\) hoàn toàn trùng khớp với đồ thị đã cho.
Đáp án đúng: A
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec u = \left( {2;m - 2;1} \right)\), \(\vec v = \left( { - 2;1; - 1} \right)\). Với giá trị nào của \(m\) thì hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) cùng phương?
\(m = 7\).
\(m = 1\).
\(m = 0\).
\(m = - 4\).
Hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực \(k \ne 0\) sao cho \(\vec u = k\vec v\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}2 = k \cdot \left( { - 2} \right)\\m - 2 = k \cdot 1\\1 = k \cdot \left( { - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\m = 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng: B
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Lợi nhuận thu được \(L\) (triệu đồng) của một công ty khi dùng số tiền \(x\) (triệu đồng) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức: \(L = L\left( x \right) = - \frac{1}{{10}}{x^3} + 6{x^2} + 500\) với \(x \ge 0\).
Hàm số \(L = L\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
Lợi nhuận của công ty tăng khi số tiền chi cho quảng cáo tăng.
Lợi nhuận tối đa mà công ty thu được là 3,7 tỷ đồng.
Có hai phương án giúp công ty có thể thu được lợi nhuận bằng 800 triệu đồng.
Hàm số lợi nhuận: \(L\left( x \right) = - 0,1{x^3} + 6{x^2} + 500\) với \(x \ge 0\).
Đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 0,3{x^2} + 12x\). Cho \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 40\).
a) ĐÚNG: Trên tập số thực \(\mathbb{R}\), hàm số bậc ba này có hai điểm cực trị là \(x = 0\) và \(x = 40\).
b) SAI: Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;40} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {40; + \infty } \right)\). Do đó lợi nhuận chỉ tăng khi chi phí quảng cáo tăng trong khoảng từ \(0\) đến \(40\) triệu đồng.
c) ĐÚNG: Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại \(x = 40\):
\(L\left( {40} \right) = - 0,1 \cdot {40^3} + 6 \cdot {40^2} + 500 = 3700\) (triệu đồng) = 3,7 tỉ đồng.
d) ĐÚNG: Giải phương trình \(L\left( x \right) = 800 \Leftrightarrow - 0,1{x^3} + 6{x^2} - 300 = 0\). Phương trình này có 3 nghiệm thực, trong đó có 2 nghiệm dương thỏa mãn là \(x \approx 7,56\) và \(x \approx 59,14\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( {1;2;1} \right)\) và \(C\left( {2; - 1;3} \right)\).
Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCD\) thì \(D\left( {3; - 2;3} \right)\).
Chu vi của tam giác \(ABC\) lớn hơn 8.
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{5}{3}} \right)\) là tọa độ trọng tâm tam giác .
\(\widehat {BAC}\) là góc tù.
a) ĐÚNG: Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow D = A + C - B = \left( {3; - 2;3} \right)\).
b) SAI: Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\): \(AB = \sqrt 2 \approx 1,41\), \(BC = \sqrt {14} \approx 3,74\), \(AC = 2\sqrt 2 \approx 2,83\).
Chu vi \(P \approx 7,98 < 8\).
c) SAI: Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}} \right)\).
d) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 2;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 2 < 0 \Rightarrow \cos \widehat {BAC} < 0\), nên góc này là góc tù.
Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\).
Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Bảng biến thiên hàm số đã cho là
Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số lần lượt là \(x = 2\), \(y = 2x + 1\).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng \(4\sqrt {17} \).
a) ĐÚNG: Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{\left( {4x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
b) SAI: Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = - 3\) và \(x = 4 \Rightarrow y = 13\).
Xét dấu \(y'\), ta có \(y' > 0\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\); \(y' < 0\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\). Như vậy, bảng biến thiên đã cho sai dấu, dẫn đến chiều biến thiên cũng sai.
c) ĐÚNG: Tiệm cận đứng \(x = 2\).
Thực hiện chia đa thức: \(y = 2x + 1 + \frac{8}{{x - 2}}\) nên tiệm cận xiên là \(y = 2x + 1\).
d) ĐÚNG: Hai điểm cực trị là \(A\left( {0; - 3} \right)\) và \(B\left( {4;13} \right)\).
Khoảng cách là \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {13 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 4\sqrt {17} \).
Mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2024 tại hai tỉnh A và B (đơn vị độ C) cho bởi bảng sau:
Nhóm | [14; 17) | [17; 20) | [20; 23) | [23; 26) | [26; 29) | [29; 32] |
Tần số (tỉnh A) | 1 | 2 | 1 | 4 | 2 | 2 |
Tần số (tỉnh B) | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 3 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tỉnh B là \({s_B} \approx 4,9\).
Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm của tỉnh A là \(s_A^2 \approx 21,75\).
Tỉnh A có nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2024 đồng đều hơn tỉnh B.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm tỉnh B là \(\overline {{x_B}} = 24,5\).
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: \(15,5\); \(18,5\); \(21,5\); \(24,5\); \(27,5\); \(30,5\).
d) ĐÚNG: \(\overline {{x_B}} = \frac{{1 \cdot \left( {15,5} \right) + 2 \cdot \left( {18,5} \right) + 1 \cdot \left( {21,5} \right) + 3 \cdot \left( {24,5} \right) + 2 \cdot \left( {27,5} \right) + 3 \cdot \left( {30,5} \right)}}{{12}} = 24,5\).
a) ĐÚNG: Phương sai của mẫu số liệu tỉnh B:
\(s_B^2 = \frac{{1 \cdot {{\left( {15,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {18,5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {21,5} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {24,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {27,5} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {30,5} \right)}^2}}}{{12}} - {\left( {24,5} \right)^2} = 24\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tỉnh B:\({s_B} = \sqrt {24} \approx 4,9\).
b) SAI: Số trung bình tỉnh A là
\(\overline {{x_A}} = \frac{{1 \cdot \left( {15,5} \right) + 2 \cdot \left( {18,5} \right) + 1 \cdot \left( {21,5} \right) + 4 \cdot \left( {24,5} \right) + 2 \cdot \left( {27,5} \right) + 2 \cdot \left( {30,5} \right)}}{{12}} = 24\).
Phương sai của mẫu số liệu tỉnh A là
\(s_A^2 = \frac{{1 \cdot {{\left( {15,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {18,5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {21,5} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {24,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {27,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {30,5} \right)}^2}}}{{12}} = 20,75\).
c) ĐÚNG: Độ lệch chuẩn mẫu số liệu tỉnh A là \({s_A} = \sqrt {20,75} \approx 4,56\). Vì \({s_A} < {s_B}\) nên nhiệt độ của tỉnh A đồng đều hơn tỉnh B.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết \(\left( C \right)\) nhận điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) làm điểm cực trị. Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tâm đối xứng của \(\left( C \right)\). Tính \(2{x_0} - {y_0}\).
Vì cực trị \(A\left( {2; - 2} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow 8a + 4b + 2 = - 2 \Leftrightarrow 2a + b = - 1\).
Đạo hàm: \(y' = 3a{x^2} + 2bx\). Cực trị đạt tại \(x = 2 \Leftrightarrow y'\left( 2 \right) = 12a + 4b = 0 \Leftrightarrow 3a + b = 0\).
Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình trên ta thu được \(a = 1\) và \(b = - 3\). Hàm số là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Đạo hàm bậc hai: \(y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 0\). Tâm đối xứng của đồ thị là \(I\left( {1;0} \right)\).
Giá trị biểu thức: \(2{x_0} - {y_0} = 2 \cdot 1 - 0 = 2\).
Đáp số: 2.
Theo kết quả thăm dò trước một buổi biểu diễn văn nghệ ngoài trời, nếu giá bán mỗi vé là \(p\) nghìn đồng thì sẽ có \(x\) người mua vé xem biểu diễn, giữa \(p\) và \(x\) có mối liên hệ: \(p = 489.{e^{ - 0,001x}}\). Đơn vị tổ chức nên bán vé với giá bao nhiêu nghìn đồng thì đạt được doanh thu (tổng số tiền bán vé) cao nhất? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hàm doanh thu thu được từ việc bán vé là: \(R\left( x \right) = p \cdot x = 489 \cdot x \cdot {e^{ - 0,001x}}\).
Để tìm doanh thu lớn nhất, ta tính đạo hàm của \(R\left( x \right)\) theo biến \(x\):
Ta có \(R'\left( x \right) = 489 \cdot {e^{ - 0,001x}}\left( {1 - 0,001x} \right)\); \(R'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1000\).
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1000\).
Giá vé tối ưu tương ứng tương ứng là: \(p = 489 \cdot {e^{ - 0,001 \cdot 1000}} = \frac{{489}}{e} \approx 179,89\) (nghìn đồng).
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị là \(180\) nghìn đồng.
Đáp số: 180.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 6x + 15}}{x}\). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
Viết lại biểu thức của hàm số: \(y = x + 6 + \frac{{15}}{x}\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 6} \right)} \right] = 0\) nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 6\).
Giao điểm với \(Ox\): Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 6 \Rightarrow A\left( { - 6;0} \right) \Rightarrow OA = 6\).
Giao điểm với \(Oy\): Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow B\left( {0;6} \right) \Rightarrow OB = 6\).
Diện tích tam giác vuông \(OAB\) là: \(S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\).
Đáp số: 18.
Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam A cách mặt đất \(5{\rm{m}}\), cách điểm xuất phát \(3{\rm{m}}\) về phía Nam và \(2{\rm{m}}\) về phía Đông. Chiếc flycam B cách mặt đất \(5{\rm{m}}\), cách điểm xuất phát \(6{\rm{m}}\) về phía Bắc và \(6{\rm{m}}\) về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất có trục \(Ox\) hướng về phía Nam, trục \(Oy\) hướng về phía Đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (xem hình vẽ).
Trên mặt đất người ta xác định một vị trí \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính \(b - a + c\).
Tọa độ các điểm từ mô tả đề bài:
Điểm \(M\left( {a;b;0} \right)\) thuộc mặt đất (mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)).
Tọa độ flycam A: \(A\left( {3;2;5} \right)\).
Tọa độ flycam B: \(B\left( { - 6; - 6;5} \right)\).
Vì \(A,B\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), lấy đối xứng điểm \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) ta được điểm \(A'\left( {3;2; - 5} \right)\). Tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai chiếc flycam ngắn nhất khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'B\) là \(\overrightarrow {A'B} = \left( { - 9; - 8;10} \right)\).
Phương trình tham số đường thẳng \(A'B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 6 - 9t}\\{y = - 6 - 8t}\\{z = 5 + 10t}\end{array}} \right.\).
Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow {z_M} = 0 \Leftrightarrow 5 + 10t = 0 \Leftrightarrow t = - 0,5\).
Suy ra tọa độ của \(M\):
\(a = - 6 - 9 \cdot \left( { - 0,5} \right) = - 1,5\)
\(b = - 6 - 8 \cdot \left( { - 0,5} \right) = - 2\)
\(c = 0\)
Giá trị biểu thức cần tính là: \(b - a + c = - 2 - \left( { - 1,5} \right) + 0 = - 0,5\).
Đáp số: −0,5.
Một chiếc container được buộc vào móc \(S\) của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn \(SA,SB,SC,SD\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(60^\circ \) (tham khảo hình vẽ). Chiếc cần cẩu kéo chiếc container lên theo phương thẳng đứng. Tính cường độ lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục), biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) trên mỗi sợi dây cáp đều có cường độ bằng nhau và trọng lượng của chiếc container bằng \(72{\rm{\;kN}}\).
Gọi \(T\) là cường độ lực căng trên mỗi sợi dây cáp. Chiếu điều kiện cân bằng lực theo phương thẳng đứng ta có: \(4 \cdot T \cdot \sin 60^\circ = P\)\( \Leftrightarrow 4 \cdot T \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 72 \Leftrightarrow 2\sqrt 3 T = 72 \Leftrightarrow T = \frac{{36}}{{\sqrt 3 }} = 12\sqrt 3 \approx 20,78{\rm{\;(kN)}}\).
Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục ta được \(20,8{\rm{\;kN}}\).
Đáp số: 20,8.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình bên dưới, với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\).
Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1\).
Tiệm cận ngang \(y = - 1 \Rightarrow a = - 1\).
Đồ thị đi qua điểm \(\left( {2;0} \right) \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2 + c}} = 0 \Rightarrow 2a + b = 0 \Leftrightarrow b = - 2a = 2\).
Kiểm tra giao điểm với trục tung: \(x = 0 \Rightarrow y = \frac{b}{c} = - 2\) (Trùng khớp).
Vậy giá trị biểu thức: \(T = a + b + 2c = - 1 + 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1\).
Đáp số: −1.
